甘肃省天水一中2018届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题Word版含答案.doc

天 水市一中 2015 级 2017—2018 学年度第二 学 期第一次模拟考试数学试卷（理科） 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1．已知(－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中 i 是虚数单位，是 z 的共轭复数)，则 z 的虚部为( ) A．1 B．－1 C．i D．－i 2．如图，已知 R 是实数集，集合 A＝{x|log 1 2(x－1)＞0}，B＝{x| 2x－3 x ＜0}，则阴影部分表示 的集合是( ) A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．(0,1] 3．已知命题 p：∃x∈(－∞，0)，2x＜3x；命题 q：∀x∈ π 2 ，tan x＞sin x，则下列命题为真命 题的是( ) A．p∧q B．p∨( q) C．( p)∧q D．p∧( q) 4．有 4 位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲 类题目答对得 3 分，答错扣 3 分，乙类题目答对得 1 分，答错扣 1 分．若每位同学答对与答 错相互独立，且概率均为 1 2，那么这 4 位同学得分之和为 0 的概率为 ( ) A. 11 64 B. 3 4 C. 3 8 D. 11 16 5．设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内的任意一点， 则 OA →＋ OB →＋ OC →＋ OD →等于 ( ) A. OM → B．2 OM → C．3 OM → D．4 OM → 6.设 a＞b＞1， ，给出下列三个结论： 1 ＞ ；② ＜ ； ③ ， 其中所有的正确结论的序号是 . A．① B.① ② C.② ③ D.① ②③ 7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 8．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S2＝10，S5＝55，则过点 P(n，an)和 Q(n＋2，an＋2)(n ∈N*)的直线的斜率是( )A．4 B．3 C．2 D．1 9．某程序框图如图所示，若输出的 k 的值为 3，则输入的 x 的取值范围为( ) A．[15,60) B．(15,60] C．[12,48) D．(12,48] 10．已知 P(x，y)为平面区域 y2－x2≤0 a≤x≤a＋1(a＞0)内的任意一点，当该区域的面积为 3 时，z＝2x－y 的最大值是( ) A．1 B．3 C．2 D．6 11．设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和，S1，S2，S4 成等比数列，且 a3＝－ 5 2，则 数列 1 an的前 n 项和 Tn＝( ) A．－ n 2n＋1 B. n 2n＋1 C．－ 2n 2n＋1 D. 2n 2n＋1 12．过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F，且倾斜角为 π 4 的直线与抛物线交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线经过点(0,2)，M 为抛物线上的一个动点，则 M 到直线 l1：5x－4y＋4＝0 和 l2：x ＝－ 2 5的距离之和的最小值为( ) A. 41 41 B. 31 31 C. 41 41 D. 31 31 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～21 题为必考题，每个试题考生都必须做答， 第 22 题～23 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上) 13．双曲线Γ： y2 a2－ x2 b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为 10，焦点到渐近线的距离为 3，则Γ的实轴长 等于________． 14．已知(1－2x)5(1＋ax)4 的展开式中 x 的系数为 2，则实数 a 的值为________． 15.已知 ，则不等式 的解集为 16．在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 AC1，A1B1 的中点，点 P 在其表面 上运动，则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于________． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 12 分)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos2B＋cos B＝1－cos Acos C. (1)求证：a，b，c 成等比数列； (2)若 b＝2，求△ABC 的面积的最大值．18．(本小题满分 12 分)某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取 20 个网点作为样本进 行元旦期间网购金额(单位：万元)的调查，获得的所有样本数据按照区间[0,5]，(5,10]，(10,15]， (15,20]，(20,25]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据样本数据，试估计样本中网购金额的平均值； (注：设样本数据第 i 组的频率为 pi，第 i 组区间的中点值为 xi(i＝1,2,3,4,5)，则样本数据 的平均值为＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋x4p4＋x5p5) (2)若网购金额在(15,25]的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点．从这 20 个服务网点中任选 2 个，记ξ表示选到优秀服务网点的个数，求ξ的分布列及数学期望． 19．(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠ADC＝60°， SA＝1，AB＝2，SB＝，平面 SAB⊥底面 ABCD，直线 SC 与底面 ABCD 所成的角为 30°. (1)证明：平面 SAD⊥平面 SAC；、 (2)求二面角 BSCD 的余弦值．20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C： x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F2(2,0)，点 P 15 3 在椭圆 C 上． (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)是否存在斜率为－1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，使得|F1M|＝|F1N|(F1 为椭圆 的左焦点)？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由． 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)＝ x2 ex，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线 与直线 2x－y－3＝0 平行． (1)求证：方程 f(x)＝g(x)在(1,2)内存在唯一的实根； (2)设函数 m(x)＝min{f(x)，g(x)}(min{p，q}表示 p，q 中的较小者)，求 m(x)的最大值．请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程 将圆 x2＋y2＝1 上每一点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线Γ. (1)写出Γ的参数方程； (2)设直线 l：3x＋2y－6＝0 与Γ的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程． 23．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 已知函数 f(x)＝|2x－a|. (1)若 f(x)＜b 的解集为{x|－1＜x＜2}，求实数 a、b 的值； (2)若 a＝2 时，不等式 f(x)＋m≥f(x＋2)对一切实数 x 均成立，求实数 m 的取值范围． 数学(理科)答案 1．解析：选 A.因为＝ 4＋3i 2－i ＋1－3i＝ 2＋i 2＋i＋1－3i＝1＋2i＋1－3i＝2－i，所以 z＝2＋i，z 的 虚部为 1，故选 A. 2．解析：选 D.由题可知 A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜ 3 2}，且图中阴影部分表示的是 B∩(∁RA) ＝{x|0＜x≤1}，故选 D. 3．解析：选 C.根据指数函数的图象与性质知命题 p 是假命题，则綈 p 是真命题；根据单位圆 中的三角函数线知命题 q 是真命题，故选 C. 4..解析：选 A.每人的得分情况均有 4 种可能，因而总的情况有 44＝256 种，若他们得分之和 为 0，则分四类：4 人全选乙类且两对两错，有 C 2 4种可能；4 人中 1 人选甲类对或错，另 3人选乙类全错或全对，有 2C 1 4种可能；4 人中 2 人选甲类一对一错，另 2 人选乙类一对一错， 有 C 2 4×2×2 种可能；4 人全选甲类且两对两错，有 C 2 4种可能．共有 C 2 4＋2C 1 4＋C 2 4×2×2＋ C 2 4＝44 种情况，因而所求概率为 P＝ 44 256＝ 11 64，故选 A. 5．解析：选 D.因为 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点，所以 OA →＋ OC →＝2 OM →， OB →＋ OD →＝2 OM →，所以 OA →＋ OB →＋ OC →＋ OD →＝4 OM →，故选 D. 6.【答案】D 【解析】由不等式及 a＞b＞1 知 ，又 ，所以 ＞ ，①正确;由指数函数的图像 与性质知②正确；由 a＞b＞1， 知 ，由对数函数的图像与性质知 ③正确. 7 案： B 提示：四棱锥的底面垂直与水平面。 8．解析：选 A.设等差数列{an}的公差为 d，因为 S2＝2a1＋d＝10，S5＝ 5 2(a1＋a5)＝5(a1＋2d) ＝55，所以 d＝4，所以 kPQ＝ an＋2－an n＋2－n ＝ 2d 2 ＝d＝4，故选 A. 9．解析：选 B.根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果，可得不等式组 x －3≤3， 解得 15＜x≤60，故选 B. 10. 解析：选 D.不等式组 y2－x2≤0 a≤x≤a＋1 变形可得 x＋y≥0 a≤x≤a＋1，先作出可行域如图中阴影部分所示，则可行域的面积 S＝ 1 2(2a＋2a ＋2)×1＝3，解得 a＝1，平移直线 y＝2x，得 z＝2x－y 在点(2，－2)处取得最大值 6，故选 D. 11．解析：选 C.设{an}的公差为 d，S1＝a1，S2＝2a1＋d＝2a1＋ a3－a1 2 ＝ 3 2a1－ 5 4，S4＝3a3＋a1 ＝a1－ 15 2 ，因为 S1，S2，S4 成等比数列，所以 5 42＝ 15 2 a1， 整理得 4a 2 1＋12a1＋5＝0，所以 a1＝－ 5 2或 a1＝－ 1 2. 当 a1＝－ 5 2时，公差 d＝0 不符合题意，舍去； 当 a1＝－ 1 2时，公差 d＝ a3－a1 2 ＝－1， 所以 an＝－ 1 2＋(n－1)×(－1)＝－n＋ 1 2＝－ 1 2(2n－1)， 所以 1 an＝－ 2 2n＋1＝－ 1 2n＋1，所以其前 n 项和Tn＝－ 1 2n＋1＝－ 1 2n＋1＝－ 2n 2n＋1，故选 C. 12. 解析：选 A.抛物线的焦点为 F p ，0，准线为 x＝－ p 2，故直线 AB 的方程为 y＝x－ p 2，设 A(x1， y1)，B(x2，y2)， 由 2⇒x2－3px＋ p2 4 ＝0， 所以 x1＋x2＝3p，y1＋y2＝2p，故线段 AB 的中点坐标为 3p ，p， 又 AB 的垂直平分线经过点(0,2)，故 AB 垂直平分线的方程为 y＝－x＋2，故 p＝－ 3p 2 ＋2， p＝ 4 5，x＝－ 2 5是抛物线的准线，作 MC¡Íl1 于点 C，MD¡Íl2 于点 D，如图所示，由抛物线的定 义知|MD|＝|MF|，当 M，C，F 三点共线且点 M 位于 C，F 之间时，距离之和最小，其值是 F 2 ，0到 l1：5x－4y＋4＝0 的距离，由点到直线的距离公式可得其距离 d＝ |6| 2 ＝ 6 41＝ 41 41. 13．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线 y＝ a bx，即 ax－by＝0 的距离为 |5b| a2＋b2＝ 5b c ＝b＝3，所 以 a＝4,2a＝8. 答案：8 14．解析：因为(1－2x)5 的展开式中的常数项为 1，x 的系数为 C 1 5×(－2)＝－10；(1＋ax)4 的 展开式中的常数项为 1，x 的系数为 C 1 4a＝4a，所以(1－2x)5(1＋ax)4 的展开式中 x 的系数为 1 ×4a＋1×(－10)＝2，所以 a＝3. 答案：3 15.【解析】 ，因为 所以 是偶函数。 所以 所以 变形为： 又 所以 在 单调递增，在 单调递减。所以 等价于 故填 16 解析：分别取 BB1，CC1 的中点 E，F，连接 AE，EF，FD，则 BN¡Í平面 AEFD，设 M 在平 面 ABB1A1 中的射影为 O，过 MO 与平面 AEFD 平行的平面为á，所以能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形 AEFD 的周长相等，又矩形 AEFD 的周长为 2＋，所以所求轨迹的周长为 2＋. 答案：2＋ 17．解：(1)在¡÷ABC 中，cos B＝－cos(A＋C)． 由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cos Acos C， ¡à－sin2B－(cos Acos C－sin Asin C)＝－cos Acos C， 化简，得 sin2B＝sin Asin C．由正弦定理，得 b2＝ac，¡àa，b，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得 ac＝4. 则 cos B＝ a2＋c2－b2 2ac ＝ a2＋c2－ac 2ac ≥ 2ac－ac 2ac ＝ 1 2，当且仅当 a＝c 时，等号成立． ¡ß0＜B＜ð，¡àsin B＝≤ 1 2＝ 3 2. ¡àS¡÷ABC＝ 1 2acsin B≤ 1 2×4× 3 2＝.¡à¡÷ABC 的面积的最大值为. 18．解：(1)根据频率分布直方图可知(0.02＋0.03＋0.04＋m＋0.06)×5＝1，解得 m＝0.05. ¡à所求样本中网购金额的平均值＝0.05×5× 5 2＋0.04×5× 15 2 ＋0.06×5× 25 2 ＋0.02×5× 35 2 ＋0.03×5× 45 2 ＝0.25× 5 2＋0.2× 15 2 ＋0.3× 25 2 ＋0.1× 35 2 ＋0.15× 45 2 ＝0.625＋1.5＋3.75＋1.75＋ 3.375＝11. (2)这 20 个服务网点中，非优秀服务网点有 20×0.75＝15 个，优秀服务网点有 20×(0.02 ＋0.03)×5＝5 个， ¡àî的可能取值为 0,1,2. P(î＝0)＝ 2 20＝ 21 38，P(î＝1)＝ 2 20＝ 15 38，P(î＝2)＝ 2 20＝ 1 19， ¡àî的分布列为 î 0 1 2 P 21 38 15 38 1 19 E(î)＝0× 21 38＋1× 15 38＋2× 1 19＝ 19 38＝ 1 2. 19．解：(1)证明：因为 SA＝1，AB＝2，SB＝，SA2＋AB2＝SB2， 所以¡÷SAB 为直角三角形，且 SA¡ÍAB， 又平面 SAB¡Í底面 ABCD，平面 SAB∩平面 ABCD＝AB， 所以 SA¡Í底面 ABCD，SA¡ÍAC， 故¡ÏSCA 为直线 SC 与底面 ABCD 所成的角， 即¡ÏSCA＝30°，可得 AC＝，SC＝2. 在¡÷ADC 中，AC＝，CD＝2，¡ÏADC＝60°， 所以 AC sin 60°＝ CD sin¡ÏDAC，即 3＝ 2 sin¡ÏDAC， 得 sin¡ÏDAC＝1，故¡ÏDAC＝90°， 所以 AD¡ÍAC. 因为 AD∩SA＝A，所以 AC¡Í平面 SAD. 又 AC⊂平面 SAC， 所以平面 SAD¡Í平面 SAC. (2)以 A 为原点，AC，AD，AS 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系(如图)，故 A(0,0,0)，S(0,0,1)，B(，－1,0)，C(，0,0)，D(0,1,0)， 则 SB →＝(，－1，－1)， SC →＝(，0，－1)， SD →＝(0,1，－1)， 设平面 SBC 的法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，则 SC ＝0， 即 3x1－y1－z1＝0 x1－z1＝0 ，令 z1＝，得 x1＝1，y1＝0， 故 n1＝(1,0，)为平面 SBC 的一个法向量． 设平面 SCD 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， 则 SD ＝0，即 3x2－z2＝0 y2－z2＝0 ， 故 y2＝z2＝x2. 令 x2＝1，得 n2＝(1，，)为平面 SCD 的一个法向量． ¡àcos〈n1，n2〉＝ n1·n2 |n1||n2|＝ 1＋0＋3 7 ＝ 4 7＝ 7 7. 分析可知二面角 BSCD 为钝角，故其余弦值为－ 7 7. 20．解：(1)法一：¡ß椭圆 C 的右焦点为 F2(2,0)，¡àc＝2， 椭圆 C 的左焦点为 F1(－2,0)． 由椭圆的定义可得 2a＝ 15 2 ＋ 15 2 ＝ 96 9 ＋ 24 9 ＝2，解得 a＝， ¡àb2＝a2－c2＝6－4＝2. ¡à椭圆 C 的标准方程为 x2 6 ＋ y2 2 ＝1. 法二：¡ß椭圆 C 的右焦点为 F2(2,0)， ¡àc＝2，故 a2－b2＝4， 又点 P 15 3 在椭圆 C 上，则 1 a2＋ 15 9b2＝1，故 1 b2＋4＋ 15 9b2＝1，化简得 3b4＋4b2－20＝0，得 b2＝2，a2＝6， ¡à椭圆 C 的标准方程为 x2 6 ＋ y2 2 ＝1. (2)假设存在满足条件的直线 l，设直线 l 的方程为 y＝－x＋t， 由 ＝1 y＝－x＋t得 x2＋3(－x＋t)2－6＝0，即 4x2－6tx＋(3t2－6)＝0，Ä＝(－6t)2－4×4×(3t2 －6)＝96－12t2＞0， 解得－2＜t＜2. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 3t 2 ，x1x2＝ 3t2－6 4 ， 由于|F1M|＝|F1N|，设线段 MN 的中点为 E，则 F1E¡ÍMN，故 kF1E＝－ 1 kMN＝1，又 F1(－2,0)， E y1＋y2 2 ， 即 E t 4， ¡àkF1E＝ 3t ＋2＝1，解得 t＝－4. 当 t＝－4 时，不满足－2＜t＜2， ¡à不存在满足条件的直线 l. 21．解：(1)由题意知，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为 2， 所以 f′(1)＝2，又 f′(x)＝ln x＋ a x＋1，所以 a＝1. 设 h(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋1)ln x－ x2 ex， 当 x¡Ê(0,1]时，h(x)＜0， 又 h(2)＝3ln 2－ 4 e2＝ln 8－ 4 e2＞1－1＝0， 所以存在 x0¡Ê(1,2)，使 h(x0)＝0.因为 h′(x)＝ln x＋ 1 x＋1＋ x－2 ex ， 当 x¡Ê(1,2)时，0＜x(2－x)＝－(x－1)2＋1＜1， ex＞e，所以 0＜ 1 ex＜ 1 e，所以 2－x ex ＜ 1 e， 所以 h′(x)＞1－ 1 e＞0， 所以当 x¡Ê(1,2)时，h(x)单调递增， 所以方程 f(x)＝g(x)在(1,2)内存在唯一的实根． (2)由(1)知，方程 f(x)＝g(x)在(1,2)内存在唯一的实根 x0，且 x¡Ê(0，x0)时，f(x)＜g(x)， 又当 x¡Ê(x0,2)时，h′(x)＞0，当 x¡Ê(2，＋∞)时，h′(x)＞0， 所以当 x¡Ê(x0，＋∞)时，h′(x)＞0， 所以当 x¡Ê(x0，＋∞)时，f(x)＞g(x)， 所以 m(x)＝ x2 x0，＋∞ 当 x¡Ê(0，x0)时，若 x¡Ê(0,1]，则 m(x)≤0； 若 x¡Ê(1，x0]，由 m′(x)＝ln x＋ 1 x＋1＞0， 可知 0＜m(x)≤m(x0)，故 当 x¡Ê(0，x0]时，m(x)≤m(x0)． 当 x¡Ê(x0，＋∞)时，由 m′(x)＝ 2－x ex 可得当 x¡Ê(x0,2)时， m′(x)＞0，m(x)单调递增； x¡Ê(2，＋∞)时，m′(x)＜0，m(x)单调递减． 可知 m(x)≤m(2)＝ 4 e2，且 m(x0)＜m(2)． 综上可得，函数 m(x)的最大值为 4 e2. 22．解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为Ã上的点(x，y)， 依题意，得 x＝2x1 y＝3y1，即 y 3.由 x 2 1＋y 2 1＝1，得 x 22＋ y 32＝1. 即曲线Ã的方程为 x2 4 ＋ y2 9 ＝1. 故Ã的参数方程为 x＝2cos t y＝3sin t(t 为参数)． (2)由 ＝1 3x＋2y－6＝0，解得 x＝2 y＝0，或 x＝0 y＝3. 不妨设 P1(2,0)，P2(0,3)，则线段 P1P2 的中点坐标为 3 2， 所求直线的斜率 k＝ 2 3.于是所求直线方程为 y－ 3 2＝ 2 3(x－1)，即 4x－6y＋5＝0. 化为极坐标方程，得 4ñcos è－6ñsin è＋5＝0. 23．解：(1)¡ß|2x－a|＜b，¡à a－b 2 ＜x＜ a＋b 2 ， ¡ßf(x)＜b 的解集为{x|－1＜x＜2}，¡à a＋b ＝2 ，¡à a＝1 b＝3. (2)由已知，得 m≥f(x＋2)－f(x)＝|2x＋2|－|2x－2|对一切实数 x 均成立， 又|2x＋2|－|2x－2|≤|(2x＋2)－(2x－2)|＝4，¡àm≥4.