考点强化练17 直角三角形与锐角三角函数
基础达标
一、选择题
1.已知在△ABC中,∠C=∠A+∠B,则△ABC的形状是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
答案C
2.(2018湖北孝感)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则sin A等于( )
A.35 B.45
C.34 D.43
答案A
解析在Rt△ABC中,∵AB=10,AC=8,
∴BC=AB2-AC2=102-82=6,
∴sinA=BCAB=610=35,故选A.
二、填空
3.
(2018浙江湖州)如图,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan ∠BAC=13,AC=6,则BD的长是 .
答案2
解析∵四边形ABCD是菱形,AC=6,
∴AC⊥BD,OA=12AC=3,BD=2OB.
在Rt△OAB中,∵∠AOD=90°,
∴tan∠BAC=OBOA=13,
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∴OB=1,
∴BD=2.
4.
(2018浙江宁波)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为 米(结果保留根号).
答案1 200(3-1)
解析由于CD∥HB,
∴∠CAH=∠ACD=45°,∠B=∠BCD=30°,
在Rt△ACH中,∵∠CAH=45°
∴AH=CH=1200米,
在Rt△HCB中,∵tanB=CHHB,
∴HB=CHtanB=1200tan30°
=120033=12003(米).
∴AB=HB-HA
=12003-1200
=1200(3-1)米.
三、解答题
5.
(2018江苏徐州)如图,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给出的数据,求坝高和坝底宽.(精确到0.1 m)(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)
解如图所示,过点A,D分别作BC的垂线AE,DF交BC于点E,F,
所以△ABE,△CDF均为直角三角形,又因为CD=14m,∠DCF=30°,所以DF=7(m)=AE,且FC=73(m)≈12.1(m)
所以BC=7+6+12.1=25.1(m).
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6.(2018四川南充)计算:(1-2)2-1-220+sin 45°+12-1.
解原式=2-1-1+22+2=322.
7.
小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45°,35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100 m,请求出热气球离地面的高度.(结果保留整数)(参考数据:sin 35°≈712,cos 35°≈56,tan 35°≈710)
解作AD⊥BC交CB的延长线于点D,设AD为xm,
由题意得,∠ABD=45°,∠ACD=35°,
在Rt△ADB中,∵∠ABD=45°,∴DB=x.
在Rt△ADC中,∵∠ACD=35°,
∴tan∠ACD=ADCD.
∴xx+100=710,解得,x≈233.
答:热气球离地面的高度约为233m.
能力提升
一、选择题
1.已知α为锐角,且2cos (α-10°)=1,则α等于( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
答案C
2.(2018贵州贵阳)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan ∠BAC的值为( )
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A.12 B.1 C.33 D.3
答案B
解析连接BC,
由网格可得AB=BC=5,AC=10,
即AB2+BC2=AC2,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°,
则tan∠BAC=1.
3.(2018四川绵阳)一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,则海岛B离此航线的最近距离是( )(结果保留小数点后两位)(参考数据:3≈1.732,2≈1.414)
A.4.64海里 B.5.49海里
C.6.12海里 D.6.21海里
答案B
解析如图所示,
由题意知,∠BAC=30°,∠ACB=15°,
作BD⊥AC于点D,以点B为顶点、BC为边,在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°,
则∠BED=30°,BE=CE,
设BD=x,
则AB=BE=CE=2x,AD=DE=3x,
∴AC=AD+DE+CE=23x+2x,
∵AC=30,
∴23x+2x=30,
解得:x=15(3-1)2≈5.49,
故选B.
二、填空题
4.(2018山东滨州)在△ABC中,∠C=90°,若tan A=12,则sin B= .
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答案255
解析如图所示,
∵∠C=90°,tanA=12,
∴设BC=x,则AC=2x,故AB=5x,
则sinB=ACAB=2x5x=255.
5.(2018山东泰安)如图,在△ABC中,AC=6,BC=10,tan C=34,点D是AC边上的动点(不与点C重合),过点D作DE⊥BC,垂足为E,点F是BD的中点,连接EF,设CD=x,△DEF的面积为S,则S与x之间的函数关系式为 .
答案S=-325x2+32x
解析(1)在Rt△CDE中,tanC=34,CD=x
∴DE=35x,CE=45x,
∴BE=10-45x,
∴S△BED=12×10-45x·35x
=-625x2+3x.
∵DF=BF,
∴S=12S△BED=-325x2+32x.
6.(2018江苏无锡)已知△ABC中,AB=10,AC=27,∠B=30°,则△ABC的面积等于 .
答案153或103
解析作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D,
①如图1,当AB,AC位于AD异侧时,
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图1
在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10,
∴AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=53,
在Rt△ACD中,∵AC=27,
∴CD=AC2-AD2=(27)2-52=3,
则BC=BD+CD=63,
∴S△ABC=12·BC·AD=12×63×5=153;
②如图2,当AB,AC在AD的同侧时,
图2
由①知,BD=53,CD=3,
则BC=BD-CD=43,
∴S△ABC=12·BC·AD=12×43×5=103.
综上,△ABC的面积是153或103.
三、解答题
7.(2018山东临沂)如图,有一个三角形的钢架ABC,∠A=30°,∠C=45°,AC=2(3+1)m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门?
解工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门.
理由是:过点B作BD⊥AC于点D,
∵AB>BD,BC>BD,AC>AB,
∴求出DB长和2.1m比较即可,
设BD=xm,
∵∠A=30°,∠C=45°,
∴DC=BD=xm,AD=3BD=3xm,
∵AC=2(3+1)m,
∴x+3x=2(3+1),
∴x=2,
即BD=2m
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