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2018届广东省六校第三次联考
理科数学
满分：150分 考试时间：120分钟
命题学校：深圳实验学校 命题人：魏英城 审题人：喻秋生
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合为实数，且，为实数，且，
则的元素个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设等差数列的前项和为，若，，则
A． B． C． D．
3．若变量满足约束条件，则的取值范围是
A． B． C．
D．
4．函数的部分图象大致为
A． B． C． D．
5． 设函数 ，其中常数满足．若函数（其中 是函数的导数）是偶函数，则等于
A． B．
C． D．
6．执行右面的程序框图，如果输入的，，分别为，2，，
输出的，那么，判断框中应填入的条件为
A．
B．
C．
D．
7．已知 （，为虚数单位），
又数列满足：当时， ；当，为的虚部．若数列
的前项和为，则
A． B． C． D．
8．如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：
与的夹角为，且tan=7，与与的夹角为45°．
若（），则的值为
A． B． C． D．
9．四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，，则的取值范围是
A． B． C． D．
10．从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的
三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有
A．种 B．种 C．种 D．种
11．已知点为双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知是函数与图象的两个不同的交点，则的
取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数是定义在上的奇函数，则__ ________．
14．已知函数，若，
则函数恒过定点___ __．
15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，
则该几何体的表面积为 ．
16．若函数的图象上存在不同的两点，，其中使得
的最大值为0，则称函数是“柯西函数”．
给出下列函数：
①； ②；
③； ④.
其中是“柯西函数”的为 （填上所有正确答案的序号）
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
设数列的前项和为，数列的前项和为，满足．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式．
18.（12分）
某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理．
（Ⅰ）若小店一天购进16份，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量(单位：份，)的函数解析式；
（Ⅱ）小店记录了100天这种食品的日需求量(单位：份)，整理得下表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；
（ii）以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？
19.（12分）
如图，在四棱锥中，是平行四边形，，，
，，，分别是，的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
20.（12分）
已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，
点满足．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否存在点，使得直线 与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
21.（12分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由；
（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，不等式
恒成立．
（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知直线的参数方程为 为参数，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线，，分别与曲线交于三点(不包括极点)．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当时，若两点在直线上，求与的值．
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
2018届广东省六校第三次联考
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
A
A
C
C
B
C
A
D
D
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．； 14．； 15．； 16．① ④
说明：本参考答案给出一种解法的评分标准，其它解法可参照本评分标准相应评分.
三、解答题：共70分．
17.（12分）解：（Ⅰ）∵，，∴. ……………1分
∵，∴. …………………………………………………2分
∵，∴. ……………………………………………4分
（Ⅱ）∵ … ① ， …②，
∴①-②得， ，∵， ……………………6分
∴…③ ， … …………………………………………………8分
…④， ③-④得，，
. ……………………………………………………………………10分
∵，∴是首项3公比的等比数列，，
故. ……………………………………………………………………12分
18.（12分）解：（Ⅰ）当日需求量时，利润，…………………………1分
当日需求量时，利润， …………………………2分
所以关于的函数解析式为．……………………3分
（Ⅱ）（i）可能的取值为62，71，80，………………………………………………4分
并且，，．的分布列为：
X
62
71
80
P
0．1
0．2
0．7
……………………………………………………7分
的数学期望为元． ……………………8分
（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为
Y
58
67
76
85
P
0．1
0．2
0．16
0．54
的数学期望为元．………11分
由以上的计算结果可以看出，，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．所以，小店应选择一天购进17份． ………………………………12分
19.（12分）解法一：（Ⅰ）取中点，连
，∵，∴，
∵是平行四边形，，
，∴，
∴是等边三角形，∴，
∵，∴平面， ∴. ………………………3分
∵分别是的中点，∴∥，∥，
∴，，∵，∴平面，…………………5分
∵平面，∴平面平面. …………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
∴是二面角的平面角. …………………………………………………7分
, ，，……………………………………………9分
在中，根据余弦定理得，, ………11分
∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分
解法二：（Ⅰ）∵是平行四边形，，
，∴，
∴是等边三角形，∵是的中点，
∴，∵∥，
∴. ………………………………………………………………………………1分
分别以，的方向为轴、轴的正方向，为坐标原点，
如图建立空间直角坐标系. ……………………………………………………………2分
则，，，，，
设，∵，，解得，，，
∴可得， ………………………………………………………………4分
∵是的中点，∴，∵，∴，∵，
，∴平面，∵平面，
∴平面平面.…………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，设是平面的
法向量，则，∴， …………………………8分
令，则， ………………………………………………………9分
又是平面的法向量， …………………………………………………10分
∴， ………………………………………………………11分
∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分
注：直接设点，或者说平面，，酌情扣分.
20.（12分）解：（Ⅰ）依题意，、，，
∴，………………………………………………2分
由，，得，∵，
∴，，………………………………………………………………4分
故椭圆的方程为． ……………………………………………………5分
（Ⅱ）假设存在满足条件的点. 当直线与轴垂直时，
它与椭圆只有一个交点，不满足题意. …………………………………………………6分
因此直线的斜率存在，设：，由，消得
， …………………………………………7分
设、，则，，
∵
， ………10分
∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时，．
故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．…………12分
21.（12分）解：（Ⅰ）由于． …………………………………………1分
假设函数的图象与轴相切于点，
则有， 即．………………………………………………3分
显然，代入方程中得，． …………5分
∵，∴无解．故无论a取何值，函数的图象都不能与轴相切．……6分
（Ⅱ）依题意，
恒成立． ……………………………7分
设，则上式等价于，要使
对任意恒成立，即使在上单调递增，
∴在上恒成立． …………………………………………8分
则，，∴在上恒成立的必要条件是：．
下面证明：当时，恒成立．…………10分
设，则，当时，，当时，，
∴，即．那么，
当时，，；
当时，，．∴恒成立．
因此，的最大整数值为3． ……………………………………………………12分
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
解：（Ⅰ）证明：依题意，，………………………………………………1分
，，…………………………………………3分
则． …………5分
（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，…………6分
化直角坐标为，. ………………………………………………7分
经过点的直线方程为， …………………………………………8分
又直线经过点，倾斜角为，故，. ………………………10分
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
解：（Ⅰ）∵，∴， ……………………………………………1分
① 当时，得，，∴； …………2分
② 当时，得，，∴； …………3分
③ 当时，得，，∴. …………4分
综上所述，实数的取值范围是． ……………………………………5分
（Ⅱ）∵，根据绝对值的几何意义知，当时，
的值最小，……………………………………………………………………7分
∴，即，……………………………………………………8分
解得或．∴ 实数的取值范围是. …………10分
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