淄博市2017-2018学年度高三模拟考试试题
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.在复平面内，复数满足，则对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.若，则 （ ）
A． B． C． D．
4.若为第一象限角，且，则的值为 （ ）
A． B． C. D．
5. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C. D．
6. 设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量，且。记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为（参考数据：若，有
，，） （ ）
A． 0.9772 B．0.6826 C. 0.9974 D．0.9544
7. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的值为（ ）
A． 3 B． 4 C. 5 D．6
8. 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有周长为的的面积为（ ）
A． B． C. D．
9. 已知点，点的坐标满足条件，则的最小值是（ ）
A． B． C. 1 D．
10. 已知，则使成立的的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
11. 已知直线过定点，线段是圆：的直径，则（ ）
A． 5 B．6 C. 7 D．8
12.已知函数在处取得最大值，则下列结论中正确的序号为：①；②；③；④；⑤ （ ）
A． ①④ B．②④ C. ②⑤ D．③⑤
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.二项式的展开式中，的系数为 ．
14.设函数，给出下列结论：①的一个周期为；②的图象关于直线对称；③的一个零点为；④在单调递减，其中正确结论有 （填写所有正确结论的编号）．
15.已知正四棱锥，其底面边长为2，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积是 ．
16.已知双曲线的两条渐近线与抛物线分别交于三点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2，的面积为，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知是公差为3的等差数列，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18.直角三角形中，是的中点，是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面．
（1）当时，证明：平面；
（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.
（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？
（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
参考数据：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
20.已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，过且垂直于线段的直线交直线于点．
（1）证明：三点共线；
（2）求的最大值．
21. 设函数（其中）．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，讨论函数的零点个数．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，直线的方程是，曲线的参数方程是（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线与曲线的极坐标方程；
（2）若射线与曲线交于点，与直线交于点，求的取值范围．
23. 【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．（1）解不等式；（2）若，不等式对恒成立，求的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5:ABDBC 6-10: ACABD 11、12：CB
二、填空题
13. 80 14. ①②③ 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）由已知且，得，
所以是首项为4，公差为3的等差数列，
通项公式为；
（2）由（1）知，得：，，因此是首项为、公比为的等比数列，则．
18.证明：
（1）在中，，即，则，
取的中点，连接交于，当时，是的中点，
而是的中点，所以是的中位线，
所以，
在中，是的中点，所以是的中点，
在中，，
所以，则，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以．
而，所以平面；
（2）以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，
由（1）知是的中点，，又平面平面，
所以平面，则，
假设存在满足题意的，则由，
可得，
则，设平面的一个法向量为，
则即，
令，可得，即，
所以与平面所成的角的正弦值，
解得或3（舍去），
综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为．
19.解：（1）根据所给条件，制作列联表如下：
男
女
总计
喜欢阅读古典文学
64
36
100
不喜欢阅读古典文学
56
44
100
总计
120
80
200
所以的观测值，
因为的观测值，由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；
（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表人，女代表人，则，
根据已知条件可得，；
；
；
；
，
所以的分布列是：
1
2
3
4
5
所以．
20．解证：（1）显然椭圆的右焦点的坐标为，
设所在直线为：，且．
联立方程组：，得：；
其中，
点的坐标为所在直线方程为：．
所在的直线方程为：，
联立方程组：，得点的坐标为，
点的坐标满足直线的方程，故三点共线；
（2）由（1）得：；
由点的坐标为，，
所以，
显然，
故当，即时，取得最大值．
21.解：（1）函数的定义域为，，
①当时，令，解得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是，
②当时，令，解得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
③当时，，在上单调递增，
④当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减；
（2），①当时，由（1）知，当时，，此时无零点，
当时，，
又在上单调递增，所以在上有唯一的零点，
故函数在定义域上有唯一的零点，
②当时，由（1）知，当时，，此时无零点；
当时，，，
令，则，
因为在上单调递增，，
所以在上单调递增，得，即，所以在上有唯一的零点，故函数在定义域上有唯一的零点．
综全①②知，当时函数在定义域上有且只有一个零点．
22.解：（1）由，得直线极坐标方程：，
曲线的参数方程为（为参数），消去参数得曲线的普通方程为，即，
将代入上式得，
所以曲线的极坐标方程为；
（2）设，则，所以
，
因为，所以，所以，
所以，故的取值范围是．
23.解：（1），原不等式等价于：或或，
解得：，或，或，
综上所述，不等式解集是：；
（2）恒成立等价于．
因为，所以的最大值为；
时，；时，；时，，
所以，所以由原不等式恒成立，得：，解得：或．
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