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遂宁市高中2019届三诊考试
数学（文科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则复数的模是
A． B． C． D．
3．已知函数，则的值为
A. B. C. 2 D. 3
4．若抛物线的焦点坐标是，则等于
A. B. C. D.
5．是的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
6．已知角在第二象限，若，则
A． B． C． D．
7．《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈。现有一刍甍，其三视图如下图所示，设网格纸上每个小正方形的边长为丈，那么该刍甍的体积为
A. 立方丈
B. 立方丈
C. 立方丈
D. 立方丈
8．执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为，
则过定点的直线与圆
截得的最短弦长为
A.
B．
C．
D．
9．已知点的坐标满足，则的最大值
A．2 B． C. D．8
10．在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的周长为
A. B.
C. D.
11．已知是球的球面上的五个点，四边形为梯形，面，则球的体积为
A. B.
C. D.
12. 设函数有三个零点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13．设两个非零平面向量与的夹角为，则将() 叫做向量 在向量方向上的投影。已知平面向量，，则向量在向量方向上的投影为 ▲ ．
14．曲线在点处的切线的斜率为 ▲ ．
15．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 ▲ ．
16．已知函数，函数在区间上的最大值与最小值的和为，若函数，且对任意的，不等式
恒成立，则实数的取值范围为 ▲ ．
三、解答题（本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分12分）
已知函数在上的零点为等差数列的首项，且数列的公差.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
▲
18.（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是邻边相等的矩形，侧棱底面，的中点。
（1）判断直线与的位置关系
（不需证明）；
（2）证明：；
（3）求三棱锥的体积.
▲
19.（本小题满分12分）
2018年1月22日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定，中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”。
下表为2014年至2018年观音文化故里某土特产企业的线下销售额（单位：万元）
年份
2014
2015
2016
2017
2018
线下销售额
90
170
210
280
340
为了解“祈福观音、永保平安”活动的支持度。某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查（每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种），其中很支持的老年市民有30人，支持的年轻市民有15人。
（1）从以上5年中任选2年，求其销售额均超过200万元的概率；
（2）请根据以上信息列出列联表，并判断能否有85％的把握认为支持程度与年龄有关.
附：，其中
参考数据：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
▲
20.（本小题满分12分）
已知直线与直线的距离为，椭圆︰的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，抛物线：的焦点与点关于轴上某点对称，且抛物线与椭圆在第四象限交于点，过点作抛物线的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.
▲
21.（本小题满分12分）
已知函数，，曲线在处的切线方程为．
（1）求在上的最小值；
（2）若存在使关于的不等式成立，求的取值范围．
▲
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，又在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）。
（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）已知点在曲线上，点在曲线上，若，求此时点的直角坐标．
▲
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若正数，满足，求的最小值.
▲
遂宁市高中2019届三诊考试
数学（文科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（12×5=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
D
B
C
C
A
A
C
B
D
二、填空题（45=20分）
13. 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
解析：
（1）因为 …………1分
所以，由题意有 …………3分
由于，所以是以为首项，为公差的等差数列 …………4分
所以 …………6分
（2） …………7分
① …………8分
②…………9分
则①②得：
所以 …………12分
18.（本小题满分12分）
解析：
（1）直线与是异面直线 …………2分
（2）平面，平面，。
同理可证 …………3分
可知是等腰直角三形，而是斜边的中点，。
∵底面是邻边相等的矩形，即四边形为正方形。
，又，
平面，又平面 …………5分
，又，且
平面，又平面
∴ …………7分
（3）因为为PC中点，所以 …………8分
又底面，而底面是邻边相等的矩形，
即底面是正方形 …………9分
故 …………12分
19.（本小题满分12分）
解析：
（1）分别记“2014年、2015年、2016年、2017年、2018年”为“”
从以上5年中任选2年，其基本事件为：
…………4分
其中销售额均超过200万元的有： …………5分
故其概率 …………6分
（2）根据题意，整理数据得如下列联表：
年轻市民
老年市民
合计
支持
15
10
25
很支持
25
30
55
合计
40
40
80
…………8分
根据列联表可以求得的观测值：
…………10分
所以没有85％的把握认为支持程度与年龄有关 …………12分
20.（本小题满分12分）
解析：
（1）两平行直线间的距离，所以 …………2分
离心率，故 …………4分
所以椭圆的标准方程为； …………5分
（2）由题意，抛物线焦点为，故其方程为 …………7分
联立方程组，解得或（舍去），所以……8分
设抛物线在点处的切线为，
联立方程组，整理得，
由解之得，所以所求的切线方程为。
即是 …………10分
令，得；令，得 …………11分
故所求三角形的面积为 …………12分
21.（本小题满分12分）
解析
（1），根据题意得，计算得出: …………2分
故，当，即时，递增，
当，即时，递减， …………3分
①当时，函数在上单调递减，
此时最小值为；
②当时，函数在上递减，
在上递增，此时最小值为；
③当时，函数在上递增，
此时最小值为 …………6分
（2）关于x的不等式存在成立
等价于不等式在有解 …………7分
设，， …………8分
当即时，递增，
当，即时，递减 …………9分
又，，
…………10分
…………12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解析：
（1）由得，即…………1分
把，，得
故曲线的直角坐标方程为 …………2分
因为曲线的参数方程为（为参数）
消去参数得曲线的普通方程为 …………4分
（2）由题意，曲线的参数方程为(为参数) …………5分
可设点的直角坐标为，因为曲线是直线，又
∴即为点到直线的距离 …………6分
易得点到直线的距离为
…………7分
所以 …………8分
所以，此时点的直角坐标为 …………10分
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解析：
（1）因为，所以 …………1分
①当时，，由，解得；
②当时，，由，即，
解得，又，所以；
③当时，不满足，此时不等式无解 …………4分
综上，不等式的解集为 …………5分
（2）由题意得…………6分
所以
…………9分
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为 …………10分
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