九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元检测（含解析）新人教版.doc

第二十八章质量评估试卷 ‎[时间：90分钟　分值：120分]‎ 一、选择题(每小题3分，共30分)‎ ‎1．如图1，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sin α的值为(　　)‎ 图1‎ A. B. C. D. ‎2．下列各数：，π，，cos 60°，0，，其中无理数的个数是(　　)‎ A．1个 B．2个 ‎ C．3个 D．4个 ‎3．在等腰△ABC中，AB＝AC＝‎10 cm，BC＝‎12 cm，则cos 的值是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎4．如图2，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽‎10 m，坝高‎12 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为(　　)‎ 图2‎ A．‎26 m B．‎28 m ‎ C．‎30 m D．‎‎46 m ‎5．如图3，一个斜坡长‎130 m，坡顶离水平地面的距离为‎50 m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于(　　)‎ 10‎ 图3‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6．点M(－sin 60°，cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎【解析】 ∵sin 60°＝，cos 60°＝，‎ ‎∴M关于x轴对称的点的坐标为M′.‎ ‎7．[2017·温州]如图4，一辆小车沿倾斜角为cos α＝的斜坡向上行驶‎13 m，则小车上升的高度是(　　)‎ 图4‎ A．‎5 m B．‎6 m ‎ C．‎6.5 m D．‎‎12 m ‎8．如图5，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为(　　)‎ 图5‎ A. B. ‎ C. D. ‎9．如图6，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝‎10 m，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是(　　)‎ 10‎ 图6‎ A．5sin 36° m B．5cos 36° m C．5tan 36° m D．10tan 36° m ‎10．[2016·苏州]如图7，长‎4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为(　　)‎ 图7‎ A．‎2 m B．‎2 m C．(2－2) m D．(2－2) m ‎【解析】 在Rt△ABD中，∵sin ∠ABD＝，‎ ‎∴AD＝4sin 60°＝2 m，‎ 在Rt△ACD中，∵sin ∠ACD＝，‎ ‎∴AC＝＝2 m.‎ 二、填空题(每小题4分，共24分)‎ ‎11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝，则AB＝_______.‎ ‎12．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图8，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB＝‎12 m，背水坡面CD＝‎12 m，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝，则CE的长为_________m.‎ 图8‎ ‎13．如图9所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了‎100 m后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为　‎137　‎m．(注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73)‎ 10‎ 图9‎ ‎14．在△ABC中，如果∠A，∠B满足＋2＝0，那么∠C＝__________.‎ ‎15．如图10，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan ∠ADC＝_________.‎ 图10‎ ‎16．如图11，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE＝6，sin A＝，菱形ABCD的周长是______.‎ 图11‎ 三、解答题(共66分)‎ ‎17．(10分)计算：‎ ‎(1)2sin 30°＋cos 60°－tan 60°·tan 30°＋cos2 45°；‎ ‎(2)＋.‎ 10‎ ‎18．(10分)已知△ABC中，∠C＝90°.‎ ‎(1)已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；‎ ‎(2)已知a＝3，∠A＝30°，求∠B，b，c.‎ ‎19．(10分)如图12，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A，D.从D点测得B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝‎30 m.‎ 图12‎ ‎(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD；‎ ‎(2)求乙建筑物的高CD.‎ 10‎ ‎20．(12分)如图13，海中一渔船在A处且与小岛C相距70海里，若该渔船由西向东航行30海里到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上，求该渔船此时与小岛C之间的距离．‎ 图13‎ ‎21．(12分)如图14，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD.‎ 图14‎ ‎(1)求证：AD＝CD；‎ ‎(2)若AB＝10，cos ∠ABC＝，求tan ∠DBC的值．‎ 10‎ ‎22．(12分)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b.‎ 解：在△ABC中，∵＝，‎ ‎∴b＝＝＝＝3.‎ 问题解决：‎ 如图15，甲船以每小时30 海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 海里．‎ 图15‎ ‎(1)判断△A‎1A2B2的形状，并给出证明．‎ ‎(2)乙船每小时航行多少海里？‎ 10‎ 参考答案 ‎1.A　2.B　3.A　4.D　5.C　6.B　7.A　8.B　9.C　10.B ‎11.6　12.8　13.137　14.75°　15. 　16.40‎ ‎17. 解：(1)原式＝2×＋－×＋2‎ ‎＝1＋－1＋＝1；‎ ‎(2)原式＝＋＝＋＝2.‎ ‎18. 解：(1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，‎ a＝csin A＝csin 60°＝8×＝12，‎ b＝ccos A＝ccos 60°＝8×＝4；‎ ‎(2)∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，‎ c＝＝＝＝6，‎ b＝＝＝＝9.‎ ‎19. 解：(1)根据题意得，在Rt△ABD中，‎ ‎∠BDA＝∠α＝60°，AB＝30 m，‎ ‎∴AD＝＝＝10 m，‎ 答：甲、乙两建筑物之间的距离AD为10 m.‎ ‎(2)如答图，过点C作CE⊥AB于点E.‎ 10‎ ‎　‎ 第19题答图 根据题意，得∠BCE＝∠β＝30°，CE＝AD＝10，CD＝AE.‎ 在Rt△BEC中，tan ∠BCE＝，‎ ‎∴tan 30°＝，‎ ‎∴BE＝10 m，‎ ‎∴CD＝AE＝AB－BE＝30－10＝20 m.‎ 答：乙建筑物的高CD为20 m.‎ ‎20. 解：如答图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：‎ ‎　‎ 第20题答图 ‎∠BCD＝30°，设BC＝x，‎ 在Rt△BCD中，BD＝BCsin 30°＝x，‎ CD＝BCcos 30°＝x，‎ ‎∴AD＝30＋x，‎ ‎∴在Rt△ACD中，AD2＋CD2＝AC2，‎ 即2＋2＝702，‎ 解得：x1＝50，x2＝－80(舍去)．‎ 答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里．‎ ‎21. (1)证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，‎ 又∵OD∥BC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，‎ ‎∴OD⊥AC.∴＝.∴AD＝CD，‎ ‎(2)解：∵AB＝10，‎ 10‎ ‎∴OA＝OD＝AB＝5，‎ ‎∵OD∥BC，∴∠AOE＝∠ABC，‎ 在Rt△AEO中，‎ OE＝OAcos ∠AOE＝OAcos ∠ABC＝5×＝3，‎ ‎∴DE＝OD－OE＝5－3＝2，‎ 由勾股定理得，AE＝＝＝4，‎ 在Rt△AED中，tan ∠DAE＝＝＝，‎ 又∵∠DBC＝∠DAE，‎ ‎∴tan ∠DBC＝.‎ ‎22. 解：(1)△A‎1A2B2是等边三角形．‎ 证明：由已知A2B2＝10，‎ A‎1A2＝30×＝10，∴A‎1A2＝A2B2，‎ 又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，‎ ‎∴△A1A2B2是等边三角形．‎ ‎(2)∵△A‎1A2B2是等边三角形，‎ ‎∴A1B2＝A1A2＝10，‎ 由已知∠CB1A1＝180°－105°＝75°，‎ ‎∴∠B2B1A1＝75°－15°＝60°，‎ 又∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，‎ 在△A1B2B1中，由正弦定理得：‎ ＝，‎ B1B2＝·sin 45°＝·＝.‎ 因此，乙船的速度大小为×＝20 (海里/小时)．‎ 答：乙船每小时航行20 海里．‎ 10‎