宁夏银川一中2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题Word版含答案.doc

绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学 (银川一中第一次模拟考试) 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第 22～23 题为选 考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、 超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。 5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。 第 I 卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的． 1．已知复数 z＝ 10 3＋i －2i (其中 i 为虚数单位)，则|z|＝ A．3 3 B．3 2 C．2 3 D．2 2 2．设集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则 A∩B 的子集的个数是 A．4 B．3 C．2 D．1 3．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织 几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第 3 天所织布的 尺数为 A．20 31 B．3 5 C． 8 15 D．2 34．已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么△ABC 的平面 直观图△A′B′C′的面积为 A． 3 4 a2 B． 3 8 a2 C． 6 8 a2 D． 6 16a2 5．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间[1 4 ，1 2]内， 则输入的实数 x 的取值范围是 A．(－∞，－2] B．[－2，－1] C．[－1,2] D．[2，＋∞) 6．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A．96 B．80＋4 2π C．96＋4( 2－1)π D．96＋4(2 2－1)π 7．上海某小学组织 6 个年级的学生外出参观包括甲 博物馆在内的 6 个博物馆，每个年级任选一个博 物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的 方案有 A． 4 5 2 6 AA  种 B． 2 6A 54 种 C． 4 5 2 6 AC  种 D． 2 6C 54 种 8．根据需要安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 12 日值班，每人 4 天． 甲说：我在 1 日和 3 日都有值班； 乙说：我在 8 日和 9 日都有值班； 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A．2 日和 5 日 B．5 日和 6 日 C．6 日和 11 日 D．2 日和 11 日 9．设 x，y 满足条件 x－y＋2≥0， 3x－y－6≤0， x≥0，y≥0， 若目标函数 z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为 12，则3 a ＋ 2 b 的最小值为 A．25 6 B．8 3 C．11 3 D．4 10．设 F1，F2 是双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P， 使(OP→ ＋OF2 → )·F2P→ ＝0(O 为坐标原点)，且|PF1|＝ 3|PF2|，则双曲线的离心率为 A． 2＋1 2 B． 2＋1 C． 3＋1 2 D． 3＋1 11．在△ABC 中，AB→ ·BC→ 3 ＝BC→ ·CA→ 2 ＝CA→ ·AB→ 1 ，则 sinA：sinB：sinC＝ A．5 : 3 : 4 B．5 :4 :3 C． 5 : 3 :2 D． 5 :2 : 3 12．若函数 f(x)＝x3－3x 在(a,6－a2)上有最小值，则实数 a 的取值范围是A．(－ 5，1) B．[－ 5，1) C．[－2,1) D．(－ 5，－2] 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答．第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13．若 a＝log43，则 2a＋2－a ＝ . 14．函数 f(x)＝2sin2(π 4 ＋x)－ 3cos2x （π 4≤x≤π 2 ）的值域为 . 15．已知圆 x2＋y2＝4, B(1,1)为圆内一点，P,Q 为圆上动点，若  PBQ=900，则线段 PQ 中点 的轨迹方程为 . 16．设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y2＝2px(p>0)上任意一点，M 是线段 PF 上 的点，且|PM|＝2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为 . 三．解答 17．(本小题满分 12 分) 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 an＞0，a2n＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式： (2)设 bn＝ 1 anan＋1 ，求数列{bn}的前 n 项和． 18．(本小题满分 12 分) 人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指 标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近 10 表示满意度越高．为了解某地区居民的 幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各 500 人进行了调查，调查数据如表所示： 幸福感指数 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10] 男居民人数 10 20 220 125 125 女居民人数 10 10 180 175 125 (1)在图中绘出频率分布直方图 （说明：将各个小矩形纵坐标标注 在相应小矩形边的最上面），并估算 该地区居民幸福感指数的平均值； (2)若居民幸福感指数不小于 6， 则认为其幸福．为了进一步了解居 民的幸福满意度，调查组又在该地 区随机抽取 4 对夫妻进行调查，用 X 表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人 都感到幸福)的对数，求 X 的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率)． 19.(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥面 ABCD，AD∥BC， ∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝PA＝2，E，F 分别为 PB， AD 的中点. (1)证明：AC⊥EF； (2)求直线 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值． 20．(本小题满分 12 分)已知椭圆 2 2 2 2 1( 0x y a ba b     ）的离心率 3 2e  ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 积为 4. (1)求椭圆的方程. (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 ,A B ，已知点 A 的坐标为（ ,0a ），点 0(0, )Q y 在 线段 AB 的垂直平分线上，且 4QBQA ，求 0y 的值. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝lnx－ax2＋(a－2)x. (1)若 f(x)在 x＝1 处取得极值，求 a 的值； (2)求函数 y＝f(x)在[a2，a]上的最大值． 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分 10 分) 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝2＋2cosα， y＝2sinα (α为参数)，曲线 C2 的参 数方程为 x＝2cosβ， y＝2＋2sinβ (β为参数)，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C1 和曲线 C2 的极坐标方程； (2)已知射线 l1：θ＝α(00)过直线 x－y＋2＝0 与直线 3x－y－6＝0 的交点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值 12， ∴4a＋6b＝12，即 2a＋3b＝6．∴3 a ＋2 b ＝(3 a ＋2 b)·2a＋3b 6 ＝1 6(12＋9b a ＋4a b )≥4，当且仅当9b a ＝4a b ， 即 a＝3 2 ，b＝1 时，等号成立．∴3 a ＋2 b 的最小值为 4，故选 D． 10. D [解析] ∵(OP→ ＋OF2 → )·F2P→ ＝0，∴(OP→ ＋OF2 → )·(OP→ －OF2 → )＝0，∴OP→ 2－OF2 → 2＝0， OP＝OF2＝c＝OF1，∴PF1⊥PF2，Rt△PF1F2 中，∵|PF1|＝ 3|PF2|，∴∠PF1F2＝30°.由双曲 线的定义得 PF1－PF2＝2a，∴PF2＝ 2a 3－1 ，sin30°＝1 2 ＝ PF2 F1F2 ＝ 2a 3－1 2c ＝ a c( 3－1) ，∴2a＝c( 3 －1)，∴c a ＝ 3＋1，故选 D． 11. C [解析] 由条件利用两个向量的数量积的定义可得 2a2＋2c2－2b2＝3a2＋3b2－3c2＝ 6b2＋6c2－6a2＝k，由此求得 a、b、c 的值，利用正弦定理可得 sinA：sinB：sinC 的值．解： △ABC 中 ， ∵ AB→ ·BC→ 3 ＝ BC→ ·CA→ 2 ＝ CA→ ·AB→ 1 ， ∴ AB→ ·BC→ ·cos(π－B) 3 ＝ BC→ ·CA→ ·cos(π－C) 2 ＝ CA→ ·AB→ ·cos(π－A) 1 即 ac·cosB 3 ＝ ab·cosC 2 ＝ bc·cosA 1 ， 即 ac 3 · a2＋c2－b2 2ac ＝ ab 2 · a2＋b2－c2 2ab ＝ bcb2＋c2－a2 2bc ，即 2a2＋2c2－2b2＝3a2＋3b2－3c2＝6b2＋6c2－6a2，设 2a2＋2c2－2b2＝3a2＋3b2 －3c2＝6b2＋6c2－6a2＝k，求得 a2＝5k，b2＝3k，c2＝4k，∴a＝ 5k，b＝ 3k，c＝ 4k＝2 k， ∴由正弦定理可得 a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝ 5 : 3 :2，故选 C． 12．C [解析] f′(x)＝3x2－3＝0，解得 x＝±1，且 x＝1 为函数的极小值点，x＝－1 为 函数的极大值点．因为函数 f(x)在区间(a,6－a2)上有最小值，所以函数 f(x)的极小值点必在区 间(a,6－a2)内，即实数 a 满足 a