2019北京朝阳高三一模数学（文）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.
【详解】由题意可得：，
则复数z对应的点为，位于第四象限.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2.设实数满足不等式组，则的最大值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
首先绘制出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最值的点的位置，最后求解目标函数的最值即可.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最大值，
联立直线方程：，可得点的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：.
本题选择B选项.
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
3.已知集合，且，则集合可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由可知，，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可.
【详解】由可知，，
对于A：＝，符合题意.
对于B：＝，没有元素1，所以不包含A；
对于C：＝，不合题意；
D显然不合题意，
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.已知中，，三角形的面积为，且，则（ ）
A. B. 3 C. D. -
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角形面积公式可得＝4，据此结合余弦定理和已知条件求解的值即可.
【详解】依题意可得：，所以＝4，
由余弦定理，得：，
即：，
据此可得：.
结合可得3.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5.已知,给出下列条件：①；② ；③ ，则使得成立的充分而不必要条件是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意逐一考查所给的三个条件是否是成立的充分而不必要条件即可.
【详解】由①，得：，不一定有成立，不符；
对于②，当时，有，但不成立，所以不符；
对于③，由，知c≠0，所以，有成立，
当成立时，不一定有，因为c可以为0，符合题意；
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考
查学生的转化能力和计算求解能力.
6.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.
【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥，
该棱锥的体积：.
本题选择D选项.
【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以
及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
7.已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（ ）
A. B. [,]
C. D. ）
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.
【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），
因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：
PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，
则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.
直线过定点（0，－2），直线方程即，
只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，
即：，解得：，
即实数的取值范围是）.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开
车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.
【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，
则有：
，
即，
即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，
即三天都开车上班的职工人数至多是6.
【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上
9.已知平面向量,若,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量垂直的充分必要条件可得：，据此确定x的值即可.
【详解】由向量垂直的充分必要条件可得：，解得：.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用，属于基础题.
10.执行如图所示的程序框图，输出的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知，流程图对应的程序首先初始化数据：，然后执行循环体2次得到输出值，据此计算输出值即可.
【详解】由题意可知，流程图对应的程序运行过程如下：
首先初始化数据：，
此时满足，执行，
此时满足，执行，
此时不满足，输出.
故答案为： ．
【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
11.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，结合点到直线距离公式求解距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，
渐近线方程为：，即，
则焦点到渐近线的距离为：.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可.
【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示，
该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题.
【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误.
13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.
【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，
则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，
所以，an＝9＋（n－1）×9＝9n，
所以，a27＝9×27＝243，
前27项和为：＝3402.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14.若不等式 (且且)在区间内有解，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
原问题即在区间内有解，分别画出的图象，分类讨论＞1和0＜＜1两种情况确定实数的取值范围即可.
【详解】，即，在区间内有解，
分别画出的图象.
（1）当＞1时，由图可知，当x＝2时，，即时，
，在区间内有解，
所以，.
（1）当0＜＜1时，由下图可知，，在区间内有解，
所以，.
所以，则实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查对数的运算法则，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
15.已知函数.
（1）求的值及的最小正周期；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的最大值.
【答案】（1）1；；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由函数的解析式求解的值即可，整理函数的解析式为 的形式，然后由最小正周期公式确定函数的最小正周期即可；
（2）由(1)中函数的解析式可知函数的单调增区间为，．据此结合题意可得实数的最大值.
【详解】（1）由已知 .
因为 ，
所以函数的最小正周期为．
（2）由得，.
所以，函数的单调增区间为，．
当时,函数的单调增区间为，
若函数在区间上单调递增，则，
所以实数的最大值为.
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16.在等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设,数列的前项和为，若，求的最小值.
【答案】（1）；（2）5.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得数列的公比，结合首项确定数列的通项公式即可.
（2）由题意可得，分组求和可得 ，据此确定的最小值即可.
【详解】（1）由数列为等比数列，且,，得，解得.
则数列的通项公式,.
（2）
.
当时，，，所以；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
所以，的最小值为.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列的通项公式，分组求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，，，分组，制成频率分布直方图：
（1）求的值；
（2）记表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计的概率；
（3）假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为,,求的值，并直接写出与的大小关系.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用频率分布直方图小长方形面积之和为1确定a的值即可；
（2）由题意，利用频率近似概率值，计算事件A的概率即可；
（3）结合直方图中的数据首先求得的值，然后比较与的大小关系即可.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）由题意知，该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为：
，故的估计值为
（3） .
由直方图知：.
【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
18.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.
（1）求证：；
（2）若为线段的中点，求证：平面；
（3）求多面体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合几何关系可证得平面，由线面垂直的定义即可证得．
（2）延长交于点，由题意可证得四边形为平行四边形，据此结合线面平行的判定定理证明题中的结论即可；
（3）设为中点，连接，．将多面体分割为两部分，分别求解对应的体积，然后相加
即可确定多面体的体积.
【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以．
又因为平面平面，
且平面平面， 平面，
所以平面．
又平面，所以．
（2）延长交于点，
因为，为中点，
所以≌，
所以．
因为，所以．
由已知，且,
又因为，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（3）设为中点，连接，．
由已知，所以平面．
又因为，所以平面，
所以平面平面．
因为，，所以平面，
所以多面体为直三棱柱．
因为，且，
所以．
由已知，且，
所以，且．
又因为，平面，
所以平面．
因为，
所以，
所以．
【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直的方法，线面平行的判定定理，组合体体积的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求证：曲线在抛物线的上方.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得.且函数的定义域.据此分类讨论确定函数的单调区间即可；
（2）原问题等价于.设.利用导函数研究函数的最值，证明结论即可证得题中的结论.
【详解】（1）求导得.定义域.
当时，,函数在上为减函数.
当时，令得,为增函数；
令得,为减函数.
所以时，函数减区间是.
当时，函数增区间是 ；减区间是.
（2）依题意，只需证.设.
则，设.
因为，所以在上单调递增.
又因为，所以在内有唯一解，记为即.
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以.
设，.则.所以.
所以，即曲线在抛物线上方.
【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．
(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标；
(2)求证：直线与椭圆相切；
(3)判断是否为定值，并说明理由．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；
（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；
（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．
【详解】（1）由题意，，
所以离心率，左焦点．
（2）由题知，，即.
当时直线方程为或，直线与椭圆相切．
当时，由得，
即
所以
故直线与椭圆相切．
（3）设，，
当时，，，，
，
所以，即．
当时，由得，
则，，
．
因为
．
所以，即．
故为定值．
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
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