2019年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
进行并集的运算即可.
【详解】解：，；
.
故选：D.
【点睛】考查描述法的定义，以及并集的运算.
2.已知复数（是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】解：，
故选：B.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.
3.已知命题，，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
本题中所给的命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，将量词改为存在量词，否定结论即可
【详解】解：命题，，是一个全称命题
，，
故选：D.
【点睛】本题考查了“含有量词的命题的否定”，属于基础题.解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写.
4.如图所示的程序框图，如果输入三个实数，，，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量.
【详解】解：由流程图可知：
第一个选择框作用是比较与的大小，
故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，
条件成立时，保存最大值的变量
故选：A.
【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题.
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.
【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，
其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，
则其焦点到渐近线的距离；
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.
6.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积.
【详解】解：由三视图可知该几何体的直观图是正方体去掉一个棱长为的正方体，
正方体的边长为，三棱锥的三个侧棱长为，
则该几何体的体积，
故选：C.
【点睛】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键.
7.设，满足，则（ ）
A. 有最小值，最大值 B. 有最小值，无最大值
C. 有最小值，无最大值 D. 既无最小值，也无最大值
【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最小值.
【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.
由得，平移直线，
由图象可知当直线经过点时，
直线的截距最小，此时最小.
由，
解得，
代入目标函数得.
即目标函数的最小值为.
无最大.
故选：B.
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.
8.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出.
【详解】解：设等差数列的公差为，是与的等比中项，，
，，
联立解得：，.
则 .
故选：C.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
9.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.
【详解】
直角三角形的斜边长为，
设内切圆的半径为，
则，解得，
内切圆的面积为，
豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.
【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
10.设定义在上的奇函数满足（），则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件可得出，并得出在，上都是增函数，从而可讨论与的关系：时，显然满足；时，可得出，从而得出；时，可得出，从而得出，最后即可得出不等式的解集.
【详解】解：是上的奇函数，且时，；
，且在，上都单调递增；
①时，满足；
②时，由得，；
；
；
③时，由得，；
；
；
；
综上得，的解集为.
故选：D.
【点睛】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性相同，以及增函数的定义，清楚的单调性.
11.已知三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等.若点，，，都在半径为的球面上，则球心到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算.
【详解】解：三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等，
此三棱锥的外接球即以，，为三边的正方体的外接球，
球的半径为，
正方体的边长为，即，
球心到截面的距离即正方体中心到截面的距离，
设到截面的距离为，则正三棱锥的体积 ，
为边长为的正三角形，，
，
∴球心（即正方体中心）到截面的距离为.
故选：C.
【点睛】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题.
12.函数，，若对恒成立，则实数的范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数可得在上的取值范围为，其中，令换元，把对恒成立转化为对恒成立，分离参数后利用函数单调性求出函数的最小值得答案.
【详解】解：，，
，，
在上有零点，
又在上成立，
在上有唯一零点，设为，
则当时，，当时，，
在上有最大值，
又，
，
令，
要使对恒成立，则
对恒成立，
即对恒成立，
分离，得，
函数的对称轴为，又，
，
则.
则实数的范围是.
故选：A
【点睛】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属难题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知向量，，，若，则_____.
【答案】4
【解析】
【分析】
结合向量平行满足的性质,建立等式,计算参数,即可.
【详解】解：，，
，
又，且，
，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查向量的坐标加法运算，考查向量故选的坐标表示，是基础题.
14.将函数的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数的单调递增区间是_____.
【答案】，
【解析】
【分析】
利用三角函数平移性质,得到新三角函数,结合三角函数单调区间的计算,即可.
【详解】解：将函数 的图象向右平移个单位后，
得到的图象对应函数的解析式为 ，
令，求得，可得所得函数的单调递增区间为，，
故答案为： ，.
【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式，余弦函数的单调性，属于基础题.
15.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为_____.
【答案】或
【解析】
【分析】
先表示出准线方程，然后抛物线的准线与圆相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到的值.
【详解】解：抛物线，即，准线方程为，
因为抛物线的准线与圆相切，
当时，，解得，
当时，，解得，
故答案为：或.
【点睛】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径.
16.设是数列的前项和，若，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
运用数列的递推式，讨论为奇数或偶数，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和.
【详解】解：，
当时，，解得，
时，，
可得，
当为偶数时，，即有；
当为奇数（）时，，
可得 ，
即有
.
故答案为：.
【点睛】本题考查数列的求和，注意运用分类讨论思想方法，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于难题.
三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.在中，角，，的对边分别是，，，且，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）2
【解析】
【分析】
（1）由已知利用二倍角公式，正弦定理可求的值，根据同角三角函数基本关系式可求的值.
（2）由已知利用余弦定理可得，即可解得的值.
【详解】解：（1），，.
，
，
（2）由余弦定理，可得： ，可得：，
解得：或（舍去）
【点睛】本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.
18.某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：
同意
不同意
合计
男生
a
5
女生
40
d
合计
100
（1）求 a，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.
附：
0.15
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出, ,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.
【详解】（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，
所以，
文（2）由列联表可得
而
所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关
（2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为，
即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，
故X服从二项分布，
即从而X的分布列为
X
0
1
2
3
4
X的数学期望为
【点睛】本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.
19.如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点.
（1）证明：平面；
（2）点在上，若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连结，，则，，从而平面平面，由此能证明平面.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.
【详解】证明：（1）如图，连结，，则，，
平面，平面，平面，平面，
平面，平面，
，，
∴平面EFN//平面，
平面，平面.
解：（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，
设，则，，
，
，，解得，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
同理可得平面的法向量为，
.
二面角的余弦值为.
【点睛】
该题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.
20.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）对于，当时，，即，当，，即，再写出椭圆的方程；
（2）设直线，（），设，两点的坐标分别为，，则，代入椭圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线过定点，
【详解】（1）对于，当时，，即，当，，即，
椭圆的方程为，
（2）证明：设直线，（），
设，两点的坐标分别为，，则，
联立直线与椭圆得，
得，
，解得
，，
，
直线 ，
令，得 ，
直线过定点
【点睛】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.
21.已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）是否存在使得仅有一个极值点？若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先求导，根据导数的几何意义即可求出的值，
（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的极值的关系即可求出.
【详解】解：（1），
，
曲线在点处的切线与直线平行，
，
解得.
（2） ，，
，且 ，
当时，，单调递增，又，
当，，函数单调递减，
当，，函数单调递增，
故函数仅有一个极小值点，
当，设，则，（）
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，，
当，，函数单调递减，
当，，函数单调递减，
，
在单调递减，无极值，
当时，存在唯一的实数根，且，
当，，函数单调递减，
当，，函数单调递减，
，
为一个极值点，
，
单调递增，
，
存在零点，且为的极值点，
当时，有两个极值点
综上所述
【点睛】本题考查了导数的几何意义，导数和函数的极值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，函数与方程的思想，属于难题
22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与圆交于，两点，点，且，求的值.
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.
（2）首先把直线的参数式转换为标准式，进一步利用直线和曲线的位置关系建立等量关系，进一步求出a的值.
【详解】解：（1）圆的极坐标方程为（）
转换为直角坐标方程为：.
（2）把直线的参数方程（为参数），
转换为标准形式为：（为参数），代入，
得到： ，
所以：，（和为、对应的参数），
由于，.
所以：，
即：，
解得：.
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.
23.已知函数.
（Ⅰ）求函数的值域；
（Ⅱ）若对，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）分段去绝对值，分段求值域再相并；
（2）利用的图象恒在的下方可得.
【详解】解：（1）
的值域是
（2）恰好在的上方,交点为,代入该函数中,得到
,而,解得,要使得始终在的下方,需要满足.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题.
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