2017年湖北省黄冈市蕲春县八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）要使式子有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1
3．（3分）下列各组数是勾股数的为（ ）
A．3，4，5 B．，， C．11，13，15 D．4，5，6
4．（3分）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）
A．5 B． C． D．5或
6．（3分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．（3分）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②×=1，③÷=﹣b，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（ ）
A．（3，4）（2，4） B．（3，4）（2，4）（8，4）
C．（2，4）（8，4） D．（3，4）（2，4）（8，4）（2.5，4）
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）当x= 时，二次根式取最小值，其最小值为 ．
10．（3分）方程=2的解是 ．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
12．（3分）△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．则AC= cm．
13．（3分）计算：（﹣2）2016（+2）2017= ．
14．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是 ．
15．（3分）已知x=﹣1，则x2+2x+2015= ．
16．（3分）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是 ．
三.解答题（本大题共9小题，满分共72分）
17．（12分）计算
（1）4+﹣+4
（2）（5﹣6+4）÷
（3）﹣（π﹣）0+|﹣2|﹣（）2．
18．（6分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．
（1）求DC的长．
（2）求AB的长．
19．（6分）如图：A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．利用图形化简：．
20．（6分）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．
21．（8分）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．
（1）请用a表示第三条边长；
（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a的取值范围；
（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由．
22．（8分）如图，小烨用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为6cm，长BC为10cm．当小烨折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
23．（8分）如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，∠NPQ=30°，假使拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是5米/秒，那么学校受到的影响的时间为多少秒？[来源:Zxxk.Com]
24．（8分）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．
25．（10分）如图（1），在平面直角坐标系中点A（x，y），B（2x，0）满足x2﹣2+3=0，点C为线段OB上一个动点，以AC为腰作等腰直角△ACD，且AC=AD．
（1）求点A、B坐标及△AOB的面积；
（2）试判断OC2、CB2、CD2间的数量关系，并说明理由；
（3）如图（2），若点C为线段OB延长线上一个动点，则（2）中的结论是否成立，并说明理由．
2017年湖北省黄冈市蕲春县八年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、二次根式无意义，故A错误；
B、是三次根式，故B错误；
C、被开方数是正数，故C正确；
D、当b=0或a、b异号时，根式无意义，故D错误．
故选：C．
2．（3分）要使式子有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1
【解答】解：根据题意得：，
解得：m≥﹣1且m≠1．
故选：D．
3．（3分）下列各组数是勾股数的为（ ）
A．3，4，5 B．，， C．11，13，15 D．4，5，6
【解答】解：A、32+42=25=52，故是勾股数；
B、，，不是整数，故不是勾股数；
C、112+132=290≠152，故不是；
D、42+52=41≠62，故不是；
故选A．
4．（3分）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
B、原式=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、原式=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：A
5．（3分）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）
A．5 B． C． D．5或
【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，
（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为，
故选：D．
6．（3分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【解答】解：在RT△ABC中，∵AC=6，BC=8，
∴AB===10，
△ADE是由△ACD翻折，
∴AC=AE=6，EB=AB﹣AE=10﹣6=4，
设CD=DE=x，
在RT△DEB中，∵DEDE2+EB2=DB2，
∴x2+42=（8﹣x）2
∴x=3，
∴CD=3．
故选B．
7．（3分）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②×=1，③÷=﹣b，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0， b＜0
①=，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，（故①错误），
②•=1， •===1，（故②正确），
③÷=﹣b，÷=÷=×=﹣b，（故③正确）．
故选：B．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（ ）
A．（3，4）（2，4） B．（3，4）（2，4）（8，4）
C．（2，4）（8，4） D．（3，4）（2，4）（8，4）（2.5，4）
【解答】解：有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，
在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，
由勾股定理得PC=3，
则P的坐标是（3，4）；
②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，
过P′作P′N⊥OA于N，
在Rt△OP′N中，设CP′=x，
则DN=5﹣x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：42+（5﹣x）2=52，
x=2，
则P′的坐标是（2，4）；
过P″作P″M⊥OA于M，
设BP″=a，
则DM=5﹣a，P″M=4，DP″=5，
在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5﹣a）2+42=52，
解得：a=2，
∴BP″=2，CP″=10﹣2=8，
即P″的坐标是（8，4）；
假设0P=PD，则由P点向0D边作垂线，交点为Q则有PQ2十QD2=PD2，
∵0P=PD=5=0D，
∴此时的△0PD为正三角形，于是PQ=4，QD=0D=2.5，PD=5，代入①式，等式不成立．所以排除此种可能．
故选B．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）当x= ﹣1 时，二次根式取最小值，其最小值为 0 ．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件，得x+1≥0，则x≥﹣1．
所以当x=﹣1时，该二次根式有最小值，即为0．
故答案为：﹣1，0．
10．（3分）方程=2的解是 x=2 ．
【解答】解：∵=2，
∴3x﹣2=4，
∴x=2，
当x=2时，
左边=，
右边=2，
∵左边=右边，
∴方程=2的解是：x=2．
故答案为：x=2．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为 （4，0） ．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8），
∴AO=6，BO=8，
∴AB==10，
∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，
∴AB=AC=10，
∴OC=AC﹣AO=4，
∵交x正半轴于点C，
∴点C的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
12．（3分）△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．则AC= 13 cm．
【解答】解：∵D是BC的中点，BC=10cm，
∴DC=BD=5cm，
∵BD2+AD2=144+25=169，AB2=169，
∴BD2+AD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°
∴△ADC也是直角三角形，且AC是斜边
∴AC2=AD2+DC2=AB2
∴AC=13cm．
故答案为：13．
13．（3分）计算：（﹣2）2016（+2）2017= +2 ．
【解答】解：原式=[（﹣2）（+2）]2016•（+2）
=（3﹣4）2016•（+2）
=+2．
故答案为．
14．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是 10 ．
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，
即S3=2+5+1+2=10．
故答案是：10．
15．（3分）已知x=﹣1，则x2+2x+2015= 2107 ．
【解答】解：∵x=﹣1，
∴x2+2x+2015=x2+2x+1+2014=（x+1）2+2014=2017，
故答案为：2017．
16．（3分）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是 ．
【解答】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B、C为EF、FD的中点，
S△ABC=S正方形AEFD﹣S△AEB﹣S△BFC﹣S△CDA
=，[来源:学.科.网]
=．
BC==．
∴△ABC中BC边上的高是×2÷=．
故答案为：．
三.解答题（本大题共9小题，满分共72分）[来源:学科网ZXXK]
17．（12分）计算
（1）4+﹣+4
（2）（5﹣6+4）÷
（3）﹣（π﹣）0+|﹣2|﹣（）2．
【解答】解：（1）原式=4+3﹣2+4
=7+2；
（2）原式=（5×4﹣6×3+4）÷
=（2+4）÷
=2+4；
（3）﹣（π﹣）0+|﹣2|﹣（）2
=2+﹣1+2﹣﹣5
=﹣2．
18．（6分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．
（1）求DC的长．
（2）求AB的长．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB于D，且BC=15，BD=9，AC=20
∴∠CDA=∠CDB=90°
在Rt△CDB中，CD2+BD2=CB2，
∴CD2+92=152
∴CD=12；
（2）在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2
∴122+AD2=202
∴AD=16，
∴AB=AD+BD=16+9=25．
19．（6分）如图：A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．利用图形化简：．
【解答】解：
=﹣（a﹣b）+（c﹣b）+（a﹣c）
=﹣a+b+c﹣b+a﹣c
=0．
20．（6分）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．
【解答】解：原式=•﹣
=﹣
=，
当x=﹣1时，原式==﹣1．
21．（8分）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．
（1）请用a表示第三条边长；
（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a的取值范围；
（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由．
【解答】解：（1）∵第二条边长为2a+2，
∴第三条边长为30﹣a﹣（2a+2）
=28﹣3a．
（2）当a=7时，三边长分别为7，16，7，
由于7+7＜16，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为7米，
根据题意得：
，
解得：＜a＜．
则a的取值范围是：＜a＜．
（3）在（2）的条件下，注意到a为整数，所以a只能取5或6．
当a=5时，三角形的三边长分别为5，12，13．由52+122=132知，恰好能构成直角三角形．
当a=6时，三角形的三边长分别为6，14，10．由62+102≠142知，此时不能构成直角三角形．
综上所述，能围成满足条件的小圈是直角三角形形状，它们的三边长分别为5米，12米，13米．
22．（8分）如图，小烨用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为6cm，长BC为10cm．当小烨折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6cm，AD=CB=10cm．
由折叠方法可知：AD=AF=10cm，DE=EF，
设EC=xcm，则EF=ED=（6﹣x）cm，AF=AD=10cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理可知：BF==8（cm），则CF=BC﹣BF=10﹣8=2（cm）．
在Rt△CEF中，由勾股定理可知：CF2+CE2=EF2，即22+x2=（6﹣x）2，解得x=，即EC=cm．
23．（8分）如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，∠NPQ=30°，假使拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是5米/秒，那么学校受到的影响的时间为多少秒？
【解答】解：作AH⊥MN于H，如图，
在Rt△APH中，
∵∠HPA=30°，
∴AH=AP=×160°=80，
而80＜100，
∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响；
以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB=AC=100，
而AH⊥BC，[来源:Zxxk.Com]
∴BH=CH，
在Rt△ABH中，BH==60，
∴BC=2BH=120，
∴学校受到的影响的时间==24（秒）．
24．（8分）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．
【解答】解：（1）AC+CE=+；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，
连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数+的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE===13，
即+的最小值为13．
故代数式+的最小值为13．
25．（10分）如图（1），在平面直角坐标系中点A（x，y），B（2x，0）满足x2﹣2+3=0，点C为线段OB上一个动点，以AC为腰作等腰直角△ACD，且AC=AD．
（1）求点A、B坐标及△AOB的面积；
（2）试判断OC2、CB2、CD2间的数量关系，并说明理由；
（3）如图（2），若点C为线段OB延长线上一个动点，则（2）中的结论是否成立，并说明理由．
【解答】解：（1）∵x2﹣2+3=0，
∴（x﹣）2+=0，
∵∴（x﹣）2≥0，≥0，
∴x=y=．
∴A（），B（，0），
S△AOB=×2×=3；
（2）结论：CD2=OC2+BC2．
理由：连接BD，
∵OA=AB=，OB=2，
∴OA2+OB2=OB2，
∴∠OAB=90°，∠AOB=∠ABO=45°，
∵∠OAB=∠CAD，
∴∠OAC=∠BAD，
∵∠AO=AB，AC=AD，
∴△OAC≌△BAD，
∴OC=BD，∠AOC=∠ABD=45°，
∴∠CBD=90°，
∴CD2=BC2+BD2．[来源:Z§xx§k.Com]
∴CD2=OC2+BC2．
（3）（2）中的结论仍然成立
理由：连接BD，
∵∠OAB=90°，∠AOB=∠ABO=45°，
∵∠OAB=∠CAD，
∴∠OAC=∠BAD，
∵AO=AB，AC=AD，
∴△OAC≌△BAD，
∴OC=BD，∠AOC=∠ABD=45°，
∴∠OBD=∠DBC=90°，
∴CD2=BC2+BD2，
∴CD2=OC2+BC2．
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