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文科数学试题第1页（共13页） 2019 年深圳市高三第二次调研考试 文科数学试题答案及评分参考 第Ⅰ卷 一．选择题 （1） C （2） A （3） D （4） C （5） B （6）C （7） A （8） B （9） C （10）B （11）C （12）D 12.【解法 1】 1 2 2( ) 1 22 a x x afx xxx −− = − − = ． 注意到函数 2y x x=− 在( )1+， 上单调递增，且 21xx−． 若 1 2a  ，则 1 2 0a−，则 ( ) 0fx  ，函数 ()fx在 上单调递增，故 ( ) (1) 0f x f=， 不合题意，应舍去． 当 1 2a  时，此时存在 ( )0 1x  + ， ，使得当 ( )01xx ， 时， 单调递减，当 ( )0 ,xx + 时， 单调递增．因为 (1) 0f = ，所以 0( ) 0fx  ．又因为 ( )2( 1) 0fa+，故此时 ()fx在 上必定存在零点．综上所述，答案为 D． 【解法 2】函数 在 上存在零点，即方程 ln 0x x a x− − = 在 上有解， 设 ( 1)t x t=，则方程可化为 2 2 ln 0( 1)t t a t t− − =  ，显然当 0a = 时，方程在 上无解； 当 0a  时，方程可化为 1 ln( 1)2 ttat−= ，通过研究直线 1 ( 1)2yta=−与曲线 lnty t= 的位置关 系，易知 1012a，所以 . 【解法 3】此题作为选择题，结合答案是有一些较为灵活的解题方法的，比如可以将问题转化为 直线 ( )g x x= 与 ( ) lnh x x a x=+ 在 上 有 交 点 ， 注 意 到 0a  和 函 数 ( ) lnh x x a x=+ 的凹凸性以及 ( ), ( )g x h x 均过点( )1,1 ，故可研究 ( )hx在 处的切线即可． 二．填空题： 13． 4 14．1 15． 2 3 16． 2π 3 16【解法 1】设 A BD 的外接圆半径为 r ， 2A DB =，其中 π(0, )2  ．由正弦定理易得 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第2页（共13页） 4sin2 sin 2r  = ，故 1 cosr = ．由题意知 21 = 5r+ ． 解得 1cos = 2 ，所以 A DB 2π=2 = 3 ． 【解法 2】设 A BD 的外接圆半径为 r ， 2A DB =，其中 π(0, )2  ，并设 AB 中点为 M ， DM b= ， A M a = ，则有 2 2 2()a b r r+ − = ，由于 224ab+=，由此可得 2br = ，又因为 21 =5r+ ，所以 =2r ，而 11cos =22 b r == ，所以 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 已知数列 na 满足 1 2a = , 1 22n nnaa+ = + + ()n N ． （1）判断数列{ 2}n na − 是否为等差数列，并说明理由； （2）记 nS 为数列 的前 n 项和，求 ． 【解析】(1) 设 2nn nba= − ，则 1 112n nnba + ++=−，……………………………2 分 则 1 1 1 1( 2 ) ( 2 ) 2n n n n n n n n nb b a a a a+ + + +− = − − − = − − ， ……………………4 分 ( 2 2) 2 2nn nnaa= + + − − = ， ……………………………5 分 所以，数列 是首项为0 ，公差 2d = 的等差数列．………………6 分 (2)由（1）可知 2 0 ( 1)n n na − = + −2 ， …………………………………………8 分 ∴ 2 2( 1)n nan= + − ，………………………………………………………………9 分 ∴   120 ( 1)2 (1 2 ) 221 2 2 n n n nnS n n++−−= + = − + −− . …………………………12 分 【命题意图】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的证明方法，分组求和法以及等 差、等比数列的前 n 项和公式等知识，重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等 核心素养． 18．（本小题满分 12 分） 某网店经销某商品，为了解该商品的月销量 y （单位：千件）与售价 x （单位：元/件）之 间的关系，收集了5组数据进行了初步处理，得到如下数表： x 5 6 7 8 9 y 8 6 4.5 3.5 3 （1）统计学中用相关系数 r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若 [0.75,1]r  ，则 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第3页（共13页） 认为相关性很强；若 [0.3,0.75)r  ，则认为相关性一般；若 [0,0.25]r  ，则认为相关性较弱. 请计算相关系数 r ，并说明 y 与 x 之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）； （2）求 y 关于 x 的线性回归方程； （3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价 x 定为多少，可获取最大的月销售金额？ 解：(1)由表中数据和附注中的参考数据得， 7x = ， 5y = ， ………………………………1 分 5 2 1 ( ) 10i i xx = −= ， 5 2 1 ( ) 16.5i i yy = −= ，……………………………………………2 分 5 1 ( )( ) 12.5ii i x x y y = − − = − ， 12.5 0.97 10 16.5 r −  −  ……………………………3 分 因为 0.97 [0.75,1]r  −  ， ………………………4 分 说明 y 与 x 的线性相关关系很强．.……………………………………………………5 分 （2）由（1）可知 1 2 1 ( )( ) 12.5 1.2510() n ii i n i i x x y y b xx  = = −−−= = = − −   ………………………7 分 5 1.25 7 13.75a y b x   = − = − −  =（ ） ，…………………………………………… 8 分 1.25 13.75yx   = − + ……………………………………………………………………9 分 （3）由题意可知， 月销售额的预报值 21000 = 1250 13750z y x x x  =   − + （元） 或者 2= 1.25 13.75z y x x x  =  − + （千元） ………10 分 则当 5.5x = 时， z  取到最大值， 即该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大. ……12 分 【命题意图】本题旨在考查概率统计在实际问题中的应用，以研究相关系数，线性回归，二 次函数等知识为载体，考查了学生的数学运算、数学建模等数学核心素养． 19．（本小题满分 12 分） 在边长为 4 的正方形 ABCD中，点 E 、 F 分别为边 AB 、 AD 的中点，以CE 和CF 为折 痕把△ DFC 和△ BEC 折起，使点 B 、D 重合于点 P 位置，连结 PA ，得到如图所示的四棱锥 P AECF− . （1）在线段 PC 上是否存在一点G ，使 PA 与平面 EFG 平行，若存在，求 PG GC 的值； 若不存在，请说明理由. 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第4页（共13页） （2）求点 A到平面 PEC 的距离． 解：（1）线段 PC 上的点G 满足 1 3 PG GC = 时， PA 与平面 EFG 平行． ………1 分 证明如下： 连结 EF ， EG ， FG ， AC ，记 AC 与 EF 的交点为O ，连结OG ． 在正方形 ABCD中， ∵ E 、 F 分别为边 AB 、 AD 的中点， ∴ 1 3 AO OC = ， ……………………2 分 故 1 3 AO PG OC GC==， ……………………3 分 ∴ // OG ． ……………………4 分 ∵ PA EFG 平面 ，OG EFG 平面 ,  //PA EFG平面 ． ……………………6 分 （2）解法一：在正方形 中， AB BC⊥ ， AD CD⊥ ， 翻折后 PC PE⊥ ， PC PF⊥ ， 又 PE PF P= ， PC⊥平面 PEF ． ……………………8 分 记 与 EF 的交点为O ，连结 PO ， 可知△OPC 为直角三角形， 2OP = ， 4PC = ， 32OC = ， 设 P 到直线 AC 的距离为 h ， 4 2 3 2 h=， 4 3h= ． ……………………9 分 ,,PC EF AC EF AC PC C⊥ ⊥ = , ∴ EF PAC⊥ 平面 EF AECF 平面 , ∴ PAC AEC⊥平面 平面 ∵ =PAC AEC AC平面 平面 ∴ △ 斜边OC 上的高 h 即为三棱锥 -P AEC 的高． ……………………10 分 1 1 1 4 16243 3 2 3 9P AEC AECV S h− =   =     = ， 1 42PCES PC PE =   = ，设点 A到平面 PCE 的距离为 h ， A B CD E F P O 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第5页（共13页） 14 33A PCE PCEV S h h− =   =  ， 4 16 39h=，解得 4= 3h ． …………………12 分 解法二：在正方形 ABCD中， AB BC⊥ ， AD CD⊥ ， 翻折后 PC PE⊥ ， PC PF⊥ ， 又 PE PF P= ， PC⊥平面 PEF ， ……………………8 分 记 AC 与 EF 的交点为O ，连结 PO ， 可知△OPC 为直角三角形， 2OP = ， 4PC = ， 32OC = ， 易得 P 到直线 AC 的距离为 4 3 ， ……………………9 分 23 8 3 4242 1 == ΔPACS ， ,,PC EF AC EF AC PC C⊥ ⊥ = , ∴ EF PAC⊥ 平面 ， - 1 1 8 16= 2 23 3 3 9P AEC E PAC PACV V S OE− =   =   = ， 又 1 42PCES PC PE =   = ，设点 A到平面 PCE 的距离为 h ， 14 33A PCE PCEV S h h− =   =  ， 4 16 39h=，解得 4= 3h ． …………………12 分 解法三：在正方形 中， ， ， 翻折后 ， ， 又 ， 平面 ． ……………………8 分 记 与 的交点为 ，连结 ， 可知△ 为直角三角形， ， ， ， 易得 22242 1 ==ΔPOCS ． ……………………9 分 ,,PC EF AC EF AC PC C⊥ ⊥ = ， ∴ ， 3 42223 1 == E-POCV ， A B CD E F P O 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第6页（共13页） - 4 4 4 16= 3 3 3 9E PAC E POCVV− =  = ， 又 1 42PCES PC PE =   = ，设点 A到平面 PCE 的距离为 h ， 14 33A PCE PCEV S h h− =   =  ， 4 16 39h=，解得 4= 3h ． …………………12 分 【说明】本题以翻折问题为载体考查空间中点，线，面的位置关系，线面平行的性质定理的 应用，点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能 力． 20．（本小题满分 12 分） 设点 P 是直线 2y =− 上一点，过点 分别作抛物线 2:4C x y= 的两条切线 PA 、 PB ， 其中 A、 B 为切点. （1）若点 A的坐标为 1(1, )4 ，求点 P 的横坐标； （2）当△ ABP 的面积为 27 2 时，求 AB . 【解析】（1）由 21 4yx= ，所以 1 2yx = ， ……………………………………1 分 因为 1(1, )4A ， 由导数的几何意义知，切线 的斜率 111=22PAk = ，……………………2 分 所以切线 的方程为 11: ( 1)42− = −PAl y x ，即 11 24=−yx，………………………3 分 又因为点 为直线 与直线 11 24=−yx的公共点， 联立 与 11 24=−yx，可得 点横坐标为 7 2− ．.…………………………4 分 （2）法一：不妨设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 0( , 2)Px − ， 由（1）可知 1 1 2PAkx= ，即直线 PA 的方程为 1 1 1 1 ()2− = −y y x x x ， 即 11 1: 2PAl y x x y=−，同理可得 22 1: 2PBl y x x y=−，…………………………5 分 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第7页（共13页） 因为切线 PA ， PB 均过点 0( , 2)Px − ， 所以 0 11 0 22 22 22 x xy x xy  − = −  − = − ， ……………6 分 所以 1 1 2 2( , ),( , )x y x y 为方程 0 22 x xy− = − 的两组解， 所以直线 AB 的方程为 0 22 x xy− = − ，即 0:22AB xl y x=+.…………………7 分 联立 0 2 22 4 xyx xy  =+  = ，可得 2 02 8 0x x x− − = ，显然 0＞ ， 由韦达定理得， 1 2 0 1 22 , 8x x x x x+ = = − ， ……………………………………8 分 所以 2 2 2 200 001 ( ) (2 ) 4 ( 8) 1 4 3224 xxAB x x= + −  − = + + ， …………9 分 又因为点 P 到直线 的距离 2 0 20 42 1 ( )2 x d x + = + ， …………………………10 分 所以 32 220 2 00 1 1 1 274 4 32 ( 8)2 2 2 2 2ABP xS AB d x x =  = + + = + = ，………11 分 解得 2 0 1x = ，所以 2 20 01 4 32=3 54= + +xAB x . ………………………12 分 法二：不妨设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由（1）可知直线 PA 的方程为 2 11 24 xxyx=−， 同理，直线 PB 的方程为 2 22 24 xxyx=−，…………………………………………5 分 联立解得 1 2 1 2( , )24 x x x xP + ，…………………………………………………………6 分 又点 P 在直线 2y =− ，所以 12 24 xx =− ， 12 8xx =− ， …………………………7 分 设直线 AB 的方程为 y kx m=+，联立 2 4xy y kx m  =  =+ ，可得 2 4 4 0x kx m− − = ， 由韦达定理得 124x x k+= ， 12 48x x m= − = − ， 可得 2m = ， (2 , 2)Pk− ，…………………………………………………………8 分 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第8页（共13页） 所以 2 2 2 2| | 1 (4 ) 4 ( 8) 4 1 2AB k k k k= + −  − = + + ， …………………9 分 又因为点 P 到直线 AB 的距离为 2 2 | 2 4 | 1 kd k += + ， ……………………………10 分 所以 32 2 2 2 2 2 1 | 2 4 | 27| | 2 1 2 4( 2)221ABP kS AB d k k k k +=  = + +  = + = + ，…11 分 解得 2 1 4k = ，所以 11| | 4 1 2 =3 544AB = +  + . ………………………12 分 【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问 题，主要考查抛物线的切点弦，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的逻辑推理，数学运 算等数学核心素养及思辨能力. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) e +2 1xf x a x=−，其中常数e 2.71828......= ，是自然对数的底数． （1）讨论函数 ()fx的单调性； （2）证明：对任意的 1a  ，当 0x  时， ( ) ( e)f x x a x+ ． 【解析】（1） ( ) e 2xf x a =+． …………………………1 分 ① 当 0a  时， ( ) 0fx  ，函数 在 R 上单调递增；………………………2 分 ② 当 0a  时，由 解得 2ln( )x a−，由 ( ) 0fx  解得 2ln( )x a−． 故 ( )fx在 2,ln( )a − − 上单调递增，在 2ln( )a − +  ， 上单调递减． …………………………4 分 综上所述，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减． …………………………5 分 （2） 证法一：原不等式等价于 e 1 2 e0 x x x a ax a− − + −  ． ………………6 分 令 e 1 2( ) e x xgx x a ax a= − − + − ，则 2 ( 1)( e 1)() xx a xgx ax − − − = ．…………………7 分 当 1a  时， e 1 e 1xxa x x− −  − − ，…………………8 分 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第9页（共13页） 令 ( ) e 1xh x x= − − ，则当 0x  时， ( ) e 1 0xhx = −  ， ∴ 当 时， ()hx单调递增，即 ( ) (0) 0h x h=， ………………………10 分 ∴ 当01x时， ( ) 0gx  ；当 1x = 时， ( ) 0gx = ；当 1x  时， ( ) 0gx  ， ∴ ( ) (1) 0g x g=． ………………………11 分 即 e 1 2 e0 x x x a ax a− − + −  ，故 ( ) ( e)f x x a x+ ． ………………12 分 证法二：原不等式等价于 ( ) ( )2e e 1xa x x−  − ． ………………………6 分 令 ( ) e exg x x=−，则 ( ) e exgx =−． 当 1x  时， ( ) 0gx  ；当 1x  时， ( ) 0gx  ． ∴ ( ) (1) 0g x g=，即e e 0x x−，当且仅当 1x = 时等号成立．…………………7 分 当 时， ( ) ( )2e e 1xa x x−  − 显然成立； 当 0x  且 1x  时，e e 0x x−． 欲证对任意的 1a  ， ( ) ( )2e e 1xa x x−  − 成立， 只需证 ( )2e e 1x xx−  − ．……9 分 思路 1： ∵ ，∴不等式 可化为 e1e 2 0 x xxx− − − +  ，…………10 分 令 e1( ) e 2 x h x xxx= − − − + ，则 2 ( 1)(e 1)() xxxhx x − − − = ， 易证当 时，e 1 0x x− −  ， ∴当 1x  时， ( ) 0hx  ，当 1x  时， ( ) 0hx  ， ∴函数 ()hx在(0,1) 上单调递减，在(1 )+， 上单调递增， ∴ min( ) 1 0h x h==（） ， …………………11 分 ∴ ( ) 0hx ， 即 ， 从而，对任意的 1a  ，当 0x  时， ( ) ( + e)f x x a x ． …………………………12 分 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第10页（共13页） 思路 2： 令 ( )21 +e() ex xxx −= ，则 ( 1)( e 3)() ex xxx − − + − = ． ( ) 0 3 e 1xx   −   ， ( ) 0 1 0 3 ex x x      −或 ． ∴ ()x 在(0,3 e)− 上单调递减，在(3 e 1)− ， 上单调递增，在(1 + )， 上单调递减． …………………………11 分 ∵ (0)= (1) 1= ， ∴ ( )21 +e( ) 1ex xxx −=，即( )21 e exxx−  − ． 从而，对任意的 1a  ，当 0x  时， ( ) ( + e)f x x a x ． …………………………12 分 证法三：原不等式等价于 2e 2 1 e 0xa x x a x+ − − −  ． 令 ( )2( ) e e 2 1xg x a x a x= − − − − ，则 ( )( ) e 2 e 2xg x a x a = − − − ． ……………6 分 令 ( )( ) e 2 e 2xh x a x a= − − − ，则 ( ) e 2xh x a =−，其中 0x  ． ① 当 2a  时， ( ) 0hx  ． ()hx在( )0+， 上单调递增． 注意到 (1) 0h = ，故当 ( )0,1x 时， ( )= ( ) 0g x h x  ；当 ( )1+x， 时， ( )= ( ) 0g x h x  ． ∴ ()gx在( )0,1 上单调递减，在( )1,+ 上单调递增． ∴ min( ) = (1) 0g x g = ，即 ( ) ( e)f x x a x+ ． …………………………7 分 ② 当12a时， 20 ln 1a  ． 当 20 lnx a   时， ( ) 0hx  ， ()hx单调递减；当 2lnx a   时， ( ) 0hx  ， 单调 递增． ②—（i）： 若 2 2e1 a− ，则 ( )(0) 1 e +2 0ha= −  ． ∵ 2ln (1) 0hha = ∴ 当 时， ；当 时， ． 与①同，不等式成立． …………………………9 分 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第11页（共13页） ②—（ii）： 若 21 e1a− ，则 ( )(0) 1 e +2>0ha=− ， ∵ 2ln (1) 0hha = ， ∴ 0 20,lnx a   ，使得 ( )0 0hx = ，且当 ( )00,xx 时， ( )= ( ) 0g x h x  ；当 ( )0 1xx ， 时， ( )= ( ) 0g x h x  ；当 ( )1+x， 时， ( )= ( ) 0g x h x  ． ∴ ()gx在( )00, x 上单调递增，在( )0 1x ， 上单调递减，在( )1,+ 上单调递增． ∵ (0)= 1 0ga− ， (1)=0g ∴ 此时， ( ) 0gx ，即 ( ) ( e)f x x a x+ ． 综上所述，结论得证． …………………………12 分 【命题意图】本题旨在考查导数在研究函数时的应用，以研究单调性，证明不等式等为载体， 综合考查学生的分类讨论、化归转化、数形结合等数学思想，考查了学生的数学运算、逻辑推理 等数学核心素养． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所 做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2cos , sin ,   =  = x y （ 为参数），圆 2C 的方程 为 22( 2) 4xy− + = ，以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程 为 0= ( 0)  ． （1）求曲线 和圆 的极坐标方程； （2）当 0 π0 2时，若射线 与曲线 和圆 分别交于异于点O 的 M 、 N 两点， 且 | | 2 | |ON OM= ，求△ 2MC N 的面积． 解：（1）由 2cos , sin   =  = x y 消去参数 可得 的普通方程为 2 2 14 x y+=，……………1 分 把 cosx = ， siny = 代入，得 2 2( cos ) ( sin ) 14  +=， 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第12页（共13页） 即 2 2 2 2 44 cos 4sin 1 3sin   ==++ ， 所以 1C 的极坐标方程为 2 2 4 1 3sin = + ； ………………………3 分 把 cosx = ， siny = 代入 22( 2) 4xy− + = ，得 4cos= ， 所以 2C 的极坐标方程为 ． ………………………5 分 （2）把 0= 代入 2 2 4 1 3sin = + ，得 2 2 0 4 1 3sin = +M ， 把 0= 代入 ，得 04cos=N ， ………………………6 分 由| | 2 | |ON OM= ，得 2NM= ，即 224NM= ， 即 2 0 2 0 16(4cos ) 1 3sin = + ， ………………………7 分 ∵ 0 π0 2， ∴ 0 6sin 3 = ， 0 3cos 3 = ， ∴ 2 0 4 2 3=1 3sin 3 = +M ， 0 434cos 3==N ， …………………8 分 ∴ △ 2MC N 的面积 2 2 2  =−MC N C N C MO OS S S 20 1 1 2 3 6 2 2| | ( ) sin 2 =2 2 3 3 3  = −  =   NMOC ．……………………10 分 【命题意图】本题主要考查了椭圆，圆的极坐标方程与直角坐标方程以及参数方程的互化、 极径  的几何意义与应用等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心 素养．考察考生的化归与转化能力． 23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知函数 1( ) | | | | ( 1)f x x m x mm= − + +  ． （1）当 2m = 时，求不等式 ( ) 3fx 的解集； （2）证明： 1( ) 3( 1)fx mm+− ． 解：（1）当 2m = 时， 1( ) | 2 | | |2f x x x= − + + ， ………………………1 分 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 文科数学试题第13页（共13页） ①当 1 2x − 时，原不等式等价于 1(2 ) ( ) 32xx− − +  ，解得 3 4x − ，……………2 分 ②当 1 22 x−   时，原不等式等价于 5 32  ，不等式无解， ……………3 分 ③当 2x  时，原不等式等价于( ) 12 + 32xx− +  ，解得 9 4x  ，………………4 分 综上，不等式 ( ) 3fx 的解集为 39( , ) ( , )44− − + ； ………………5 分 （2）由题 11( ) | | | | | |f x x m x mmm= − + +  + ， ………………………6 分 0m  ， 11||mmmm + = + ， 1()f x m m  + ， 当且仅当 1 ,xmm − 时等号成立． ………………7 分 1 1 1 1 1( ) ( 1) 1( 1) ( 1) 1 1f x m m mm m m m m m m +  + + = + = − + +− − − − ， 1m  ， 10m −  ， 11( 1) 1 2 ( 1) ( ) 1 311mmmm − + +  −  + =−− ，…………9 分 1( ) 3( 1)fx mm + − ，当 2m = ，且 1[ ,2]2x− 时等号成立．……………………10 分 【说明】本题主要考查绝对值三角不等式以及不等式的解法，分段函数，基本不等式等知识 点，重点考查分类讨论，数形结合的思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养． 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院