陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试卷Word版含解析.doc

‎2019年高三第二次教学质量检测 理科数学 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应的位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”‎ ‎2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案.不准使用铅笔和修正液，不按以上要求作答无效。‎ ‎4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.‎ 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1.已知集合，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数求得集合N，再由集合交集定义可得。‎ ‎【详解】因为 所以 所以 所以选C ‎【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题。‎ ‎2.设复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数模的定义求得即可。‎ ‎【详解】根据复数除法运算，可化简得 ‎ 所以 所以选D ‎【点睛】本题考查了复数模的求法，属于基础题。‎ ‎3.已知实数，满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性约束条件，画出可行域，求可行域内到原点距离的最大值即可。‎ ‎【详解】由线性约束条件，可行域如下图所示：‎ 由图可知，点A到原点距离最大，此时 ‎ 所以 所以选B ‎【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，非线性目标函数最值的求法，属于基础题。‎ ‎4.已知命题对任意，总有；命题直线，，若，则或；则下列命题中是真命题的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 构造函数故函数在上单调递增,故也即,故为真命题.由于两直线平行,故,解得或,故为真命题.故为真命题.所以选D.‎ ‎5.陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言。景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据组合数，求得出所有相克情况，即可求得任取两种取出的两种物质恰好是相克关系的概率。‎ ‎【详解】从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件数量为 ‎ 取出两种物质恰好相克的基本事件数量为 则取出两种物质恰好是相克关系的概率为 所以选B ‎【点睛】本题考查了概率求法，古典概型概率的相关求解，属于基础题。‎ ‎6.如图是计算值的一个程序框圈，其中判断框内应填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式。‎ ‎【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈 所以共循环了5次 所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，‎ 即判断框内的不等式应为或 ‎ 所以选C ‎【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题。‎ ‎7.已知点在幂函数图像上，设，，，则、、的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点在幂函数上，可求得幂函数解析式，进而判断大小即可。‎ ‎【详解】因为点在幂函数图像上 所以，所以 ‎ 即， ‎ ‎，，‎ 即 为R上的单调递增函数 所以 ‎ 所以选A ‎【点睛】本题考查了指数幂与对数大小比较，函数单调性的简单应用，属于基础题。‎ ‎8.要得到函数的图象，只需将函数的图象经过下列两次变换而得到的（ ）‎ A. 先将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，再将所得到图象向左平移个单位 B. 先将的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得到图象向左平移个单位 C. 先将的图象向左平移个单位，再将所得到图象上各点的横坐标缩短到原来的一半 D. 先将的图象向左平移个单位，再将所得到图象上各点的横坐标伸长到原来的倍 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数图像的平移变化，横坐标与平移量的关系，即可判断。‎ ‎【详解】将函数的图象经过两次变换而得到函数的图象有两种方法：‎ 方法一、先将的图象向左平移个单位，再将所得到图象上各点的横坐标缩短到原来的一半 方法二、先将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，再将所得到图象向左平移个单位 根据选项，可知C为正确的平移方法 所以选C ‎【点睛】本题考查了三角函数图像与性质，函数图像的平移变化，属于基础题。‎ ‎9.某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）‎ ‎ ‎ 正视图 仰视图 俯视图 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图，画出空间结构体，由数据即可求得最长的棱长。‎ ‎【详解】根据三视图，画出空间结构体如下图所示 则最长的棱长为PC 所以 ‎ 所以选B ‎【点睛】本题考查了三视图的简单应用，空间中线段长度比较，属于基础题。‎ ‎10.已知抛物线的准线过双曲线（，）的左焦点，且与双曲线交于，两点，为坐标原点，且的面积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线的准线方程为，所以双曲线的左焦点，从而，把代入得，所以的面积为 ‎，解得，所以离心率，故选D.‎ 考点：抛物线的方程、双曲线的几何性质.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了抛物线的方程、双曲线的简单几何性质，属于基础题.正确运用双曲线的几何性质是本题解答的关键，首先根据抛物线方程求出准线方程即得双曲线的焦点坐标，求出的值，由双曲线标准方程求得弦的长，表示出的面积，从而求得值，最后由离心率的定义求出其值.‎ ‎11.一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（ ）‎ A. 若，则乙有必赢的策略 B. 若，则甲有必赢的策略 C. 若，则甲有必赢的策略 D. 若，则乙有必赢的策略 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 乙若想必胜，则最后一次抓取前必须有1~3个球，根据试验法可得解。‎ ‎【详解】若，则乙有必赢的策略。‎ ‎（1）若乙抓1球，甲抓1球时，乙再抓3球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3‎ 的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。‎ ‎（2）若乙抓1球，甲抓2球时，乙再抓2球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。‎ ‎（3）若乙抓1球，甲抓3球时，乙再抓1球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。‎ 所以若，则乙有必赢的策略 所以选A ‎【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，属于基础题。‎ ‎12.已知函数，又函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导函数判断的单调区间和极值，结合函数有四个不同零点，则可知的两个值的取值范围，进而利用二次函数的图象及韦达定理求得t的范围。‎ ‎【详解】因为 当，所以在 时为单调递减函数 当 ，令解得 ‎ ‎ ，所以在 时为单调递增函数 ‎ ，所以在 时为单调递减函数，且 所以当时，在时取得最大值为 有四个零点，则 令，则有两个不等式实数根，一个在 ，一个在 令 因为 所以只需即可满足有两个不等式实数根，一个在 ，一个在 即解不等式得 ‎ 所以t的取值范围为 所以选A ‎【点睛】本题考查了导函数的综合应用，函数零点的求法，复合函数及根分布的综合应用，属于难题。‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.若，，，则，，的大小关系_____________.‎ ‎【答案】 (1). (2). (3). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据微积分基本定理，依次求出各S的值，比较大小即可。‎ ‎【详解】由微积分基本定理可知 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查了微积分基本定理的应用，属于基础题。‎ ‎14.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公比及，可求出首项，然后求得，代入即可求解。‎ ‎【详解】等比数列各项都是正数，且公比为，‎ 所以即 所以 所以 则 ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及对数求值，属于基础题。‎ ‎15.圆的任意一条切线与圆相交于，两点，为坐标原点，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，根据AB与圆相切且交外面的圆于A、B两点，由垂径定理及勾股定理，求得的大小，进而利用向量数量积即可求得解。‎ ‎【详解】由题意，画出几何图形如下图所示：‎ 设切点为P，则 ‎ 且 ，则 ‎ 所以 因为，‎ 所以 ‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及性质，向量数量积的应用，属于基础题。‎ ‎16.在实数集中定义一种运算“”，具有性质：‎ ‎（1）对任意，；‎ ‎（2）对任意，；‎ ‎（3）对任意，，则函数的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过赋值法，可得到一般性的结论，对解析式化简，然后即可求得最小值。‎ ‎【详解】因为在（3）中，对任意， ‎ 令，代入得 由（1）中可得 由（2）中，化简可得 所以因为 由基本不等式可得 所以最小值为3‎ ‎【点睛】本题考查了新定义的运算，考查了函数式的化简求值，基本不等式的用法，属于中档题。‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.某市规划一个平面示意图为如下图五边形的一条自行车赛道，，，，，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，， ，.‎ ‎（1）求服务通道的长度；‎ ‎（2）应如何设计，才能使折线段赛道最长？‎ ‎【答案】（1）5（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接BD，在中应用余弦定理求得BD，进而在应用勾股定理求得BE。‎ ‎（2）在中，应用余弦定理表达出AB与AE的等量关系，再结合不等式求得的最大值即可。‎ ‎【详解】（1）连接，‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎ ，‎ ‎.，‎ ‎，‎ 又，，‎ 在中，.‎ ‎（2）在中，，.‎ 由余弦定理得 ，‎ 即，‎ 故 ，‎ 从而，即，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 即设计为时，折线段赛道最长.‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理及应用余弦定理解三角形的应用，不等式的用法，属于基础题。‎ ‎18.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示 ‎（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；‎ ‎（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有，两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对，两种型号的新型材料对应的产品各件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：‎ 使用寿命 材料类型 个月 个月 个月 个月 总计 经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？‎ 参考数据：，.参考公式：回归直线方程为，其中.‎ ‎【答案】（1），预计甲公司2019年3月份的利润为百万元（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据数据求得b、a即可得回归直线方程，代入预测月份对应的自变量x的值，即可得预测值。‎ ‎（2）分别计算两种情况下的数学期望，比较大小即可得出结论。‎ ‎【详解】解（1）由折线图可知统计数据共有组，‎ 即，，，，，，‎ 计算可得，‎ ‎，‎ 所以 ，‎ ‎，‎ 所以月度利润与月份代码之间的线性回归方程为.‎ 当时，.‎ 故预计甲公司2019年3月份的利润为百万元。‎ ‎（2）由频率估计概率，每包型新材料可使用个月，个月，个月和个月的概率分别为.，，和，‎ 所以每包型新材料可产生的利润期望值 ‎ .‎ 由频率估计概率，每包型新材料可使用个月，个月，个月和个月的概率分别为，，和，‎ 所以每包型新材料可产生的利润期望值 ‎ .‎ ‎.‎ 所以应该采购型新材料。‎ ‎【点睛】本题考查了应用回归方程分析实际问题，数学期望的求法，试题阅读量大，数据处理较为复杂，属于中档题。‎ ‎19.如图所示，等腰梯形的底角，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算BD，根据勾股定理逆定理得出AB⊥BD，再根据ED⊥平面得出ED⊥AB，故而AB⊥平面，从而平面平面；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，，求出两个平面的法向量，根据法向量的夹角即可求得λ的值。‎ ‎【详解】（1）证明：平面平面，‎ 平面平面，，‎ 平面，平面，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，又平面，‎ 平面平面 ‎（2）解：以为坐标原点，以，为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎，，，，，，‎ 则，，‎ ‎，，‎ 设 ，（），‎ 则 ，‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，则 ‎，，，‎ ‎，‎ 令，得，‎ 令，得，‎ ‎ .‎ 即.‎ 即点为线段的中点时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量求平面与平面夹角的应用，属于中档题。‎ ‎20.已知、为椭圆（）的左右焦点，点为其上一点，且.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线交椭圆于、两点，且原点在以线段为直径的圆的外部，试求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得a、b，进而得椭圆的标准方程。‎ ‎（2）设出A、B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出，代入得到关于k的不等式，解不等式即可得k的取值范围。‎ ‎【详解】解：（1）由题可知，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为：.‎ ‎（2）设，由，得 ‎，‎ 由韦达定理得：，，‎ 由 得或.‎ 又因为原点在线段为直径的圆外部，则，‎ ‎ ，‎ 即，‎ 综上所述：实数的取值范围为 ‎【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，属于中档题。‎ ‎21.函数，其中，，为实常数 ‎（1）若时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，当时，证明：.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) (3)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入t的值，求得导函数，对a进行分类讨论，根据导数的正负确定单调区间即可。‎ ‎（2）代入t的值，根据不等式分离参数，通过构造函数，再求，根据其单调性求得最大值即可得a的取值范围。‎ ‎（3）要证明不等式成立，根据分析法得到只需证明成立即可。通过构造函数，利用导数研究其单调性与最值，根据最小值即可得证。‎ ‎【详解】解（1）定义域为， ，‎ 当时，， ，‎ 在定义域上单调递增；‎ 当时，时，，单调递增；‎ 当时，。单调递减；‎ 综上可知：当时，的增区间为，无减区间；‎ 当时，增区间为，减区间为；‎ ‎（2） 对任意恒成立.‎ 即等价于，，‎ 令.‎ ‎ ，，‎ 在上单调递增，‎ ‎，‎ ‎.故的取值范围为.‎ ‎（3）要证明，即证明，只要证，‎ 即证，只要证明即可，‎ 令，在上是单调递增，，‎ 在有唯一实根设为，‎ 且，‎ 当时，单调递减 当时，，单调递增 从而当时，取得最小值，由得：‎ ‎，即，‎ ‎ ，‎ 故当时，证明：.‎ ‎【点睛】本题考查了导数在函数单调性、最值中的综合应用，分离参数法、构造函数法的综合应用，属于难题。‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线，.‎ ‎（1）以过原点的直线的倾斜角为参数，写出曲线的参数方程；‎ ‎（2）直线过原点，且与曲线，分别交于，两点（，不是原点）。求的最大值.‎ ‎【答案】(1) 圆的参数方程为，（为参数，且）(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将圆的方程化为标准方程，根据倾斜角即可化为参数方程。‎ ‎（2）将圆的方程化为极坐标方程，根据极坐标方程表示出即可求得最大值。‎ ‎【详解】解：（1）如图，，‎ 即，‎ 是以为圆心，为半径，且经过原点的圆，‎ 设，‎ 则，‎ 由已知，以过原点的直线倾斜角为参数，则，而，‎ 所以圆的参数方程为，（为参数，且）‎ ‎（2）根据已知，的极坐标方程分别为，‎ 故 ，其中.‎ 故当时，等号成立，‎ 综上，的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了直角坐标方程和参数方程的转化，极坐标方程的应用，属于中档题。‎ ‎23.已知对任意实数，都有恒成立.‎ ‎（I）求实数的范围；‎ ‎（Ⅱ）若的最大值为，当正数，满足时，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2)9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值三角不等式，代入即可求得m的取值范围。‎ ‎（2）根据柯西不等式，代入即可求得的最小值。‎ ‎【详解】解（1）对任意实数，都有恒成立，‎ 又 ‎（2）由（1）知，由柯西不等式知：‎ ‎ ‎ 当且仅当，时取等号，‎ 的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的应用，柯西不等式的用法，属于中档题。‎