《锐角三角函数》单元检测题
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1．sin30°的值等于（ ）
A. B. C. D.
2．已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
3．在中，，，则的值为（）
A. B. C. D.
4．在△ABC中，若|cosA－|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是( )
A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°
5．如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次长（）
A. B. C. D.
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AB=c，∠A=α，则CD长为（ ）
A. c•sin2α B. c•cos2α C. c•sinα•tanα D. c•sinα•cosα
7．根据所给条件解直角三角形，结果不能确定的是( )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知斜边和一锐角；④已知一直角边和一斜边；⑤已知直角边和一锐角．
A. ②③ B. ②④ C. 只有② D. ②④⑤
8．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（ ）
A. 2 B. C. D.
9．临沂高铁即将开通，这将极大方便市民的出行．如图，在距离铁轨200米处的B处，观察由东向西的动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处西北方向上，则这时段动车的平均速度是（）米/秒.
A. B. C. 200 D. 300
10．如图，放置的，，，…都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，…都在直线上，则的坐标是（）
A. （2017，2017） B. (2017,2017)
C. (2017,2018) D. (2017,2019)
二、填空题
11．计算：tan45°﹣2cos60°=________．
12．在直角坐标系中，O为原点，点A（a，3）在第一象限，OA与X轴所夹的锐角为α，tanα=1.5，则b=_______.
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且sin 30°＝，sin 45°＝，sin 60°＝，cos 30°＝，cos 45°＝，cos 60°＝；观察上述等式，当∠A与∠B互余时，请写出∠A的正弦函数值与∠B的余弦函数值之间的关系：______________．
14．若∠A是锐角，且sinA是方程2x2－x＝0的一个根，则sinA＝________．
15．如图所示，BD⊥AC于点D ， DE∥AB ， EF⊥AC于点F ，若BD平分∠ABC ，则与∠CEF相等的角（不包括∠CEF）的个数是________.
三、解答题
16．计算：
(1) (2cos 45°－sin 60°)＋；
(2)sin 60°·cos 60°－tan 30°·tan 60°＋sin245°＋cos245°.
17．如图，△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=3，AD⊥BC垂足为D．求AC长．
18．如图所示，一测量员站在岸边的A处，刚好正对河岸另一边B处的一棵大树，这位测量员沿河岸向右走了50 m到达C处，在C处测得∠ACB＝38°，求河的宽度．(精确到0.01 m，tan 38°≈0.7813)
19．在等腰直角三角形中，，，是上一点，若，求的长．
20．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．
（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE和Rt△OCD中的一个角相等？
（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，求t的值．
参考答案
1．A2．C3．A4．C5．B6．D7．C8．C9．A10．D
11．0
12．2
13．sinA＝cos B
14．
15．4
16．解析：（1）原式＝＝2；
（2）原式＝.
17．．
解析：，垂足为D
在中，
即
解得：
BC=3
CD=2
在中，
18．39.07
解析：在Rt△BAC中，∠ACB=38°．
则AB=AC•tan38°≈50×0.7813=39.065≈39.07（米）．
答：河的宽度约为39.07米．
19．AD=8
解析：如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC=10，
在Rt△BCD中，∵tan∠DBC=，
∴CD=×10=2，
∴AD=AC-CD=10-2=8．
20．（1）；（2）t=3；（3）或
解：（1）在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，
∴C（0，4），
∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），
∴B（10，4），
把B、D坐标代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2＋x＋4；
（2）由题意可设P（t，4），则E（t，t2＋t＋4），
∴PB＝10﹣t，PE＝t2＋t＋4﹣4＝t2＋t，
∵∠BPE＝∠COD＝90°，
当∠PBE＝∠OCD时，
则△PBE∽△OCD，
∴，即BP•OD＝CO•PE，
∴2（10﹣t）＝4（t2＋t），解得t＝3或t＝10（不合题意，舍去），
∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；
当∠PBE＝∠CDO时，
则△PBE∽△ODC，
∴，即BP•OC＝DO•PE，
∴4（10﹣t）＝2（t2＋t），解得t＝12或t＝10（均不合题意，舍去）
综上所述∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；
（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，
∴∠CQO＋∠AQB＝90°，
∵∠CQO＋∠OCQ＝90°，
∴∠OCQ＝∠AQB，
∴Rt△COQ∽Rt△QAB，
∴，即OQ•AQ＝CO•AB，
设OQ＝m，则AQ＝10﹣m，
∴m（10﹣m）＝4×4，解得m＝2或m＝8，
①当m＝2时，CQ＝＝，BQ＝＝，
∴sin∠BCQ＝＝，sin∠CBQ＝＝，
∴PM＝PC•sin∠PCQ＝t，PN＝PB•sin∠CBQ＝（10﹣t），
∴t＝（10﹣t），解得t＝，
②当m＝8时，同理可求得t＝，
∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或
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