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遂宁市高中2019届三诊考试
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则的虚部是
A．
B． C． D．
3.
麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，东北地区称麻圆，海南又称珍袋，广西又称油堆，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆。制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有。已知一个麻团的正视图，侧视图和俯视图均是直径为（单位：）的圆（如图），则这个几何体的体积为（单位：）为
A. B. C. D.
4．二项式的展开式中含项的系数是
A． B． C． D．
5．已知角在第二象限，若，则
A． B． C． D．
6. 已知随机变量～，其正态分布密度曲线如下左图所示，若向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为,随即运行如下右图中相应的程序，则输出的结果是
附：若随机变量～，
则，
，.
A． B． C． D．
7. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为
A. B. C. D.
8． 在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的周长为
A. B. C. D.
9. 已知抛物线的焦点到双曲线 的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为
A. B． C. D.
10．已知点的坐标满足，过点的直线与圆：相交于两点，则的最小值是
A．2 B． C. 4 D．2
11. 已知长方体中，与所成角的余弦值为，与底面所成角的正弦值为，则与底面所成角的余弦值为
A. B. C. D.
12. 已知函数，若，，，，，则实数的最小值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．设两个非零平面向量与的夹角为，则将() 叫做向量 在向量方向上的投影。已知平面向量，，则向量在向量方向上的投影为 ▲
14．曲线在点处的切线的斜率为 ▲
15．已知函数，则方程的根的个数为 ▲
16． 已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最大值是 ▲
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知函数的所有正数的零点构成递增数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
▲
18.（本小题满分12分）
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章算术》所作的注本。在注本中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。现有一阳马的具体情况是：在四棱锥中，底面是邻边相等的矩形，侧棱底面，的中点。
（1）判断直线与的位置关系（不需证明）；
（2）证明：；
（3）求二面角 的平面角的余弦值.
▲
19. （本小题满分12分）
福建电视台少儿频道的少儿竞技类节目——《宝贝向前冲》于2005年6
月创办，节目内容丰富，形式多样，栏目的特色在于开发和推广简单的、有趣的校园或家庭挑战游戏项目，并最大限度地利用电视手段将简单的游戏制作成吸引观众的电视节目。近日《宝贝向前冲》节目组举办了一个共有五关的闯关节目，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次机会），已知某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是
（1）求该人获得奖金的概率；
（2）设该人通过的关数为，求随机变量的分布列及数学期望.
▲
20.（本小题满分12分）
已知是椭圆︰的左右顶点，点为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，且。
（1）若椭圆经过了圆的圆心，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，抛物线：的焦点与点关于轴上某点对称，且抛物线与椭圆在第四象限交于点，过点作抛物线的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.
▲
21.（本小题满分12分）
已知函数，
（1）设曲线在处的切线的斜率为，且。求的值；
（2）当时.
①求的单调区间；
②求证：.
▲
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，又在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）。
（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）已知点在曲线上，点在曲线上，若，求此时点的直角坐标．
▲
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若正数，满足，求的最小值.
▲
遂宁市高中2019届三诊考试
数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（12×5=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
C
C
B
B
C
A
D
B
A
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13. 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共70分。
17．（本小题满分12分）
【解析】（1）因为， ……………………2分
所以，由题意有，
这就是函数的全部零点。 ……………………4分
又由已知函数的所有正数的零点构成递增数列，所以是以为首项，
为公差的等差数列，所以。 ……………………5分
（2）， ……………………6分
则①
②
……………………8分
则①②得：
……………………10分
所以 ……………………12分
18. （本小题满分12分）
【解析】
（1）直线与是异面直线 ……………………2分
（2）平面，平面，。
同理可证
可知是等腰直角三形，而是斜边的中点，。
∵底面是邻边相等的矩形，即四边形为正方形。
，又，
平面，又平面
，又，且
平面，又平面
∴ ……………………7分
（3）∵底面，而底面是邻边相等的矩形，即底面是正方形，∴ 两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，设，又由于，且底面是正方形，∴，所以，，，，，。
……………………8分
设平面的法向量为，
则，令，则，，∴。 ……………………9分
又设平面的法向量为，则
，令，则，，∴。 …………………10分
∴ …………………11分
又∵二面角 的平面角是一个钝角，∴二面角 的平面角的余弦值为 ……………………12分
19. （本小题满分12分）
【解析】：（1）设事件为“第关通过”，事件为“获得奖金”，∴
……………………5分
（2）的取值为
，
的分布列为：
……………………11分
……………………12分
20. （本小题满分12分）
【解析】：（1）设，因为，则点关于轴的对称点。，， 因为，所以，所以， ……………………2分
又椭圆过圆的圆心， ……………………4分
所以，所以椭圆的标准方程为；
……………………5分
（2）由题意，抛物线焦点为，故其方程为，联立方程组，解得或（舍去），所以，
……………………7分
设抛物线在点处的切线为，联立方程组，整理得，由解之得，所以所求的切线方程为。即是。
……………………10分
令，得；令，得。故所求三角形的面积为。 ……………………12分
21. （本小题满分12分）
【解析】：（1）因为， ……………………1分
则，所以，由得，即，解得或
……………………4分
（2）①因为当时，，所以，令，则， ……………………5分
当时，；
当时，；
所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为；
……………………7分
②证明：（法一）因为当时，
设。则只需证明
，又设，则，所以在上单调递增，因为，，所以存在，使得，且当时，，当时，；所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，由，得，所以
，设，，，所以当时，，在单调递减，所以，因此，即得证。 ……………………12分
（法二）因为当时，
先证当时，，即证
设，则，又令，且，而，所以在上单调递增，，所以在上单调递增，则当时，
（也可直接分析
显然成立）
……………………10分
再证当时，
设，则，令，解得，且当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即
又，所以成立，
即得证。
……………………12分
22．（本小题满分10分）
【解析】：（1）由得，即，把，，，得，故曲线的直角坐标方程为；因为曲线的参数方程为（为参数）。消去参数得曲线的普通方程为。 ……………………4分
（2）由题意，曲线的参数方程为(为参数)，可设点的直角坐标为，因为曲线是直线，又
∴即为点到直线的距离 ……………………6分
易得点到直线的距离为
， ……………………7分
所以，所以，此时点的直角坐标为．
……………………10分
23．（本小题满分10分）
【解析】：（1）因为，所以；…1分
①当时，，由，解得；
②当时，，由，即，解得，又，所以；
③当时，不满足，此时不等式无解； ………………4分
综上，不等式的解集为.
……………………5分
（2）由题意得。 ……………………6分
所以
。 ……………………9分
当且仅当时等号成立.所以的最小值为
…………………10分
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