等腰三角形
一课一练·基础闯关
题组全等三角形在证明中的应用
1.(2017·黑龙江中考)如图,BC∥EF,AC∥DF,添加一个条件________,使得△ABC≌△DEF.
【解析】∵BC∥EF,∴∠ABC=∠E,∵AC∥DF,
∴∠A=∠EDF,
∵在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF,
同理,BC=EF或AC=DF也可求证△ABC≌△DEF.
答案:AB=DE(或BC=EF或AC=DF或AD=BE,答案不唯一)
【变式训练】如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD ( )
A.∠B=∠C B.AD=AE
C.BD=CE D.BE=CD
【解析】选D.∵AB=AC,∠A为公共角,添加∠B=∠C,利用ASA即可证明△ABE≌△ACD;
若添加AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;
若添加BD=CE,等量关系可得AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;
若添加BE=CD,因为SSA,不能证明△ABE≌△ACD,所以D选项不能作为添加的条件.
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2.(2017·启东市月考)如图,△ABC≌△DCB,若AC=7,BE=5,则DE的长为________.
【解析】∵△ABC≌△DCB,
∴DB=AC=7,∴DE=BD-BE=7-5=2.
答案:2
3.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△ABO≌△ADO.下列结论:
①AC⊥BD;②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④DA=DC.
其中所有正确结论的序号是________.
世纪金榜导学号10164000
【解析】∵△ABO≌△ADO,
∴∠AOB=∠AOD=90°,AB=AD,∠BAO=∠DAO,
∴AC⊥BD,故①正确;
在△ABC和△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(SAS),故③正确.
∴BC=DC,故②正确.
DA与DC关系不确定.
答案:①②③
4.(2017·黄冈中考)已知:如图,∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM,求证:∠B=∠ANM.
【证明】∵∠BAC=∠DAM,∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠DAM=∠DAC+∠NAM,
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∴∠BAD=∠NAM,
在△BAD和△NAM中,
∴△BAD≌△NAM(SAS),
∴∠B=∠ANM.
5.(2017·常州中考)如图,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BCE=∠ACD=
90°,∠BAC=∠D,BC=CE.
世纪金榜导学号10164001
(1)求证:AC=CD.
(2)若AC=AE,求∠DEC的度数.
【解析】(1)∵∠BCE=∠ACD=90°,
∴∠BCA=∠ECD.
在△BCA和△ECD中,
∴△BCA≌△ECD,∴AC=CD.
(2)∵AC=AE,∴∠AEC=∠ACE.
又∵∠ACD=90°,AC=CD,
∴△ACD是等腰直角三角形,∴∠DAC=45°,
∴∠AEC=(180°-∠DAC)=(180°-45°),
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∴∠DEC=180°-∠AEC=180°-(180°-45°)=112.5°.
【归纳整合】说明三角形全等的三类条件
1.直接条件:即已知中直接给出的三角形的对应边或对应角.
2.隐含条件:即已知没有给出,但通过读图很容易得到的条件,如公共边、公共角、对顶角等.
3.间接条件:即已知中所给条件不是三角形的对应边和对应角,需要进一步推理,此类条件的推理证明在书写过程中要置于前面.
题组等腰三角形性质的应用
1.(2017·包头中考)若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为 ( )
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
【解析】选A.若2cm为等腰三角形的腰长,则底边长为10-2-2=6(cm),2+2BC B.AC=BC
C.∠A>∠ABC D.∠A=∠ABC
【解析】选A.∵AD=BD,∴∠A=∠ABD,
∴∠ABC>∠A,所以C选项和D选项错误;
根据在三角形中大角对大边,
∴AC>BC,所以A选项正确;B选项错误.
3.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为 ( )
世纪金榜导学号10164002
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A.40° B.36° C.30° D.25°
【解析】选B.∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵CD=DA,
∴∠C=∠DAC,
∵BA=BD,
∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B,
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°,
∴5∠B=180°,
∴∠B=36°.
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为________.
【解析】分两种情况讨论:①若∠A90°,如图2所示:
同①可得:∠DAB=90°-48°=42°,
∴∠BAC=180°-42°=138°,
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∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°-138°)=21°;
综上所述:等腰三角形底角的度数为69°或21°.
答案:69°或21°
5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.
求证:∠CBE=∠BAD.
世纪金榜导学号10164003
【证明】∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴∠CAD=∠BAD,∠ADC=90°,
∴∠CAD+∠C=90°,
∵BE⊥AC,
∴∠CBE+∠C=90°,
∴∠CAD=∠CBE,
∴∠CBE=∠BAD.
(2017·烟台中考)某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为 ( )
A.48° B.40° C.30° D.24°
【解析】选D.∵AB∥CD,∴∠DFE=∠BAF=48°.
∵CF=EF,∴∠C=∠E.
∵∠C+∠E=∠DFE=48°,∴∠C=24°.
【母题变式】
[变式一](2017·建湖县期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD∥BC,若∠BAD=110°,则∠BCA的大小为 ( )
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A.30° B.40° C.50° D.70°
【解析】选D.∵AD∥BC,∠BAD=110°,
∴∠B=180°-∠BAD=70°,
∵AB=AC,∴∠BCA=∠B=70°.
[变式二]
(2017·高密市月考)如图,AE∥BD,C是BD上的点,且AB=BC,
∠ACD=110°,则∠EAB度数为 ( )
A.70° B.55°
C.40° D.35°
【解析】选C.∵∠ACD=110°,∴∠BCA=70°,
∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA=70°,
∵AE∥BC,∴∠EAC=∠ACD=110°,
∴∠EAB=110°-70°=40°.
[变式三]如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC,求证:∠C=2∠D.
【证明】∵AB=AC=AD,
∴∠C=∠ABC,∠D=∠ABD,
∴∠ABC=∠CBD+∠D,
∵AD∥BC,
∴∠CBD=∠D,
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D,
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又∵∠C=∠ABC,∴∠C=2∠D.
[变式四](2017·长春一模)如图1,AB∥CD,点E在BC上,且CD=CE,若∠B=36°,则∠D的大小为________度.
图1
【解析】∵AB∥CD,∠B=36°,∴∠C=∠B=36°,
又∵点E在BC上,且CD=CE,∴∠D=∠CED,
∴在△CED中,∠C+∠D+∠CED=180°,
∴36°+2∠D=180°,∴∠D=72°.
答案:72
[变式五](2017·宁波一模)如图2,直线l1∥l2,以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧,分别交直线l1,l2于点B,C,连接AC,BC.若∠ABC=67°,则∠1=
( )
图2
A.23° B.46° C.67° D.78°
【解析】选B.根据题意得:AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=67°,
∵直线l1∥l2,
∴∠2=∠ABC=67°,
∵∠1+∠ACB+∠2=180°,
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∴∠1=180°-∠2-∠ACB=180°-67°-67°=46°.
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