2016-2017学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）分式有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x=2 D．x=﹣2
2．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+x+1=（x+1）2
C．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 D．2x+4=2（x+2）
3．（4分）若a＞b，下列说法不一定成立的是（ ）
A．a+6＞b+6 B．a﹣6＞b﹣6 C．﹣6a＞﹣6b D．＞
4．（4分）八边形的内角和为（ ）
A．180° B．360° C．1080° D．1440°
5．（4分）用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（ ）
A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=1 C．（x+10）2=91 D．（x+10）2=109
6．（4分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
7．（4分）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
8．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠
ABC=60°，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．2
9．（4分）如图，已知：函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（ ）
A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2
10．（4分）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于（ ）
A． B． C． D．
11．（4分）若关x的分式方程﹣1=有增根，则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（4分）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为
（ ）
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：x3﹣4x= ．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE= ．
15．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n= ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为 ．
17．（4分）若代数式的值等于0，则x= ．
18．（4分）如图．正方形ABCD的边长为6．点E，F分别在AB，AD上．若CE=，且∠ECF=45°，则CF的长为 ．
三、解答题（本大题共9题，满分58分）
19．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=﹣2．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD为平行四边形．
（2）对角线AC分别与DE、EF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．
21．（6分）某学校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同，求笔袋和笔记本的价格．
22．（8分）我们用[a]表示不大于a的最大整数，用＜a＞表示大于a的最小整数．例如：[2.5]=2，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3；＜2.5＞=3，＜4＞=5，＜﹣1.5＞=﹣1．[来源:学*科*网]
解决下列问题：
（1）[﹣4.5]= ，＜3.5＞= ．
（2）若[x]=2，则x的取值范围是 ；若＜y＞=﹣1，则y的取值范围是 ．
（3）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围．
23．（9分）如图，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2cm，求DF的长．
24．（10分）菱形ABCD在坐标系中位置如图所示，点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（1，0），点D在y轴上，∠DAB=60°．
（1）求点C、点D的坐标．
（2）点P是对角线AC上一个动点，当OP+BP最短时，求点P的坐标．
25．（12分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
附加题：（共20分）
26．（10分）已知一元二次方程ax2﹣bx+c=0的两个实数根满足|x1﹣x2|=，a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a=c，求∠B的度数．
27．（10分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠
ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
2016-2017学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）分式有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x=2 D．x=﹣2
【解答】解：根据题意得：x+2≠0，
解得：x≠﹣2．
故选B．
2．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+x+1=（x+1）2
C．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 D．2x+4=2（x+2）
【解答】解：A、x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故此选项错误；
B、x2+2x+1=（x+1）2，故此选项错误；
C、等式的右边不是乘积形式，不是因式分解，故此选项错误；
D、2x+4=2（x+2），故此选项正确；
故选：D．
3．（4分）若a＞b，下列说法不一定成立的是（ ）
A．a+6＞b+6 B．a﹣6＞b﹣6 C．﹣6a＞﹣6b D．＞
【解答】解：A、∵a＞b，
∴a+6＞b+6，故本选项不符合题意；
B、∵a＞b，
∴a﹣6＞b﹣6，故本选项不符合题意；
C、∵a＞b，
∴﹣6a＜﹣6b，故本选项符合题意；
D、∵a＞b，
∴＞，故本选项不符合题意；[来源:学。科。网Z。X。X。K]
故选C．
4．（4分）八边形的内角和为（ ）
A．180° B．360° C．1080° D．1440°
【解答】解：（8﹣2）•180°=6×180°=1080°．
故选：C．
5．（4分）用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（ ）
A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=1 C．（x+10）2=91 D．（x+10）2=109
【解答】解：方程x2+10x+9=0，
整理得：x2+10x=﹣9，
配方得：x2+10x+25=16，即（x+5）2=16，
故选：A．
6．（4分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【解答】解：∵正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，
∴△ABC，△BCD，△ADC，△ABD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形，一共8个．
故选：C．
7．（4分）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，
∵AD=CD，
∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°，
故选：A．
8．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．2
【解答】解：∵四边形ABCD菱形，
∴AC⊥BD，BD=2BO，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAO=60°，
∴BO=sin60°•AB=2×=，
∴BD=2．
故选：D．
9．（4分）如图，已知：函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（ ）
A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2
【解答】解：∵函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），
则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，
故选B．
10．（4分）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据旋转的性质，易得△ACP′≌△ABP，∠BAP=∠CAP′，AP=AP′，
∵∠BAP+∠PAC=90°，
∴∠PP′C+∠PAC=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
由勾股定理得PP′===3．
故选：A．
11．（4分）若关x的分式方程﹣1=有增根，则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：去分母得：2x﹣x+3=m，
由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=6，
故选D．
12．（4分）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为
（ ）
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10
【解答】解：∵三角形是等腰三角形，
∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，
①当a=2，或b=2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，
∴x=2，[来源:Z_xx_k.Com]
把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，
解得：n=9，
当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n=9不合题意，
②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0
解得：n=10，
故选B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：x3﹣4x= x（x+2）（x﹣2） ．
【解答】解：x3﹣4x，
=x（x2﹣4），
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE= 30° ．
【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=（180°﹣120°）÷2=30°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B=30°
故答案为：30°
15．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n= ﹣10 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，
∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，
解得：m=﹣2，n=﹣8，
∴m+n=﹣10，
故答案为：﹣10．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为 5 ．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
∴CD=AB，
又∵EF是△ABC的中位线，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
∴EF=×10=5cm．
故答案为：5．
17．（4分）若代数式的值等于0，则x= 2 ．
【解答】解：由分式的值为零的条件得x2﹣5x+6=0，2x﹣6≠0，
由x2﹣5x+6=0，得x=2或x=3，
由2x﹣6≠0，得x≠3，
∴x=2，
故答案为2．
18．（4分）如图．正方形ABCD的边长为6．点E，F分别在AB，AD上．若CE=，且∠ECF=45°，则CF的长为 2 ．
【解答】解：如图，延长FD到G，使DG=BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，
∴∠GCF=45°，
在△GCF与△ECF中，
，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF=EF，
∵CE=3，CB=6，
∴BE===3，
∴AE=3，
设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x，
∴EF==，
∴（9﹣x）2=9+x2，
∴x=4，
即AF=4，
∴GF=5，
∴DF=2，
∴CF===2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共9题，满分58分）
19．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=﹣2．
【解答】解：原式=•
=，
当x=﹣2时，原式==．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD为平行四边形．
（2）对角线AC分别与DE、EF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=DF，
∵BE∥DF，
∴四边形EBFD为平行四边形；
（2）证明：∵四边形EBFD为平行四边形，
∴DE∥BF，
∴∠CDM=∠CFN．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，
∴∠ABN=∠CDM，
在△ABN与△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM （ASA）．
21．（6分）某学校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同，求笔袋和笔记本的价格．
【解答】解：设每个笔记本的价格为x元，则每个笔袋的价格为（x+3）元，
由题意得， =，
解得x=4，
经检验，x=4是分式方程的解，
所以，x+3=4+3=7，
答：笔袋和笔记本的价格分别为7元和4元．
22．（8分）我们用[a]表示不大于a的最大整数，用＜a＞表示大于a的最小整数．例如： [2.5]=2，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3；＜2.5＞=3，＜4＞=5，＜﹣1.5＞=﹣1．
解决下列问题：
（1）[﹣4.5]= ﹣5 ，＜3.5＞= 4 ．
（2）若[x]=2，则x的取值范围是 2≤x＜3 ；若＜y＞=﹣1，则y的取值范围是 ﹣2≤y＜﹣1 ．
（3）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：[﹣4.5]=﹣5，＜y＞=4；
故答案为：﹣5，4；
（2）∵[x]=2，
∴x的取值范围是2≤x＜3；
∵＜y＞=﹣1，
∴y的取值范围是﹣2≤y＜﹣1；
故答案为：2≤x＜3，﹣2≤y＜﹣1；
（3）解方程组，
得：，
∴x的取值范围为﹣1≤x＜0，y的取值范围为1≤y＜2．
23．（9分）如图，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2cm，求DF的长．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
24．（10分）菱形ABCD在坐标系中位置如图所示，点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（1，0），点D在y轴上，∠DAB=60°．
（1）求点C、点D的坐标．
（2）点P是对角线AC上一个动点，当OP+BP最短时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（1，0），
∴AB=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=2，CD∥AB，
在Rt△ADO中，OD=AD•sin60°=，
∴D（0，），C（2，）．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴B、D关于直线AC对称，设OD交AC于P，此时OP+PB的值最小，
∵P′O+P′B=P′D+P′O＞OD，
即P′O+P′B=P′D+P′O＞OP+PB．
在Rt△AOP中，∵∠PAO=∠DAB=30°，
∴OP=OA•tan30°=，
∴P（0，）．
25．（12分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．[来源:学科网ZXXK]
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD，
∴AC=BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，[来源:学科网ZXXK]
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
附加题：（共20分）
26．（10分）已知一元二次方程ax2﹣bx+c=0的两个实数根满足|x1﹣x2|=，a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a=c，求∠B的度数．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程的两个实数根，
∴x1+x2=，x1•x2=，
∵a=c，
∴x1•x2==1，
∵|x1﹣x2|=，
∴x12+x22﹣2x1•x2=2，
∴（x1+x2）2﹣4x1•x2=2，
即：﹣4=2，
∴b=a，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠B=120°．
答：∠B的度数为120°．
27．（10分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．
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