《第27章 相似》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为5cm，则它的实际长度约为（ ）
A．0.2km B．2km C．20km D．200km
3．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（ ）S2．
A．＞ B．＝ C．＜ D．无法确定
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（ ）
A． B．2 C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．相似三角形一定全等
B．不相似的三角形不一定全等
C．全等三角形不一定是相似三角形
D．全等三角形一定是相似三角形
6．如果两个相似多边形面积的比是4：9，那么这两个相似多边形对应边的比是（ ）
A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4
7．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝40°，∠C＝110°，则∠B′等于（ ）
A．30° B．50° C．40° D．70°
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8．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC边上，CM：MA＝1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（ ）
A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10
10．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（ ）
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
二．填空题（共5小题）
11．已知＝，则＝ ．
12．在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝3cm，则A、B两地的实际距离为 km．
13．已知P是线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，AP＞BP，那么AP＝ cm．
14．如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，则AC＝ ．
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15．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的 倍．
三．解答题（共6小题）
16．已知，求下列算式的值．
（1）；
（2）．
17．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
18．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．
（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
（3）设，试求k的值；
（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1＝A1C1，∠A1＝108°，且A1B1＝AB，请直接写出的值．
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19．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD•AG＝AF•AB．
20．我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．
21．学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．
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2019年人教版九下数学《第27章 相似》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．
【解答】解：A、＝，则5y＝6x，故此选项错误；
B、＝，则5x＝6y，故此选项正确；
C、＝，则5y＝6x，故此选项错误；
D、＝，则xy＝30，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．
2．在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为5cm，则它的实际长度约为（ ）
A．0.2km B．2km C．20km D．200km
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【解答】解：设这条道路的实际长度为x，则：＝，
解得x＝200000cm＝2km．
∴这条道路的实际长度为2km．
故选：B．
【点评】本题考查比例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换．
3．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（ ）S2．
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A．＞ B．＝ C．＜ D．无法确定
【分析】根据黄金分割的概念知：，变形后求解．
【解答】解：根据黄金分割的概念得：，
则＝1，即S1＝S2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了线段黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形的面积进行分析计算．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，
∴AB＝AH+BH＝3，
∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝．
故选：A．
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【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．相似三角形一定全等
B．不相似的三角形不一定全等
C．全等三角形不一定是相似三角形
D．全等三角形一定是相似三角形
【分析】根据全等三角形是相似三角形的特殊情况，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、相似三角形大小不一定相等，所以不一定全等，故本选项错误；
B、不相似的三角形一定不全等，不是不一定全等，故本选项错误；
C、全等三角形一定是相似三角形，故本选项错误；
D、全等三角形是相似比为1的相似三角形，所以一定是相似三角形，正确．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形与相似三角形的关系，熟记全等三角形是相似三角形的特殊情况是解题的关键．
6．如果两个相似多边形面积的比是4：9，那么这两个相似多边形对应边的比是（ ）
A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4
【分析】由两个相似多边形面积的比是4：9，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵两个相似多边形面积的比是4：9，
∴这两个相似多边形对应边的比是2：3．
故选：B．
【点评】此题考查了相似多边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．
7．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝40°，∠C＝110°，则∠B′等于（ ）
A．30° B．50° C．40° D．70°
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠B，再根据相似三角形对应角相等解答．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠C＝110°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣40°﹣110°＝30°，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′＝∠B＝30°．
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故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．
8．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，
∴AC：BC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
9．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC边上，CM：MA＝1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（ ）
A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10
【分析】连接EM，根据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根据相似比从而不难得到答案．
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【解答】解：连接EM，
CE：CD＝CM：CA＝1：3
∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：ME＝BD：BE＝3：5，ME：AD＝CM：AC＝1：3
∴AH＝（3﹣）ME，
∴AH：ME＝12：5
∴HG：GM＝AH：EM＝12：5
设GM＝5k，GH＝12k，
∵BH：HM＝3：2＝BH：17k
∴BH＝K，
∴BH：HG：GM＝k：12k：5k＝51：24：10
故选：D．
【点评】此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用．
10．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（ ）
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC
∴，
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设屏幕上的小树高是x，则，
解得x＝18cm．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
二．填空题（共5小题）
11．已知＝，则＝ ．
【分析】用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵＝，
∴a＝b，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．
12．在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝3cm，则A、B两地的实际距离为 1.5 km．
【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．
【解答】解：∵比例尺为1：5000，量得两地的距离是20厘米，
∴，
∴A、B两地的实际距离＝150000cm＝1.5km．
故答案为：1.5．
【点评】此题考查了比例尺的性质．注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一．
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13．已知P是线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，AP＞BP，那么AP＝ 3（﹣1） cm．
【分析】根据黄金分割的概念得到AP＝AB，把AB＝6cm代入计算即可．
【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝AB，
而AB＝6cm，
∴AP＝6×＝3（﹣1）cm．
故答案为3（﹣1）．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．
14．如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，则AC＝ 15 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出BC的值，即可得出答案．
【解答】解：∵：l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，
∴BC＝9，
∴AC＝AB+BC＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出正确饿比例式是解此题的关键．
15．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的 5 倍．
【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．
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【解答】解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，
∴扩大后的三角形与原三角形相似，
∵相似三角形的周长的比等于相似比，
∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．
三．解答题（共6小题）
16．已知，求下列算式的值．
（1）；
（2）．
【分析】（1）由比例的性质容易得出结果；
（2）设a＝3k，则b＝2k，代入计算化简即可．
【解答】解：（1）∵，
∴＝；
（2）∵，
∴设a＝3k，则b＝2k，
∴＝＝＝．
【点评】本题考查了比例的性质，代数式的求值；熟练掌握比例的性质是解决问题的关键．
17．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
【分析】（1）先画出方向标，再确定方位角、比例尺作图；
（2）动手操作利用量角器测量即可；
（3）先利用刻度尺测量出图上距离，再根据比例尺换算成实际距离．
【解答】解：（1）路线图（6分）（P、A、C点各2分）
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注意：起点是必须在所给的图形中画，否则即使画图正确扣；（2分）
（2）量得∠PAC≈105°，∠ACP≈45°；（9分）（只有1个正确得2分）
（3）量路线图得AC≈3.5厘米，PC≈6.8厘米．
∴AC≈3.5千米；PC≈6.8千米（13分）
【点评】主要考查了方位角的作图能力．要会根据比例尺准确的作图，并根据图例测算出实际距离．
18．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．
（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
（3）设，试求k的值；
（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1＝A1C1，∠A1＝108°，且A1B1＝AB，请直接写出的值．
【分析】（1）可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图；
（2）求得各个角的度数，根据题意进行判断；
（3）通过证明△BDC∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；
（4）由黄金三角形的性质可知的值．
【解答】解：（1）如图所示；
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（2）△BCD是黄金三角形．
证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．
（3）设BC＝x，AC＝y，
由（2）知，AD＝BD＝BC＝x．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴，即，
整理，得x2+xy﹣y2＝0，
解得．
因为x、y均为正数，所以．
（4）．
理由：延长BC到E，使CE＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°﹣72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B1A1C1．
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∵A1B1＝AB，
∴AC＝CE＝A1B1＝A1C1，
∴△ACE≌△B1A1C1，
∴AE＝B1C1．
由（3）知，
∴，，
∴．
【点评】此题考查的知识综合性较强，能够熟记黄金比的值，根据黄金比进行计算．注意根据题目中定义的黄金三角形进行分析计算．
19．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD•AG＝AF•AB．
【分析】（1）由平行可得＝，可求得AC，且EC＝AC﹣AE，可求得EC；
（2）由平行可知＝＝，可得出结论．
【解答】（1）解：
∵DE∥BC，
∴＝，
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又＝，AE＝3，
∴＝，
解得AC＝9，
∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6；
（2）证明：
∵DE∥BC，EF∥CG，
∴＝＝，
∴AD•AG＝AF•AB．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
20．我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．
【分析】根据相似图形的定义，对题目条件进行一一分析，作出正确回答．
【解答】解：①两个圆，它们的所有对应元素都成比例，是相似图形；
②两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，不一定是相似图形；
③两个长方形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形；
④两个正六边形，它们的边长、对应角等所有元素都对应成比例，是相似图形．
∴①④是相似图形，②③不一定是相似图形．
【点评】本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
21．学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．
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【分析】可先假设矩形成立，根据相似列式计算，最后求得矩形的长和宽相等，则只能是正方形．
【解答】解：只有正方形才能做到，理由：
设矩形的一边为a，另一边为b，等宽的纸边宽c，
如果要两矩形相似，则a：b＝（a﹣2c）：（b﹣2c），
解得a＝b，
∴只能是正方形了．
【点评】本题考查相似多边形的性质．根据题意设未知数并列式是关键．
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