2015级高三模拟考试
文科数学
2018．03
本试卷共5页，满分l50分。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第I卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A=，B=，则A∩B=
A． B． C． D．
2．若复数满足，则=
A． B． C． D．
3．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为
A． B． C． D．
4．函数是
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
5．设，则a，b，c的大小关系是
A．b>c>a B．a>c>b C．b>a>c D．a>b>c
6．“m＜0”是“函数存在零点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
8．函数的图象大致为
9．已知A，B是圆上的两个动点，，若M是线段AB的中点，则的值为
A． B． C．2 D．3
10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．右图是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入，则输出的S=
A．26 B．44 C．68 D．100
11．设是双曲线的左右焦点，P是双曲线C右支上一点，若，则双曲线C的渐近线方程是
A． B． C． D．
12．已知函数的取值范围是
A. B．
C． D．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数x，y满足的最小值为___________．
14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若的面积为___________．
15．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率__________．
16．若函数满足：对于图象上任意一点P，在其图象上总存在点，使得成立，称函数是“特殊对点函数”．给出下列五个函数：
①；②(其中e为自然对数的底数)；③；④；
⑤．
其中是“特殊对点函数”的序号是__________．(写出所有正确的序号)
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．(本小题满分12分)
已知等差数列的公差d>0，其前n项和为成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和。
18．(本小题满分12分)
如图，在几何体ABCDE中，DA平面，CB∥DA，F为DA上的点，EA=DA=AB=2CB，M是EC的中点，N为BE的中点．
(1)若AF=3FD，求证：FN∥平面MBD；
(2)若EA=2，求三棱锥M—ABC的体积．
19．(本小题满分12分)
共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值(百分制)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：
(1)求出a，b，x，y的值；
(2)若在满意度评分值为[80，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求2人中至少一人来自第5组的概率．
20．(本小题满分12分)
已知椭圆的焦距为，且C与y轴交于两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧，直线PA，PB与直线交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于E，F两点，求P点横坐标的取值范围．
21．(本小题满分12分)
已知函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明：存在．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数．
(1)当时，求关于x的不等式的解集；
(2)若关于x的不等式有解，求a的取值范围．
2015级高三模拟考试
文科数学参考答案
2018.03
注：每题只提供一种解法，其他解法请参照给分。
一、选择题：
BCBAD AADDB AD
1.答案B 解析：因为，故选B.
2.答案C 解析：因为 ，,故选C.
3.答案B 解析：由已知，
,故选B
4.答案A 解析：=.故选A.
5.答案D 解析：，故选D
6.答案A 解析：由图像可知，当函数有零点时，.故选A.
7.答案A 解析: 该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个圆锥，然后挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等.由图可知，球的半径为2，则.故选A
8.答案D解析：令 ， ，所以函数是奇函数，故排除选项A，又在区间时， ，故排除选项B，当时， ，故排除选项C；故选D.
9.答案D 解析：由，
所以，
又为等边三角形，所以.故答案选D
10.答案B 解析：第一次运行，，,不符合，继续运行，
第二次运行，，,不符合，继续运行，
第三次运行，，,不符合，继续运行，
第四次运行，，,不符合，继续运行，
第五次运行，，,不符合，继续运行，
第六次运行，，,符合，输出，
故选择B.
11.答案A 解析：因为P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c，又∠PF1F2＝30°，
由余弦定理，可得，cos 30°＝＝＝.
则有c2＋3a2＝2ac，即c＝a，则b＝＝a，
则双曲线的渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x，故选A.
12.答案D 解析：
，表示点与连线的斜率. 又，故取点
当与圆的切线重合时取最小值，可求，最小值为；
当与圆的切线重合时取最大值，可求，
最大值为；故的取值范围是
二、 填空题：
13. 5 , 14. ,15. , 16 ②④⑤
试题解析：
13.答案 5 解析：
由题意可得可行域为如图所示（含边界），，即，
则在点处取得最小值. 联立解得：.
代入得最小值5.
14.答案 解析：由余弦定理得，解得，再由三角形面积公式得.
15.答案 解析：双曲线的渐近线方程是，当时，，即，所以，即，所以，即，所以.所以.
16. 答案 ②④⑤
解析： 由知错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。.
①错误！未找到引用源。
当错误！未找到引用源。时，满足错误！未找到引用源。的点不在错误！未找到引用源。
上，故①错误！未找到引用源。不是“特殊对点函数”；
②错误！未找到引用源。.
作出函数错误！未找到引用源。的图象，由图象知，满足错误！未找到引用源。的点错误！未找到引用源。都在错误！未找到引用源。图象上，则③是“特殊对点函数”；
③错误！未找到引用源。.
当错误！未找到引用源。时，满足错误！未找到引用源。的点不在错误！未找到引用源。上，故②错误！未找到引用源。不是“特殊对点函数”
④错误！未找到引用源。.
作出函数错误！未找到引用源。的图象，由图象知，满足错误！未找到引用源。的点错误！未找到引用源。都在错误！未找到引用源。图象上，则④是“特殊对点函数”；
⑤错误！未找到引用源。.
作出函数错误！未找到引用源。的图象，由图象知，满足错误！未找到引用源。的点错误！未找到引用源。都在错误！未找到引用源。图象上，则⑤是“特殊对点函数”；故答案②④⑤正确。
三、解答题：
17.解：（1）因为，即，①
因为为等比数列，即
所以，化简得：② ……2分
联立①和②得：， ……4分
所以 ……6分
（2）因为 ……8分
所以
……12分
18.解: （I）证明：连接,因分别是，的中点，
且,又,,
又，即,，四边形为平行四边形，…3分
又平面，平面
所以平面. ……6分
(Ⅱ)连接AN，MN，则 ,所以，
又在中，, ……8分
，
所以三棱锥的体积为. ……12分
19.解:（1）由题意可知，=，解得b=0.04；
∴[80，90）内的频数为2×2=4，
∴样本容量n==50，
a=50﹣8﹣20﹣4﹣2=16；
又[60，70）内的频率为=0.32，∴x==0.032；
[90，100]内的频率为0.04，∴y==0.004. ……4分
（2）由题意可知，第4组共有4人，第5组共有2人，
设第4组的4人分别为、、、；第5组的2人分别为、；
则从中任取2人，所有基本事件为（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）共15个. ……7分
又至少一人来自第5组的基本事件有（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）共9个， ..….9分
所以P . 故所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为 . …..12分
20.解：（Ⅰ）由题意可得，，, , ……2分
所以椭圆的标准方程为. ……4分
（Ⅱ）设，，，
所以，直线的方程为，
同理得直线的方程为，
直线与直线的交点为， ---------------6分
直线与直线的交点为，
线段的中点，
所以圆的方程为 ， ------------------8分
令，则， 因为，
所以， -----------------10分
因为这个圆与轴相交,所以该方程有两个不同的实数解，
则，又0，解得． -------------------12分
21.解:由题意知的定义域为，而对求导得，.
因为且，故只需.
又，所以得. -----------------3分
若，则.显然当时，，此时在上单调递减；当，，此时在上单调递增.所以是的唯一极小值点，故. 综上，所求的值为. ----------------5分
（2）由（1）知 ，． ------7分
设，则．
当 时， ；当 时，，
所以在上单调递减，在上单调递增． ----------------9分
又，，，所以在有唯一零点，
在有唯一零点1， ----------------10分
且当时，；当时，，
因为，所以是的唯一极大值点．
即是在（0，1）的最大值点，所以成立.--------12分
22.解:（1）将方程消去参数得，
∴曲线的普通方程为，
将代入上式可得，
∴曲线的极坐标方程为： ． --------5分
（2）设两点的极坐标方程分别为,
由消去得，
根据题意可得是方程的两根，
∴，
∴． --------10分
23.解：（1）当时，不等式为，
若，则，即，
若，则，舍去，
若，则，即，
综上，不等式的解集为. --------5分
（2）因为，得到的最小值为，所以，
所以. --------10分
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