大庆铁人中学2015级高三·下学期开学考试
数学试题（理科）
答题时长（分钟）：120 分值：150分 命题人：赵倩楠
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。）
1.已知全集U=R，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4i
C．|z|=5 D．z在复平面内对应的点在第二象限
3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4.设，则“”是“直线与直线 垂直”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A. 丙被录用了 B. 乙被录用了 C. 甲被录用了 D. 无法确定谁被录用了
6.的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C. D．
7.设是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
8.某四面体的三视图如下图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中最大面积是（ ）
A． B．4 C． D．
8题图 9题图
9.如上图，在长方形内任取一点，则点落在阴影部分内的概率为（ ）
A． B． C. D．
10.若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ）
A． B．
C. D．
11.已知椭圆的左焦点为轴上的点在椭圆外，且线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C. D．
12．已知函数有三个不同的零点，（其中），则的值为（ ）
A． B． C．-1 D．1
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知实数满足约束条件，则的最小值为 .
14. 某学校需要把6名同学安排到三个兴趣小组学习，每个兴趣小组安排2名同学，已知甲不能安排到组，乙和丙不能安排到同一小组，则安排方案的种数有 .
15.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于 .
16.在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时， .
三、解答题（本大题7小题，共70分。其中17至21题为必做题，22、23题为选做题。解答过
程应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分12分）设数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
18. （本小题满分12分）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的值.
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，⊥底面，，是以为斜边的等腰直角三角形，是的中点．（I）求证：平面⊥平面；（II）求直线与平面所成角的余弦值.
19题图
20. （本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．
21. （本小题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程选讲）
已知圆锥曲线：（为参数）和定点（0，），、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值．
23．（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）
设函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
2018年大庆铁人中学高三下开学考试（答案）
数学参考答案（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
A
C
B
D
C
D
A
C
D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17.解：（Ⅰ）∵数列满足
∴当时，..............................2分
∴当时，，即........................................4分
当时，满足上式
∴数列的通项公式..............................................6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，...................................7分
∴
...............................9分
.........................................................12分
18. 解：（1）由的面积为，得.
因，所以，
所以，得，
又，
由余弦定理得：，
所以.
（2）法一：由（1）中.
解得，
由正弦定理得：，
所以，
法二：由（1）有，
所以.
由正弦定理得，
所以.
19（I）证明：∵⊥底面，底面
∴⊥ …………………1分
由题意可知，，且
是等腰直角三角形
∴ ， …………………2分
∴，即, …………………3分
又∵ …………………4分
∴⊥平面 …………………5分
平面
∴平面⊥平面 …………………6分
（II）解法1：由（1）得平面⊥平面,
平面平面=
作，∴平面 ……………………8分
所以与平面所成角为 …………………9分
在中，，
在中， ………………10分
所以直线与平面所成角的余弦值为………12分
解法二：建立空间直角坐标系略
20.解：（1）由已知可得解得，，
所求椭圆方程为．
（2）由得，
则，解得或．
设，，
则，，
设存在点，则，，
所以．
要使为定值，只需与参数无关，
故，解得，
当时，．
综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．
21.解：（1）由得，
当时，，若；若，
故当时，在处取得的极大值；函数无极小值.
（2）当时，由（1）知在处取得极大值，且当趋向于时，趋向于负无穷大，又有两个零点，则，解得.
当时，若；若；若，则在处取得极大值，在处取得极小值，由于，则仅有一个零点.
当时，，则仅有一个零点.
当时，若；若；若，则在处取得极小值，在处取得极大值，由于，则仅有一个零点.
综上，有两个零点时，的取值范围是.
两零点分别在区间和内，不妨设.
欲证，需证明，
又由（1）知在单调递减，故只需证明即可.
，
又，
所以，
令，则，
则在上单调递减，所以，即，
所以.
22.选修4-4：坐标系与参数方程选讲
∴||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|=．
23.选修4-5：不等式选讲
解：（1），即，
即①或②或③
解①可得；解②可得；解③可得．
综上，不等式的解集为．
（2）等价于恒成立，
等价于恒成立，
而，
所以，得或，
解得或，
即实数的取值范围是．
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