2018—2019学年度第二学期南开区高三年级模拟考试（一）
数学试卷（理工类）2019.03
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.
参考公式：椎体的体积公式，其中表示椎体的底面积，表示椎体的高
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，那么（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先解出集合,再根据集合的交集运算得到结果.
【详解】已知集合， ，根据集合的交集的运算得到
.
故答案为：A.
【点睛】这个题考查了集合的交集运算，属于基础题.
2.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据不等式组画出可行域，再结合图像得到目标函数的最值.
【详解】首先根据不等式组画出可行域，可行域如下图阴影部分：
目标函数化为：，根据图像得到目标函数在点B处取得最大值，
令,代入得到最大值为：-1.
故答案为：B.
【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）；(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
3.执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为3，则输出的i=（ ）.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的M，N，i的值，当M＞N时退出循环，输出i的值即可．
【详解】模拟执行程序框图，可得:
a＝3，M＝100，N＝1，i＝1
满足条件M＞N，M＝103，N＝3，i＝2
满足条件M＞N，M＝106，N＝9，i＝3
满足条件M＞N，M＝109，N＝27，i＝4
满足条件M＞N，M＝112，N＝81，i＝5
满足条件M＞N，M＝115，N＝243，i＝6
不满足条件M＞N，退出循环，输出i的值为6．
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的M，N，i的值是解题的关键，是基础题．
4.设，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可．
【详解】解：若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，
若“（a﹣b）a2＜0，则a＜b且a≠0，则a＜b成立，
故“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的必要不充分条件，
故选：B．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可．
5.函数 为增函数的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复合函数单调性的关系，结合三角函数单调性的性质进行转化求解即可．
【详解】 ,
求的递增区间，等价于求的递减区间，
由
得
得
当k＝0时，，
即函数的递减区间为，
则函数的单调递增区间为.
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角函数单调性以及单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及三角函数的单调性是解决本题的关键．根据y=sint和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.
6.函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
易判断f（x）在（-∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．
【详解】∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，
由f（-3）＝0，得f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，
即f（3）＝0，
作出f（x）的草图，如图所示：
由图象，得
解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，
∴xf（x）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），
故选：D．
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．
7.过双曲线 的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点，若为线段的中点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意可得双曲线的渐近线的方程为.
∵为线段的中点，
∴，则为等腰三角形.
∴
由双曲线的的渐近线的性质可得
∴
∴，即.
∴双曲线的离心率为
故选C.
点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
8.如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，，由三角形的面积为，可得，由，，三点共线可知，以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，可以表示出的坐标，从而得到的表达式，进而求出最小值。
【详解】设，，则三角形的面积为，解得，
由，且C，P，D三点共线，可知，即，
故.
以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，
则，，，，
则，，，
则
（当且仅当即时取“=”）.
故的最小值为.
【点睛】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.
二、填空题.请将答案填在题中横线上.
9.已知复数，则的实部为__________．
【答案】0;
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则进行化简即可．
【详解】，则z的实部为为0，
故答案为：0.
【点睛】本题主要考查复数的有关概念，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．
10.二项式的展开式中常数项为__________．
【答案】．
【解析】
试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第项为，令，则，∴．
考点：二项式定理．
【此处有视频，请去附件查看】
11.如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为____________.
【答案】：
【解析】
：,因为平面，所以所在位置均使该三棱锥的高为；而不论在上的那一个位置，均为，所以
【考点定位】本题考查空间几何体的体积运算方法，依据空间线面关系推证，进行等积转换是常考点.这里转换底面极为重要，由于两个动点的出现，加大了定值识别的难度
12.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.点，为上的一点，若，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先化简得到曲线C的直角坐标方程，设出P点坐标根据两点间距离公式得到点P的纵坐标，进而得到面积.
【详解】曲线C的参数方程化为普通方程得到
设点
联立两式得到（舍去），代入抛物线得到
则△POM的面积为：
故答案为：
【点睛】这个题目考查了参数方程与普通方程的互化，涉及两点间距离公式的应用，题目难度中等.
13.已知均为正实数，且,则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得，将变为，利用基本不等式求得结果.
【详解】由
又均为正实数，则
当且仅当时取最小值
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，关键在于能够通过已知条件将所求式子凑出乘积为定值的形式.
14.设函数，若函数有三个零点，则这三个离你单之和的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
将原题中有3个零点转化为图像和有三个交点，在同一坐标系中画出图像，得到交点的横坐标之和的范围即可.
【详解】函数若函数有三个零点,即方程有三个根，，即图像和有三个交点，在同一坐标系中画出函数的图像：
三个交点分别为：满足根据方程：的零点的范围，
当取得最小值-3时，解得，即
根据二次函数的对称性得到
.
故答案为：
【点睛】这个题目考查了函数的零点之和的问题，在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．
三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.在中，，，分别为角的对边，，.
（I）求的值
（II）设，求边长的长.
【答案】（I） （II）
【解析】
【分析】
（I）根据二倍角公式可求得，再根据角的范围求得，从而利用两角和差的余弦公式求得结果；（II）由正弦定理可得到，从而解方程组求出，再利用余弦定理求得结果.
【详解】（I），
为锐角
而
（II），，
，又 ，
【点睛】本题考查三角恒等变换中两角和差的余弦公式、利用正弦定理和余弦定理解三角形的问题，属于基础题.
16.现有长分别为、、的钢管各3根（每根钢管的质地均匀、粗细相同且富有不同的编号），从中随机抽取根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的，），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根.
（I）当时，记事件，求；
（II）当时，若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计），求的分布列和数学期望
【答案】I:;Ⅱ.见解析.
【解析】
【分析】
I:总的基本事件数为，事件A，可从三类中任取一类，再从该类的3个中任取2个，然后再从其余两类的6个中任取1个，由分步计数原理可得种数，进而可得概率；Ⅱ:可能的取值为2，3，4，5，6,求出相应的概率值即可得到分布列.
【详解】I. 总的基本事件数为，事件A，可从三类中任取一类，再从该类的3个中任取2个，然后再从其余两类的6个中任取1个，由分步计数原理可得种数，进而可得概率；
事件A为随机事件，
Ⅱ.可能的取值为2，3，4，5，6
∴的分布列为：
2
3
4
5
6
P
【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.
17.如图，在三棱锥中，，，，，分别是，的中点，在上且.
（I）求证：；
（II）求直线与平面所成角的正弦值；
（III）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】I.见解析；Ⅱ. ；Ⅲ.满足条件的点G存在，且
【解析】
【分析】
I:建立空间坐标系，求出相应的直线的方向向量和平面的法向量，证明向量的平行即可；Ⅱ：求出平面SBD的法向量，直线SA的方向向量，由公式可得到线面角；Ⅲ.假设满足条件的点G存在，并设DG=1.则G（1，t，0），求出平面AFG的法向量，和面AFE的法向量，由二面角的平面角的公式得到关于t的方程，进而求解.
【详解】I.以A为坐标原点，分别以AC，AB.AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz.则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），D（1，0，0），E（1，1，0）
由SF=2FE得F(,,)
平面
平面SBC
Ⅱ.设（x1，y1，z1）是平面SBD的一个法向量，
由于，则有
令，则，即。
设直线SA与平面SBD所成的角为，而，
所以
Ⅲ.假设满足条件的点G存在，并设DG=.则G（1，t，0）.
所以
设平面AFG的法向量为，
则
取，得
即.
设平面AFE的法向量为
则
取，得，即
由得二面角G-AF-E的大小为得
，化简得，
又，求得，于是满足条件的点G存在，且
【点睛】本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。
18.已知数列是等差数列，为其前项和，且；.
(I)求数列的通项公式
(II)设数列是首项为1,公比为2的等比数列，求数列的前项和.
【答案】I. ；II
【解析】
【分析】
I：根据等差数列的通项公式得到公差和首项的两个方程，进而求出公差和首项的具体值，得到通项；II：通过第一问以及等比数列的通项公式得到，进而得到的通项公式，之后分组求和即可.
【详解】I.设等差数列的公差是d.
由得，化简得:，........... ①
由得， ........... ........... ②
由①②解得.
所以数列的通项公式为
II．由数列是首项为1，公比为2的等比数列，得，即.
所以
所以
..........③
..........④
③-④得
∴
【点睛】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
19.已知椭圆 的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.
(I)求椭圆的方程;
(II)设与圆相切的直线交椭圆于,两点(为坐标原点)，的最大值.
【答案】I. ；Ⅱ.2
【解析】
【分析】
I:根据离心率得到，由三角形面积公式得到，进而求出参数值，和方程；Ⅱ：当ABx轴时，，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，根据直线和圆的位置关系得到，由=，借助于韦达定理表示求解即可.
【详解】I.由题设：
两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为，
解得
∴椭圆C的方程为
Ⅱ.设
1.当ABx轴时，
2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为
由已知，得
设三角形OAB的高为h即圆的半径,直线和圆的切点为M点，根据几何关系得到：
=，
把代入椭圆方程消去y，
整理得,
有
得
当且仅当，即时等号成立.
当时，
综上所述
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
20.已知函数，.
（I）讨论的单调性；
（II）若恒成立，证明：当时，.
（III）在（II）的条件下，证明：.
【答案】I.见解析；Ⅱ.见解析；III 见解析.
【解析】
【分析】
I：对函数求导，分类讨论导函数的正负，进而得到单调性；Ⅱ：通过分类讨论可得到a=1，根据，得到：，进而得到结
果; III:通过讨论函数的单调性得到，进而得到：，由Ⅱ知两式相乘得到结果.
【详解】I.
若，f（x）在上递增；
若a>0，当时，，f(x)单调递增;
当时，单调递减。
Ⅱ.由I知，若a≤0，f（x）在（0，+）上递增，又f（l）=0，故f（x）≤0不恒成立
若a>1，当时，f（x）递减，f（x）>f（1）=0，不合题意。
若0
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