《第26章 反比例函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．y＝x﹣1 B． C． D．
2．在同一坐标系中，函数y＝和 y＝kx+1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，以原点为圆心的圆与反比例函数的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣4
4．已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，3） B．若x＞1，则﹣3＜y＜0
C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而增大
5．如图，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为1，则k的值为（ ）
20
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知点M（﹣2，3）在双曲线y＝上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（3，2）
7．已知反比例函数的图象过点M（﹣1，2），则此反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
8．如图，过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于B、C两点，若函数y＝（x＞0）的图象△ABC的边有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．5≤k≤20 B．8≤k≤20 C．5≤k≤8 D．9≤k≤20
9．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（ ）
A．v＝320t B．v＝ C．v＝20t D．v＝
10．当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：P与V的函数关系式可能是（ ）
V（单位：m3）
1
1.5
2
2.5
3
P（单位：kPa）
96
64
48
38.4
32
A．P＝96V B．P＝﹣16V+112
C．P＝16V2﹣96V+176 D．P＝
二．填空题（共5小题）
11．若函数是反比例函数，则m＝ ．
20
12．函数y＝，当y≥﹣2时，x的取值范围是 （可结合图象求解）．
13．如图，点P（3a，a）是反比例函y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为 ．
14．若反比例函数的图象经过第一、三象限，则 k的取值范围是 ．
15．如图，函数y＝﹣x与函数y＝﹣的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为 ．
三．解答题（共6小题）
16．已知函数解析式y＝1+．
（1）在下表的两个空格中分别填入适当的数：
（2）观察上表可知，当x的值越来越大时，对应的y值越来越接近于一个常数，这个常数是什么？
x
5
500
5000
50000
…
y＝1+
1.2
1.02
1.002
1.0002
…
17．如图，A、B两点在函数y＝（x＞0）的图象上．
（1）求m的值及直线AB的解析式；
20
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．
18．已知实数a，b满足a﹣b＝1，a2﹣ab+2＞0，当1≤x≤2时，函数y＝（a≠0）的最大值与最小值之差是1，求a的值．
19．如图，已知函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC＝1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．
（1）求△OCD的面积；
（2）当BE＝AC时，求CE的长．
20．在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．
（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？
（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；
（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．
21．如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．
20
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积．
20
2019年人教版九下数学《第26章 反比例函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．y＝x﹣1 B． C． D．
【分析】根据反比例函数的一般形式即可作出判断．
【解答】解：A、是一次函数，故选项错误；
B、不符合y＝的形式，故选项错误；
C、正确；
D、不符合y＝的形式，是正比例函数，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
2．在同一坐标系中，函数y＝和 y＝kx+1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据k的情况对反比例函数与一次函数的图象位置进行讨论即可．
【解答】解：当k＞0时，
反比例函数的图象分布于一、三象限，
一次函数的图象经过一、二、三象限，
当k＜0时，
反比例函数的图象分布于二、四象限，
20
一次函数的图象经过一、二、四象限，
联立
可得：kx2+x﹣k＝0，
△＝1+4k2＞0，
所以此时反比例函数与一次函数的有两个交点．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质，解题的关键是根据k的值来分情况讨论，本题属于基础题型．
3．如图，以原点为圆心的圆与反比例函数的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣4
【分析】因为圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称；而双曲线也既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称，且关于y＝x和y＝﹣x对称．
【解答】解：把x＝1代入y＝，得y＝3，故A点坐标为（1，3）；
∵A、B关于y＝x对称，则B点坐标为（3，1）；
又∵B和C关于原点对称，
∴C点坐标为（﹣3，﹣1），
∴点C的横坐标为﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性和轴对称性，要求同学们要熟练掌握，灵活运用．
4．已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，3） B．若x＞1，则﹣3＜y＜0
20
C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的比例系数的符号和其性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、将x＝﹣1代入反比例解析式得：y＝3，
∴反比例函数图象过（﹣1，3），本选项正确；
B、由反比例函数图象可得：当x＞1时，y＞﹣3，本选项正确，
C、由反比例函数的系数k＝﹣3＜0，得到反比例函数图象位于第二、四象限，本选项正确；
D、反比例函数y＝﹣，在第二或第四象限y随x的增大而增大，本选项错误；
综上，不正确的结论是D．
故选：D．
【点评】此题考查了反比例函数的性质，反比例函数y＝（k≠0），当k＞0时，图象位于第一、三象限，且在每一个象限，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象位于第二、四象限，且在每一个象限，y随x的增大而增大．
5．如图，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为1，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，即可求得k的值．
【解答】解：设点A的坐标为（a，0），
∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为1，
∴点C（﹣a，），
∴点B的坐标为（0，），
∴＝1，
20
解得，k＝4，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
6．已知点M（﹣2，3）在双曲线y＝上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（3，2）
【分析】根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k进行分析即可．
【解答】解：∵M（﹣2，3）在双曲线y＝上，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
A、3×（﹣2）＝﹣6，故此点一定在该双曲线上；
B、﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，故此点一定不在该双曲线上；
C、2×3＝6≠﹣6，故此点一定不在该双曲线上；
D、3×2＝6≠﹣6，故此点一定不在该双曲线上；
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握凡是反比例函数y＝经过的点横纵坐标的积是定值k．
7．已知反比例函数的图象过点M（﹣1，2），则此反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
【分析】函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（k≠0），即可求得k的值．
【解答】解：设反比例函数的解析式为（k≠0）．
∵该函数的图象过点M（﹣1，2），
∴2＝，
得k＝﹣2．
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
故选：B．
20
【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
8．如图，过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于B、C两点，若函数y＝（x＞0）的图象△ABC的边有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．5≤k≤20 B．8≤k≤20 C．5≤k≤8 D．9≤k≤20
【分析】根据题意可以分别求得点B、点C的坐标，从而可以得到k的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于B、C两点，
∴点B的纵坐标为5，点C的横坐标为4，
将y＝5代入y＝﹣x+6，得x＝1；将x＝4代入y＝﹣x+6得，y＝2，
∴点B的坐标为（1，5），点C的坐标为（4，2），
∵函数y＝（x＞0）的图象与△ABC的边有公共点，点A（4，5），点B（1，5），
∴1×5≤k≤4×5
即5≤k≤20，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
9．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（ ）
A．v＝320t B．v＝ C．v＝20t D．v＝
【分析】根据路程＝速度×时间，利用路程相等列出方程即可解决问题．
【解答】解：由题意vt＝80×4，
则v＝．
故选：B．
【点评】
20
本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是构建方程解决问题，属于中考常考题型．
10．当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：P与V的函数关系式可能是（ ）
V（单位：m3）
1
1.5
2
2.5
3
P（单位：kPa）
96
64
48
38.4
32
A．P＝96V B．P＝﹣16V+112
C．P＝16V2﹣96V+176 D．P＝
【分析】观察表格发现vp＝96，从而确定两个变量之间的关系即可．
【解答】解：观察发现：vp＝1×96＝1.5×64＝2×48＝2.5×38.4＝3×32＝96，
故P与V的函数关系式为p＝，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数96，难度不大．
二．填空题（共5小题）
11．若函数是反比例函数，则m＝ 3 ．
【分析】根据反比例函数的一般形式：x的次数是﹣1，且系数不等于0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：m＝3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
12．函数y＝，当y≥﹣2时，x的取值范围是 x≤﹣2或x＞0 （可结合图象求解）．
【分析】本题要注意的是当y≥﹣2时，反比例函数图象位于直线y＝﹣2的上方，结合图象可直观判断．
【解答】解：当y≥﹣2时，反比例函数图象位于直线y＝﹣2的上方，它的图象在一、三象限，
所以对应的x的取值范围是x≤﹣2或x＞0．
20
【点评】主要考查了反比例函数的图象性质．反比例函数y＝的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
13．如图，点P（3a，a）是反比例函y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为 y＝ ．
【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．
【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
πr2＝10π
解得：r＝2．
∵点P（3a，a）是反比例函y＝（k＞0）与⊙O的一个交点．
∴3a2＝k．
＝r
∴a2＝×（2）2＝4．
∴k＝3×4＝12，
则反比例函数的解析式是：y＝．
故答案是：y＝．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的对称性，正确根据对称性求得圆的半径是解题的关键．
14．若反比例函数的图象经过第一、三象限，则 k的取值范围是 k＜ ．
【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限，
20
∴1﹣3k≥0，解得k＜．
故答案为：k＜．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限是解答此题的关键．
15．如图，函数y＝﹣x与函数y＝﹣的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为 8 ．
【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|，得出S△AOC＝S△ODB＝2，再根据反比例函数的对称性可知：OC＝OD，AC＝BD，即可求出四边形ACBD的面积．
【解答】解：∵过函数y＝﹣的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴S△AOC＝S△ODB＝|k|＝2，
又∵OC＝OD，AC＝BD，
∴S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2，
∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC＝4×2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性．
三．解答题（共6小题）
20
16．已知函数解析式y＝1+．
（1）在下表的两个空格中分别填入适当的数：
（2）观察上表可知，当x的值越来越大时，对应的y值越来越接近于一个常数，这个常数是什么？
x
5
500
5000
50000
…
y＝1+
1.2
1.02
1.002
1.0002
…
【分析】（1）用代入法，分别把x＝5、y＝1.2代入函数解析式中即可；
（2）由表格可知，当x趋近于正无穷大时，y越来越接近1．
【解答】解：（1）x＝5时，y＝3；y＝1.2时，x＝50；
填入表格如下：
x
5
50
500
5000
50000
…
y＝1+
3
1.2
1.02
1.002
1.0002
…
（2）由上表可知，当x的值越来越大时，对应的y值越来越接近于常数1．
【点评】此题主要考查已知解析式时，求对应的自变量和函数的值．
17．如图，A、B两点在函数y＝（x＞0）的图象上．
（1）求m的值及直线AB的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．
【分析】（1）将A点或B点的坐标代入y＝求出m，再将这两点的坐标代入y＝kx+b求出k、b的值即可得到这个函数的解析式；
（2）画出网格图帮助解答．
【解答】解：（1）由图象可知，函数（x＞0）的图象经过点A（1，6），
20
可得m＝6．
设直线AB的解析式为y＝kx+b．
∵A（1，6），B（6，1）两点在函数y＝kx+b的图象上，
∴，
解得．
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+7；
（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点是（2，4），（3，3），（4，2）共3个．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象性质，综合性较强，体现了数形结合的思想．
18．已知实数a，b满足a﹣b＝1，a2﹣ab+2＞0，当1≤x≤2时，函数y＝（a≠0）的最大值与最小值之差是1，求a的值．
【分析】首先根据条件a﹣b＝1，a2﹣ab+2＞0可确定a＞﹣2，然后再分情况进行讨论：①当﹣2＜a＜0，1≤x≤2时，函数y＝的最大值是y＝，最小值是y＝a，②当a＞0，1≤x≤2时，函数y＝的最大值是y＝a，最小值是y＝，再分别根据最大值与最小值之差是1，计算出a的值．
【解答】解：∵a2﹣ab+2＞0，
∴a2﹣ab＞﹣2，
a（a﹣b）＞﹣2，
∵a﹣b＝1，
∴a＞﹣2，
①当﹣2＜a＜0，1≤x≤2时，函数y＝的最大值是y＝，最小值是y＝a，
20
∵最大值与最小值之差是1，
∴﹣a＝1，
解得：a＝﹣2，不合题意，舍去；
②当a＞0，1≤x≤2时，函数y＝的最大值是y＝a，最小值是y＝，
∵最大值与最小值之差是1，
∴a﹣＝1，
解得：a＝2，符合题意，
∴a的值是2．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数（k≠0），当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
19．如图，已知函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC＝1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．
（1）求△OCD的面积；
（2）当BE＝AC时，求CE的长．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得D点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（2）根据BE的长，可得B点的纵坐标，根据点在函数图象上，可得B点横坐标，根据两点间的距离公式，可得答案．
【解答】解；（1）y＝（x＞0）的图象经过点A（1，2），
20
∴k＝2．
∵AC∥y轴，AC＝1，
∴点C的坐标为（1，1）．
∵CD∥x轴，点D在函数图象上，
∴点D的坐标为（2，1）．
∴．
（2）∵BE＝，
∴．
∵BE⊥CD，
点B的纵坐标＝2﹣＝，
由反比例函数y＝，
点B的横坐标x＝2÷＝，
∴点B的横坐标是，纵坐标是．
∴CE＝．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，利用待定系数法求解析式，图象上的点满足函数解析式．
20．在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．
（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？
（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；
（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．
【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab＝0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；
20
（2）把M（m，n），N（n，m）代入y＝cx+d，即可得到结论；
（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q＝1，得到q＝﹣1或q＝2，将这一对“互换点”代入y＝x2+bx+c得，于是得到结论．
【解答】解：（1）不一定，
设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．
①当ab＝0时，它们不可能在反比例函数的图象上，
②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k≠0）的图象上；
（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y＝cx+d（c≠0）．
则有解得，
∴直线MN的表达式为y＝﹣x+m+n；
（3）设点A（p，q），则，
∵直线AB经过点P（，），由（2）得，
∴p+q＝1，
∴，
解并检验得：p＝2或p＝﹣1，
∴q＝﹣1或q＝2，
∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），
将这一对“互换点”代入y＝x2+bx+c得，
∴解得，
∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
21．如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．
20
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积．
【分析】（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；
（2）利用勾股定理求得AB＝OA＝5，由AB∥x轴即可得点B的坐标；
（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）将点A（4，3）代入y＝，得：k＝12，
则反比例函数解析式为y＝；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC＝4、AC＝3，
∴OA＝＝5，
∵AB∥x轴，且AB＝OA＝5，
∴点B的坐标为（9，3）；
（3）∵点B坐标为（9，3），
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∴OB所在直线解析式为y＝x，
由可得点P坐标为（6，2），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标为（6，3），
∴AE＝2、PE＝1、PD＝2，
则△OAP的面积＝×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1＝5．
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及求直线、双曲线交点的坐标和割补法求三角形的面积．
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