2018 年福州市高中毕业班质量检测
数 学 （ 理 科 ） 试 卷
本试卷共 4 页，23 题。全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是 否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上
书写作答。在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
第 Ⅰ 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
(1) 已知复数 z 满足 (i + 1) z = -2 ，则在复平面内， z 对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
(2) 为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调 查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较
大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的
抽样方法是
（A）简单随机抽样 （B）按性别分层抽样
（C）按年龄段分层抽样 （D）系统抽样
(3) 已知双曲线 E ： mx 2 - y 2 = 1 的两顶点间的距离为 4，则 E 的渐近线方程为
（A）（B）（C）（D）
(4) 若角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线
上，则cos 2a =
数学试题（第 1 页共 4 页）
（A）（B）（C）（D）
数学试题（第 5 页共 4 页）
(5) 已知三棱锥 P - ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上， PA ^ 平面 ABC ， AB ^ BC ，且
PA = 8 ．若平面 ABC 截球 O 所得截面的面积为 9p ，则球 O 的表面积为
（A）10p （B） 25p （C） 50p （D）100p
(6) 函数 f ( x ) = x2 + ln (e - x ) ln (e + x ) 的图象大致为
y y y y
数学试题（第 5 页共 4 页）
1
-e O
1
e x -e O
e x -e O
1
e x -e O e x
数学试题（第 5 页共 4 页）
（A） （B） （C） （D）
数学试题（第 5 页共 4 页）
(7) 右面程序框图是为了求出满足1 + 1 + 1 + + 1 < 1 000 的最大正整数 n
2 3 n
的值，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入
（A）“ S < 1 000 ”和“输出 i - 1 ”
（B）“ S < 1 000 ”和“输出 i - 2 ”
开始
i = 1, S = 0
S = S + 1
i
i = i + 1
数学试题（第 5 页共 4 页）
（C）“ S
（D）“ S
1 000 ”和“输出 i - 1 ” 否
是
1 000 ”和“输出 i - 2 ”
数学试题（第 5 页共 4 页）
(8) 福州西湖公园花展期间，安排 6 位志愿者到 4 个展区提供服务，要求 结束
甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有
（A）90 种 （B）180 种 （C）270 种 （D）360 种
(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗实线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为
（A）（B）（C）（D）
(10) 设函数 f ( x) =,则满足 f ( x2 - 2) > f ( x ) 的 x 的取值范围是
数学试题（第 5 页共 4 页）
（A） (-¥, -1) (2, +¥)
（B） (-¥, -
2 ) ( 2 , +¥)
数学试题（第 5 页共 4 页）
数学试题（第 5 页共 4 页）
（C） (-¥, -
2 ) (2, +¥)
（D） (-¥, -1) ( 2 , +¥)
数学试题（第 5 页共 4 页）
(11) 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F ，准线为 l ．过 F 的
数学试题（第 5 页共 4 页）
直线交 C 于 A, B 两点，交 l 于点 E ，直线 AO 交 l 于点 D .若 BE = 2 BF ，且
AF = 3 ，
数学试题（第 5 页共 4 页）
则 BD =
（A）1 （B）3 （C）3 或 9 （D）1 或 9
(12) 已知函数 f ( x ) = sin 2 x 的图象与直线 2kx - 2 y - k π = 0 ( k > 0) 恰有三个公共点，这三 个点的横坐标从小到大分别为 x1 , x2 , x3 ，则 ( x1 - x3 ) tan ( x2 - 2 x3 ) =
数学试题（第 5 页共 4 页）
（A） - 2
（B） -1
（C）0 （D）1
数学试题（第 5 页共 4 页）
数学试题（第 5 页共 4 页）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 (13)～(21) 题为必考题，每个试题考生都必须 作答。第 (22) 、(23) 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
(13) 已知集合 A = {1, 3, 4, 7}, B = {x x = 2k + 1, k Î A} ，则集合 A B 中元素的个数为 .
数学试题（第 5 页共 4 页）
(14) 在钝角三角形 ABC 中， AB = 3, BC =
3, A = 30° ，则△ABC 的面积为 .
数学试题（第 5 页共 4 页）
ì y x,
数学试题（第 5 页共 4 页）
í
(15) 设变量 x, y 满足约束条件 ï x + 2 y 3,
则 z = 2 x + 2 y 的取值 A
数学试题（第 5 页共 4 页）
范围为 .
ï 2 x + y 6,
î
B
数学试题（第 5 页共 4 页）
(16) 如 图 ， 在 平 面 四 边 形 ABCD 中， ÐABC = 90° ，
ÐDCA = 2ÐBAC ．若 BD = xBA + y BC ( x, y Î R ) ，则 x - y 的 D C
值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17) （本小题满分 12 分）
已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ， a1 = 2 ，且
（1）求 an ；
（2）若求数列{b n} 的前 n项的和Tn
数学试题（第 5 页共 4 页）
数学试题（第 5 页共 4 页）
， C
数学试题（第 5 页共 4 页）
(18) （本小题满分 12 分）
数学试题（第 5 页共 4 页）
在直三棱柱 ABC - A1 B1C1 中，△ABC 为正三角形，点 D 在棱 BC
上，且 CD = 3BD ，点 E , F 分别为棱 AB , BB1 的中点.
（1）证明： A1C∥平面 DEF ；
（2）若 A1C ^ EF ，求直线 A1C1 与平面 DEF 所成的角的正弦值．
(19) （本小题满分 12 分）
数学试题（第 5 页共 4 页）
从某技术公司开发的某种产品中随机抽取 200 件，测量这些产品的一项质量指标值（记 为 Z ），由测量结果得如下频率分布直方图：
（ Z ）
数学试题（第 5 页共 4 页）
（1）公司规定：当 Z
95 时，产品为正品；当 Z < 95 时，产品为次品．公司每生产
数学试题（第 5 页共 4 页）
一件这种产品，若是正品，则盈利 90 元；若是次品，则亏损 30 元．记x 为生产一件这种 产品的利润，求随机变量x 的分布列和数学期望；
（2）由频率分布直方图可以认为， Z 服从正态分布 N ( m ,s 2 ) ，其中 m 近似为样本平 均数 x ，s 2 近似为样本方差 s 2 （同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．
①利用该正态分布，求 P (87.8 < Z < 112.2 ) ；
②某客户从该公司购买了 500 件这种产品，记 X 表示这 500 件产品中该项质量指标值 位于区间 (87.8,112.2 ) 的产品件数，利用①的结果，求 E ( X ) ．
附： 150 » 12.2.
若 Z ～ N (m ,s 2 ) ，则 P(m - s < Z < m + s ) =0.6826， P(m - 2s < Z < m + 2s ) =0.9544. (20) （本小题满分 12 分）
设点 A 为圆 C : x2 + y 2 = 4 上的动点，点 A 在 x 轴上的投影为 Q ．动点 M 满足
2MQ = AQ ，动点 M 的轨迹为 E .
（1）求 E 的方程；
（2）设 E 与 y 轴正半轴的交点为 B，过点 B 的直线 l 的斜率为 k (k ¹ 0) ， l 与 E 交 于另一点为 P.若以点 B 为圆心，以线段 BP 长为半径的圆与 E 有 4 个公共点，求 k 的 取值范围.
(21) （本小题满分 12 分）
（1）求函数 f (x) = x ln x + a(a < 0) 的零点个数；
（2）证明：当 a Î [-4e, 0 ) ，函数 g ( x) = 2 x 2 ln x - x 2 + ax 有最小值.设 g ( x) 的最小值为
h(a) ，求函数 h(a) 的值域. 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做， 则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
(22) （本小题满分 10 分）选修 4 - 4 ：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲
数学试题（第 5 页共 4 页）
1 ç
线 C 的极坐标方程为 r cos æq -
è
p ö
ø
6 ÷ = 2 .已知点 Q 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OQ 上，
数学试题（第 5 页共 4 页）
且满足 OQ × OP = 4 ，动点 P 的轨迹为 C2 ．
（1） 求 C2 的直角坐标方程；
(2)设点 A 的极坐标为(2, )，点 B 在曲线 C 2 上，求△AOB 面积的最大值．
(23) （本小题满分 10 分）选修 4 - 5 ：不等式选讲 已知函数 f ( x ) = x2 - x + 1 .
（1）求不等式 f ( x ) 2 x 的解集；
（2）若关于 x 的不等式 f ( x) 在[0, +¥ ) 上恒成立，求 a 的取值范围.
数学试题（第 5 页共 4 页）
数学试题（第 5 页共 4 页）
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