2019年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析： =，故选A.
考点：集合的运算.
2.已知复数（是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】解：，
故选：B.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.
3.已知命题，，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
本题中所给的命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，将量词改为存在量词，否定结论即可
【详解】解：命题，，是一个全称命题
，，
故选：D.
【点睛】本题考查了“含有量词的命题的否定”，属于基础题.解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写.
4.如图所示的程序框图，如果输入三个实数，，，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量.
【详解】解：由流程图可知：
第一个选择框作用是比较与的大小，
故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，
条件成立时，保存最大值的变量
故选：A.
【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题.
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.
【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，
其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，
则其焦点到渐近线的距离；
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.
6.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积.
【详解】解：由三视图可知该几何体的直观图是正方体去掉一个棱长为的正方体，
正方体的边长为，三棱锥的三个侧棱长为，
则该几何体的体积，
故选：C.
【点睛】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键.
7.设，满足，则（ ）
A. 有最小值，最大值 B. 有最小值，无最大值
C. 有最小值，无最大值 D. 既无最小值，也无最大值
【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最小值.
【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.
由得，平移直线，
由图象可知当直线经过点时，
直线的截距最小，此时最小.
由，
解得，
代入目标函数得.
即目标函数的最小值为.
无最大.
故选：B.
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.
8.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出.
【详解】解：设等差数列的公差为，是与的等比中项，，
，，
联立解得：，.
则 .
故选：C.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
9.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.
详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C，由题意可知，可能的比赛为：Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba，Ca,Cb，共有3种，则田忌马获胜的概率为.本题选择A选项.
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
10.设定义在上的奇函数满足（），则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件可得出，并得出在，上都是增函数，从而可讨论与的关系：时，显然满足；时，可得出，从而得出；时，可得出，从而得出，最后即可得出不等式的解集.
【详解】解：是上的奇函数，且时，；
，且在，上都单调递增；
①时，满足；
②时，由得，；
；
；
③时，由得，；
；
；
；
综上得，的解集为.
故选：D.
【点睛】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性相同，以及增函数的定义，清楚的单调性.
11.已知三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等.若点，，，都在半径为的球面上，则球心到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算.
【详解】解：三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等，
此三棱锥的外接球即以，，为三边的正方体的外接球，
球的半径为，
正方体的边长为，即，
球心到截面的距离即正方体中心到截面的距离，
设到截面的距离为，则正三棱锥的体积 ，
为边长为的正三角形，，
，
∴球心（即正方体中心）到截面的距离为.
故选：C.
【点睛】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题.
12.函数，，若对恒成立，则实数的范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数可得在上的取值范围为，其中，令换元，把对恒成立转化为对恒成立，分离参数后利用函数单调性求出函数的最小值得答案.
【详解】解：，，
，，
在上有零点，
又在上成立，
在上有唯一零点，设为，
则当时，，当时，，
在上有最大值，
又，
，
令，
要使对恒成立，则
对恒成立，
即对恒成立，
分离，得，
函数的对称轴为，又，
，
则.
则实数的范围是.
故选：A
【点睛】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属难题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知向量，，，若，则_____.
【答案】4
【解析】
【分析】
结合向量平行满足的性质,建立等式,计算参数,即可.
【详解】解：，，
，
又，且，
，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查向量的坐标加法运算，考查向量故选的坐标表示，是基础题.
14.将函数的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数的单调递增区间是 .
【答案】，.
【解析】
【分析】
结合左加右减原则,得到新函数解析式,结合三角函数的性质,计算单调增区间,即可.
【详解】将函数的图象向右平移个单位后，
得到的图象对应函数的解析式为，
它的单调递增区间是，，
故答案为：，.
【点睛】考查了三角函数平移,考查了三角函数单调区间的计算,难度中等.
15.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为_____.
【答案】2；
【解析】
试题分析：先表示出准线方程，然后根据抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值．
解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，
因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，
所以3+=4，解得p=2．
故答案为：2
点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．
16.已知数列和的前项和分别为和，且，，（），若对任意的，恒成立，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用,化简,得到该数列通项公式,利用裂项相消法,求和,计算k的范围，得到最值，即可。
【详解】，，可得，解得，
当时， ，
化为 ，由，可得，
即有，
，
即有 ，
对任意的，恒成立，可得，即的最小值为.
故答案为：.
【点睛】考查了裂项相消法，考查了等差数列的通项计算方法，难度中等。
三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.在中，角，，的对边分别是，，，且，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）2
【解析】
【分析】
（1）由已知利用二倍角公式，正弦定理可求的值，根据同角三角函数基本关系式可求的值.
（2）由已知利用余弦定理可得，即可解得的值.
【详解】解：（1），，.
，
，
（2）由余弦定理，可得： ，可得：，
解得：或（舍去）
【点睛】本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.
18.如图所示，在正三棱柱中，，，分别是，的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若求点到平面的距离.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（I）结合平面与平面平行的判定和性质，即可。（II）利用，建立等式，计算
参数，即可。
【详解】（Ⅰ）取中点，连结，，
则，，
，，
平面平面，
平面，平面；
（Ⅱ）连结，设点到平面的距离为，
，，
解得，点到平面的距离为.
【点睛】考查了平面与平面平行的判定和性质，考查了三棱锥体积计算公式，难度中等。
19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费和年销售量（）的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份
年宣传费（万元）
年销售量（吨）
经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式（）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：
（1）根据所给数据，求关于的回归方程；
（2）已知这种产品的年利润与，的关系为若想在年达到年利润最大，请预测年的宣传费用是多少万元？
附：对于一组数据，，…，，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
【答案】（1）；（2）当2019年的年宣传费用是万元时，年利润有最大值
【解析】
【分析】
（1）转化方程，结合线性回归方程参数计算公式，计算，即可。（2）将z函数转化为二次函数，计算最值，即可。
【详解】（1）对，（，），两边取对数得，
令，，得，
由题目中的数据，计算，，
且 ，
；
则 ，
，
得出，
所以关于的回归方程是；
（2）由题意知这种产品的年利润z的预测值为
，
所以当，即时，取得最大值，
即当2019年的年宣传费用是万元时，年利润有最大值.
【点睛】考查了线性回归方程求解，考查了二次函数计算最值问题，关键结合题意，得到回归方程，第二问关键转化为二次函数问题，难度中等。
20.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）对于，当时，，即，当，，即，再写出椭圆的方程；
（2）设直线，（），设，两点的坐标分别为，，则，代入椭圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线过定点，
【详解】（1）对于，当时，，即，当，，即，
椭圆的方程为，
（2）证明：设直线，（），
设，两点的坐标分别为，，则，
联立直线与椭圆得，
得，
，解得
，，
，
直线 ，
令，得 ，
直线过定点
【点睛】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.
21.已知函数.
（Ⅰ）若的图像在点处的切线与直线平行，求的值；
（Ⅱ）若，讨论的零点个数.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1个
【解析】
【分析】
（I）计算的导数，计算切线斜率，计算参数，即可。（2）构造函数，结合导函数，计算最值，计算零点个数，即可。
【详解】（Ⅰ）函数，
导数为，，
图象在点处的切线斜率为，
由切线与直线平行，可得，
解得；
（Ⅱ）若，可得，
由，可得（舍去），即的零点个数为；
若，由，即为，
可得，，
设，，
当时，，递减；当时，，递增，
可得处取得极大值，且为最大值，
的图象如图：
由，即，可得和的图象只有一个交点，
即时，的零点个数为，
综上可得在的零点个数为.
【点睛】考查了利用导函数计算切点直线斜率，考查了利用导函数判定原函数的单调性和最值，考查了构造函数的思想，难度偏难。
选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与圆交于，两点，点，且，求的值.
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.
（2）首先把直线的参数式转换为标准式，进一步利用直线和曲线的位置关系建立等量关系，进一步求出a的值.
【详解】解：（1）圆的极坐标方程为（）
转换为直角坐标方程为：.
（2）把直线的参数方程（为参数），
转换为标准形式为：（为参数），代入，
得到： ，
所以：，（和为、对应的参数），
由于，.
所以：，
即：，
解得：.
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.
23.已知函数.
（Ⅰ）求函数的值域；
（Ⅱ）若对，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）分段去绝对值，分段求值域再相并；
（2）利用的图象恒在的下方可得.
【详解】解：（1）
的值域是
（2）恰好在的上方,交点为,代入该函数中,得到
,而,解得,要使得始终在的下方,需要满足.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题.
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