附中高二期中2期文数答案.pdf

书书书 湖南师大附中２０１８－２０１９学年度高二第二学期期中考试文科数学参考答案－１　　　　 湖南师大附中２０１８－２０１９学年度高二第二学期期中考试 数学（文科）参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题 题　号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答　案 Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ｂ 二、填空题 １１．４ １２．１ ４ １３．６ １４．２犽π＋π ６，２犽π＋５π［ ］６ （犽∈犣） １５．１６π　【解析】正四棱锥犘－犃犅犆犇 底面的四个顶点犃，犅，犆，犇 在球犗 的同一个大圆上，点犘 在球面上，犘犗 ⊥底面犃犅犆犇，犘犗＝犚，犛犃犅犆犇 ＝２犚２，犞犘－犃犅犆犇 ＝１６ ３， 所以１ ３·２犚２·犚＝１６ ３，解得犚＝２，则球犗 的表面积是１６π． 三、解答题 １６．【解析】（１）略； （３分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）犳（狓）ｍａｘ＝１，犳（狓）ｍｉｎ＝－３５． （６分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １７．【解析】设公比为狇，则狇≠１，由 犪１狇５－犪１狇３＝２１６， 犪１狇２－犪１＝８， 犪１（１－狇狀） １－狇 ＝１３ 烅 烄 烆 ， （５分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 解得： 狇＝３， 犪１＝１， 狀＝３ 烅 烄 烆 ． （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １８．【解析】（１）在正方体犃犅犆犇－犃１犅１犆１犇１ 中， ∵犃犅∥犇１犆１，犃犅＝犇１犆１， ∴四边形犃犅犆１犇１ 是平行四边形， ∴犃犇１∥犅犆１， ∵犃犇１平面犆１犅犇，犅犆１平面犆１犅犇， ∴犇１犃∥平面犆１犅犇． （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）由（１）知，犃犇１∥犅犆１， ∴异面直线犇１犃 与犅犇 所成的角即为∠犆１犅犇， 由题可知，△犆１犅犇 为等边三角形， ∴∠犆１犅犇＝６０°， 即异面直线犇１犃 与犅犇 所成的角为６０°． （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!湖南师大附中２０１８－２０１９学年度高二第二学期期中考试文科数学参考答案－２　　　　 １９．【解析】（１）犳（狓）＝ｓｉｎ２狓＋ｃｏｓ２狓 槡＝ ２ｓｉｎ ２狓＋π（ ）４ ． 所以，犳（狓）的最小正周期犜＝２π ２＝π． （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）因为犳（狓）在区间 －π ４，π［ ］８ 上是增函数，在区间 π ８，π［ ］４ 上是减函数， 又犳 －π（ ）４ ＝－１，犳 π（ ）８ 槡＝ ２，犳 π（ ）４ ＝１， 故函数犳（狓）在区间 －π ４，π［ ］４ 上的最大值为槡２，最小值为－１． （８分）!!!!!!!!!!!!!!! ２０．【解析】（１）∵圆心犆在狓 轴上且该圆与狔 轴相切， ∴设圆心犆（犪，０），半径狉＝｜犪｜，犪≠０， 设圆的方程为（狓－犪）２＋狔２＝犪２， 将点犃（－１，２）代入得（－１－犪）２＋２２＝犪２， ∴犪＝－５ ２， ∴所求圆犆的方程为 狓＋（ ）５ ２ ２ ＋狔２＝２５ ４． （５分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）方法一：联立方程狔＝狓＋２与 狓＋（ ）５ ２ ２ ＋狔２＝２５ ４得交点犘 －１ ２，（ ）３ ２ ，犙（－４，－２）． ∴直线犾被圆截得的弦长｜犘犙｜＝ －１ ２（ ）＋４ ２ ＋ ３ ２（ ）＋２槡 ２ ＝ 槡７ ２ ２ ． （１０分）!!!!!!!!!!!! 方法二：∵圆心犆 －５ ２，（ ）０ 到直线犾：狔＝狓＋２的距离犱＝ －５ ２－０＋２ 槡２ ＝槡２ ４， ∴直线犾被圆截得的弦长为２ 狉２－犱槡 ２＝２ ２５ ４－２槡 １６＝ 槡７ ２ ２ ． （１０分）!!!!!!!!!!!!!!! 第Ⅱ卷 一、填空题 ２１．（１）１０　（２）狀 狀（ ）＋１ ２ 【解析】（１）图①有１层，第１层正方体的个数为犛１＝１； 图②有２层，第２层正方体的个数为犛２＝１＋２； 图③有３层，第３层正方体的个数为犛３＝１＋２＋３； 依次类推，第４个图有４层，第４层正方体的个数为犛４＝１＋２＋３＋４＝１０． （２）由（１）猜想：第狀个图有狀 层，第狀层正方体的个数为犛狀＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋…＋狀＝狀 狀（ ）＋１ ２ ． ２２．１０　【解析】由犳（狓）＝０，得（ ）１ ２ 狓－１ ＝－２ｃｏｓπ狓． 函数狔＝（ ）１ ２ 狓－１ 和狔＝－２ｃｏｓπ狓的图象都关于直线狓＝１对称，在同一平面直角坐标系中作出函数狔 ＝（ ）１ ２ 狓－１ 和狔＝－２ｃｏｓπ狓的图象，如图所示．湖南师大附中２０１８－２０１９学年度高二第二学期期中考试文科数学参考答案－３　　　　 由图象可知在［－４，６］上共有５对关于狓＝１对称的交点，不妨设关于狓＝１对称的其中一对交点的横坐标 分别为狓１，狓２，则狓１＋狓２ ２ ＝１，即狓１＋狓２＝２，∴所有１０个交点横坐标之和为５（狓１＋狓２）＝５×２＝１０，即所有 零点之和为１０． 二、解答题 ２３．【解析】（１）当犪＝１时，不等式犳（狓）≥犵（狓）等价于狓２－狓＋｜狓＋１｜＋｜狓－１｜－４≤０① （１分）!!!!!! 当狓＜－１时，①式可化为狓２－３狓－４≤０，无解； 当－１≤狓≤１时，①式可化为狓２－狓－２≤０， 解得－１≤狓≤２，∴－１≤狓≤１； 当狓＞１时，①式可化为狓２＋狓－４≤０， 解得 槡－１－ １７ ２ ≤狓≤ 槡－１＋ １７ ２ ，∴１＜狓≤ 槡－１＋ １７ ２ ． （４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!! 综上所述，不等式犳（狓）≥犵（狓）的解集为 狓 －１≤狓≤ 槡－１＋ １７｛ ｝２ ． （６分）!!!!!!!!!!!!! （２）当狓∈［－１，１］时，犵（狓）＝２， ∴不等式犳（狓）≥犵（狓）的解集包含［－１，１］，等价于当狓∈［－１，１］时，犳（狓）≥２恒成立． （８分）!!!!! 又犳（狓）在［－１，１］上的最小值必为犳（－１）或犳（１）， ∴只需犳（－１）≥２且犳（１）≥２，解得－１≤犪≤１，即犪的取值范围为［－１，１］． （１２分）!!!!!!!!! ２４．【解析】（１）当犿＝－１时，犳（狓）＝ｅ２狓－狓， ∴犳′（狓）＝２ｅ２狓－１，则犳′（０）＝１． （２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 又犳（０）＝１，∴曲线狔＝犳（狓）在点（０，犳（０））处的切线方程为狔＝狓＋１． （４分）!!!!!!!!!!!! （２）函数犳（狓）的定义域为（－∞，＋∞），且犳′（狓）＝２ｅ２狓＋犿（犿≤０）． （６分）!!!!!!!!!!!!! ①当犿＝０时，犳（狓）＝ｅ２狓＞０恒成立，满足条件； （７分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ②当犿＜０时，由犳′（狓）＞０，得狓＞１ ２ｌｎ －犿（ ）２ ，所以函数犳（狓）在 １ ２ｌｎ －犿（ ）２ ，＋∞（ ）上单调递增；同理 函数犳（狓）在 －∞，１ ２ｌｎ －犿（ ）（ ）２ 上单调递减． （９分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 因此犳（狓）在狓＝１ ２ｌｎ －犿（ ）２ 处取得最小值犿 ２ ｌｎ －犿（ ）２［ ］－１ ． （１０分）!!!!!!!!!!!!!! ∴犿 ２ ｌｎ －犿（ ）２［ ］－１ ＞０，解得－２ｅ＜犿＜０． （１２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 综上所述，当犿∈（－２ｅ，０］时，不等式犳（狓）＞０在定义域（－∞，＋∞）内恒成立． （１３分）!!!!!!!湖南师大附中２０１８－２０１９学年度高二第二学期期中考试文科数学参考答案－４　　　　 ２５．【解析】（１）由题意可设抛物线犆的方程为狓２＝２狆狔（狆＞０），则狆 ２＝１， 所以抛物线犆的方程为狓２＝４狔． （３分）!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）设犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），直线犃犅 的方程为狔＝犽狓＋１． 由 狔＝犽狓＋１， 狓２＝４｛ 狔 消去狔，整理得狓２－４犽狓－４＝０， 所以狓１＋狓２＝４犽，狓１狓２＝－４． 从而｜狓１－狓２｜＝４ 犽２槡 ＋１． （５分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由 狔＝狔１ 狓１ 狓， 狔＝狓－２ 烅 烄 烆 ， 解得点 犕 的横坐标狓犕 ＝ ２狓１ 狓１－狔１ ＝ ２狓１ 狓１－狓２ １ ４ ＝ ８ ４－狓１ ． （７分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 同理，点 犖 的横坐标狓犖 ＝ ８ ４－狓２ ． （８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 所以｜犕犖｜ 槡＝ ２｜狓犕 －狓犖｜ 槡＝ ２ ８ ４－狓１ － ８ ４－狓２ 槡＝８ ２ 狓１－狓２ 狓１狓２－４（狓１＋狓２）＋１６ ＝ 槡８ ２ 犽２槡 ＋１ ｜４犽－３｜ ， （１０分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 令４犽－３＝狋，狋≠０，则犽＝狋＋３ ４ ， 当狋＞０时，｜犕犖｜ 槡＝２ ２ ２５ 狋２ ＋６ 狋槡 ＋１＞ 槡２ ２． 当狋＜０时，｜犕犖｜ 槡＝２ ２ ５ 狋＋（ ）３ ５ ２ ＋１６槡 ２５≥８ ５槡２． 综上所述，当狋＝－２５ ３，即犽＝－４ ３时，｜犕犖｜的最小值是８ ５槡２． （１３分）!!!!!!!!!!!!!!!