2019届高三联考数学试题（文科）
一、选择题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用集合的交集运算计算即可.
【详解】集合，，则，
故选:A
【点睛】本题考查集合的交集运算,属于简单题.
2.（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可得到答案.
【详解】，
故选:C
【点睛】本题考查复数的商的运算，属于简单题.
3.“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】
利用充分必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，可以推得；但当时，不可以推得，故“”是“”的充分不必要条件，
故选:A
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，属于基础题.
4.已知向量，，且，则实数（ ）
A. 1 B. -1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用两个向量平行的充要条件计算即可.
【详解】易知，，因为，所以，解得：，
故选：B
【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用 解答；（2）两向量垂直，利用 解答.
5.圆与直线的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上三种情况都有可能
【答案】C
【解析】
【分析】
通过比较圆心到直线的距离和半径即可得到位置关系.
【详解】圆的圆心坐标是，半径是，因为圆心到直线的距离，满足，所以圆与直线的位置关系是相离，
故选:C
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判定，比较圆心到直线的距离和半径即可.
6.在区间上随机取一个数，则的值介于0到之间的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解得到x的范围，然后利用几何概型个概率公式计算即可.
【详解】所有的基本事件构成的区间长度为，由，解得：，则，所以由几何概型的概率公式得的值介于0到之间的概率为，
故选:D
【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，几何概型问题还有以下几点容易造成失分，（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
7.在中，角的对边分别为，若，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将已知条件利用正弦定理化简即可得到答案.
【详解】因为，由正弦定理，得，所以，
故选:A
【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.
8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图可知，该几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥后剩下的几何体，由圆锥的体积公式计算即可.
【详解】由三视图可知，该几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥后剩下的几何体，且大圆锥与被挖去的小圆锥共底面，大圆锥的底面圆半径为，高为，被挖去的小圆锥的底面圆半径为，高为，所以该几何体的体积为，
故选:B
【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查圆锥体积公式的计算，属于常考题型.
9.已知实数满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的值为（ ）
A. -1 B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.
【详解】由约束条件作出可行域如图所示，其中，，，目标函数可化为，当直线过点时最大，所以，解得，
故选:C
【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
10.若，且是钝角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将凑成然后利用两角和的余弦公式计算即可.
【详解】因为是钝角，且，所以，故 ，
故选:D
【点睛】本题考查同角三角函数关系式和余弦的两角和公式的应用，解决本题的关键是将凑成的形式.
11.已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为2，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．
【详解】抛物线的准线方程为，联立双曲线，解得，由题意得，所以，所以，故选:D
【点睛】本题考查双曲线的简单性质．解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB为等腰直角三角形．
12.已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】
设，则，，记，则函数是奇函数，由已知的最大值为，最小值为，所以，即，故选A．
【点睛】利用函数的奇偶性的图象特点来解决某些问题的常用方法，反映到图象上大致是：若函数在区间 上的最大值为，在图象上表现为点是函数图象在区间上的最高点，由图象的对称性可得点是函数图象在区间上的最低点.
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.函数的图像在处的切线方程是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
对函数求导，求得切线斜率和切点坐标，利用点斜式可得切线方程.
【详解】，所以，又当时，，所以切线方程为，故答案为：
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.
14.在中，角的对边分别为，若，，，则等于___．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用余弦定理直接计算即可得到答案.
【详解】由余弦定理知：，即，解得或b=-2(舍去），
故答案为：1
【点睛】本题考查余弦定理的简单应用，属于简单题.
15.已知椭圆的离心率为，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】
将椭圆的方程化为标准方程，然后根据焦点在x轴和y轴两种情况，利用离心率公式计算即可.
【详解】将椭圆化为标准方程是，若，即，则椭圆的离心率为，解得：；若，即，则椭圆的离心率为
，解得：.
故答案为：或
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，考查分类讨论思想和计算能力，属于基础题.
16.如图，在正四面体中，是棱上靠近点的一个三等分点，则异面直线和所成角的余弦值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
取棱上靠近点的一个三等分点，由已知得，所以是异面直线和所成的角或其补角，求出CE,CF和FE的长，利用余弦定理计算即可.
【详解】如图，取棱上靠近点的一个三等分点，又因为是棱上靠近点的一个三等分点，所以，所以是异面直线和所成的角，不妨设正四面体的棱长为3，则，，，在中，由余弦定理，得 ，所以，同理，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理，得.
故答案为：
【点睛】本题考查异面直线所成的角，求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及
平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知正项等比数列中，，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由等比数列和等差数列的通项公式列出方程可求公比q,由此能求数列{an}的通项公式．（2）写出数列的通项公式，然后利用裂项相消求和法可得结果.
【详解】（1）设等比数列的公比为
因为成等差数列，
所以，得，
又，则，即，
所以，所以，所以，
所以
显然，所以，解得
故数列的通项公式
（2）由（1）知，
所以
则
【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式的应用，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题.
18.如图，在四棱柱中，底面，，四边形是边长为
4的菱形，，分别是线段的两个三等分点.
（1）求证：平面；
（2）求四棱柱的表面积.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
(1) 连接与交于点，则为的中点，连接，由比例关系可得，由线面平行的判定定理即可得到证明；（2）分别求出四棱柱各个面的面积求和即可.
【详解】（1）证明：连接与交于点，则为的中点，连接，
因为分别是线段的两个三等分点，
所以是线段的中点，
又因为是线段的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为四边形是边长为4的菱形，，且底面，所以侧面为四个全等的矩形，所以四个侧面的面积为
因为平面，连接，
所以四边形是矩形，又，
所以四边形是正方形，
所以，
所以
所以
所以四棱柱的表面积为
【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查柱体的表面积的计算方法，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.
19.2022年北京冬奥运动会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学生中抽取了120人进行调查，经统计男生与女生的人数比为11:13，男生中有30人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人对冰壶运动没有兴趣.
（1）完成列联表，并判断能否有99%的把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣
没有兴趣
合计
男
30
女
15
合计
120
（2）用分层抽样的方法从样本中对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，求抽取的男生和女生分别为多少人？若从这8人中选取两人作为冰壶运动的宣传员，求选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率.
附:，其中n=a+b+c+d
P
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)根据题目中的数据可填写列联表，然后计算 并和表格中的数据进行比较即可得到结论；（2）利用列举法可得从8人中选取2人的基本事件总数和2人中恰好有1位男生和1位女生的基本事件数，然后由古典概型的概率公式计算即可.
【详解】（1）根据题意得如下列联表：
所以
所以有99%的把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”.
（2）对冰壶运动有兴趣的学生共80人，从中抽取8人，抽取的男生数、女生数分别为：，.
记3名男生为；女生为，则从中选取2人的基本事件为： ；
共28个，
其中1男1女含有的基本事件为：共15个，所以选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率为.
【点睛】本题考查列联表及独立性检验的应用，考查古典概型求概率问题.
20.已知点为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】
(1)由已知条件找到a,b,c的等量关系进行计算即可得椭圆的标准方程；（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，由韦达定理化简，即可得到直线方程.
【详解】（1）因为，所以，解得：①
因为椭圆过点，
所以，即②
又③
由①②③，解得：，，，
所以椭圆的标准方程为
（2）由（1）知，，故点的坐标为，显然直线的斜率存在，设为，
则直线的方程为，设点
联立，消去得：，
所以，
所以（★）
且，，
因为，，
若，则，
所以
所以，
所以
所以
所以
所以
所以，所以，解得：
因为都满足（★）式，所以直线的方程为或
即直线的方程为或
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系和韦达定理的应用，考查学生的计算能力.
21.已知函数.
（1）设，求函数的单调区间；
（2）若函数在其定义域内有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间.（2）
【解析】
【分析】
(1)对函数f(x)求导，然后构造函数，通过判断F(x)的单调性和最值即可得到函数f(x)的单调性；（2）“函数在其定义域内有两个零点”可以转化为函数与函数的图像在上有两个不同的交点，利用导数的几何意义求解即可得到答案.
【详解】（1）
函数的定义域为，
令，则
令，得；令，得
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以
所以对任意恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）（法一）：的定义域为，
所以“函数在其定义域内有两个零点”等价于“方程在区间内有两个不
同的实数根”即方程在区间内有两个不同的实数根
故上述问题可以转化为函数与函数的图像在上有两个不同的交点，如图
若令过原点且与函数图像相切的直线斜率为，由图可得
令切点
由，得，所以
又，所以，解得：
于是，所以
故实数的取值范围是
（法二）的定义域为，
，
当时，，
所以在单调递增，所以在不会有两个零点，不合题意，
当时，令，得，
在上，，在上单调递增，
在上，，在上单调递减，
所以，
又时，，
时，，
要使有两个零点，则有
即
所以
所以，即实数的取值范围为.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和函数的零点问题，考查导数的几何意义的应用，属于中档题.
22.已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；
（2）若直线的极坐标方程为，求曲线上的点到直线的最大距离.
【答案】（1）曲线：表示以为圆心，2为半径的圆.
（2）
【解析】
【分析】
（1）利用平方和为1消去参数得到曲线C的直角坐标方程，再利用，整理即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离.
【详解】（1）由，得，
两式两边平方并相加，得，
所以曲线表示以为圆心，2为半径的圆.
将代入得，化简得
所以曲线的极坐标方程为
（2）由，得，即，得
所以直线的直角坐标方程为
因为圆心到直线 的距离，
所以曲线上的点到直线的最大距离为.
【点睛】本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.
23.已知函数.
（1）求的解集；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1) 根据绝对值定义去掉绝对值符号,即可得到不等式得解集；（2）不等式恒成立，等价于 ，根据绝对值定义去掉绝对值即可求得最大值，从而可得t的范围.
【详解】（1），即，所以
所以，所以，
所以的解集为.
（2）“”等价于“”，
，成立，等价于
令，
则
所以，即，解得
故实数的取值范围是.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的处理方法，属于基础题.
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