天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（一）
数学（文）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
第I卷（选择题，共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
参考公式：锥体的体积公式. 其中表示锥体的底面积,表示锥体的高.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合 集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由补集的定义求得集合的补集，再利用交集的定义求解即可.
【详解】
或，
又因为,
，故选C.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足不属于集合且属于集合的元素的集合.
2.设 则“ ”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质化简；利用分式不等式的解法化简，根据包含关系以及充分条件与必要条件的定义求解即可.
【详解】，
或，
能推出或，
或不能推出，
“ ”是“”的充分而不必要条件，故选A.
【点睛】高中数学的每个知识点都可以结合充分条件与必要条件考查，要正确解答这类问题，除了熟练掌握各个知识点外，还要注意以下几点：（1）要看清 ，还是 ；（2）“小范围”可以推出“大范围”；（3） 或 成立，不能推出成立，也不能推出成立， 且 成立，即能推出成立，又能推出成立；（4）一定看清楚题文中的条件是大前提还是小前提.
3.阅读下边的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.
【详解】执行程序框图，输入，
第一次循环，；
第二次循环，；
第三次循环，；
第四次循环，，
退出循环，输出，故选C.
【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
4.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出约束条件表示的可行域，如图，
由，
将变形为，
平移直线，
由图可知当直经过点时，
直线在轴上的截距最大，
最大值，故选B.
【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5.已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若 ，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出 ，的取值范围，结合的单调性与奇偶性即可得结果.
【详解】，是偶函数，
，
，
，
，
，
，
又因为在上递减，
，
，即，故选A.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，
，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
6.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线与双曲线交于两点，且的面积为（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出抛物线焦点坐标即得椭圆焦点坐标，可得，由的面积为可得，联立两式求得的值，从而可得结果.
【详解】，
即焦点为，
即焦点为，
，①
又的面积为，
时，,，
，得，②
由①②得，，
双曲线的方程为,故选D.
【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.
7.将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象与性质列不等式，求得的取值范围
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得到函数的图象，
因为函数在区间上有且仅有一个零点，
，
，故选B.
【点睛】本题主要考查的图象与性质以及变换规律，正弦函数的零点，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于中档题.
8.已知函数， 若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
有且只有三个不相等的实数根，等价于与图象有三个交点，画出与图象，利用数形结合可得结果.
【详解】
有且只有三个不相等的实数根，
等价于与图象有三个交点，
画出与图象如图，
与相切时，
过时，，
根据图象可知，时，两图象有三个交点，
若方程有且只有三个不相等的实数解，
则实数的取值范围是，故选A.
【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、考查了函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
9.设，若是实数，则____________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，利用虚部为零可得结果.
【详解】
是实数，
，得，故答案为2.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
10.已知函数，是函数的导函数，若 ,则的值为_____________．
【答案】3
【解析】
【分析】
求出，将代入即可得结果.
【详解】，
，
，
得，故答案为3.
【点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
11.如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，且，已知四棱锥的表面积是，则它的体积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先判断四棱锥是正四棱锥，由表面积求出斜高，由勾股定理求得棱锥的高，再利用棱锥的体积公式可得结果.
【详解】
四边形是边长为的正方形，且，
是正四棱锥，
设中点为，与交与，则平面，
连接，则是四棱锥的高，
因为四棱锥的表面积是，
，
即，，
，故答案为.
【点睛】本题主要考查正棱锥的性质与应用，考查了锥体的表面积与体积，属于中档题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.
12.已知圆的圆心在第四象限，直线过圆心，且点在圆上，直线 与圆交于两点，若为等腰直角三角形，则圆的方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】
可设圆心，，圆的半径为，由为等腰直角三角形， 可得到直线的距离为，利用点到直线的距离公式与两点的距离公式列方程求出的值，从而可得结果.
【详解】圆心在，且圆心在第四象限，
可设圆心， ，圆的半径为，
为等腰直角三角形，
到直线的距离为，
，且，
解得，圆心，
所以圆的方程为，
故答案为.
【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
13.已知，函数的值域为，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.
【详解】的值域为，
，
，
，
，
当，即是等号成立，
所以的最小值为，
故答案为.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
14.在梯形中，，，，若, ，点为边上的动点 ,则的取值范围为_______.，
【答案】
【解析】
【分析】
设在上的射影为，先证明是矩形，为正三角形，，可得，以为轴，建立坐标系，设，可得，利用配方法可得结果.
【详解】
设在上的射影为，则，
，
，
又因为，所以是矩形，
是等腰三角形，又，
为正三角形，，可得，
以为轴，建立坐标系，因为，
则，
设，
则，
，
当时，有最小值；
当或时，有最大值1，
的取值范围是，故答案为.
【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．
三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.某高中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为35，28，21，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取7名同学.
（Ⅰ）应从高一年级选出参加会议的学生多少名？
（Ⅱ）设高二，高三年级抽出的7名同学分别用表示，现从中随机抽取名同学承担文件翻译工作.
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设为事件“抽取的两名同学来自同一年级”，求事件发生的概率.
【答案】（Ⅰ）5名； （Ⅱ）（i）见解析 ； （ii） .
【解析】
【分析】
(I)设高一参加会议的同学名，由可得结果；(II) （i）由分层抽样方法知，高二抽取人，高三抽取人，设高二的4人分别表示为,高三的3人分别表示为，利用列举法可得结果；（ii）由（i）知，7名同学抽取两名共有21种情况，其中抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为9，由古典概型概率公式可得结果.
【详解】(I)设高一参加会议的同学名，由已知得：，解得
高一参加会议的同学5名；
(II)（i）由已知，高二抽取人，高三抽取人，
设高二的4人分别表示为,高三的3人分别表示为
则从7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：
共21种.
（ii）抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为
共9种，
事件发生的概率为.
【点睛】本题主要考查分层抽样与古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
16.在中，分别为三个内角的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若求和的值.
【答案】（1）； （2） .
【解析】
【分析】
（1）化为，由余弦定理可得，从而可得结果；（2）由余弦定理求得，再由正弦定理求得，根据二倍角的正弦、余弦公式，结合两角差的正弦公式可得结果.
【详解】（1）由已知，得：，
由余弦定理，得：，，
即，又,所以.
（2）
，
又 ，
，
,，
.
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用以及二倍角公式的应用，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
17.如图，在多面体中，为等边三角形， ,点为边的中点.
（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求证:平面平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）.
【解析】
【分析】
(I)取中点,连结,利用三角形中位线定理可证明是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理可得结果；（Ⅱ）先证明，，可得平面
，从而可得平面，由面面垂直的判定定理可得结果；（Ⅲ）取中点,连结，直线与平面所成角等于直线与平面所成角,
过作,垂足为,连接，为直线与平面所成角，利用直角三角形的性质可得结果.
【详解】(I)
取中点,连结
，
是平行四边形，
平面，平面, 平面.
(II) ，
又 平面
平面 ，
又为等边三角形，为边的中点，
平面
由(I)可知， 平面，
平面 平面平面。
(III)
取中点,连结，
所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角,
过作,垂足为,连接.
平面平面 ,平面， 平面.
为斜线在面内的射影，为直线与平面所成角，
在中，
直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题主要考查线面平行、面面垂直的证明以及线面角的求解方法，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
18.设等比数列的前项和为，已知，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和．
【答案】（1）或 ； （2）或.
【解析】
【分析】
（1）由成等差数列可得，即，求出公比即可得结果；（2）由,可得,时，利用等差数列求和公式求解；时，,利用错位相减法，结合等比数列求和公式求解即可.
【详解】（1）设等比数列公比为,由,，
，，或,
当时，，
当时，.
（2）,,
当时，,,
当时，,
,
,
-得 ,
,所以，.
【点睛】本题主要考查等比、等差数列通项公式与求和公式的应用，考查了错位相减法，属于中档题. 一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.
19.已知函数．
（1）当时，直线与相切，求的值；
（2）若函数在内有且只有一个零点，求此时函数的单调区间；
（3）当时，若函数在上的最大值和最小值的和为1，求实数的值．
【答案】（1）； （2）单调递增区间为，,单调递减区间为； （3）.
【解析】
【分析】
（1）由求出切点坐标，代入切线方程即可得结果；（2）先证明当时不合题意，当时，根据单调性可得，要使函数在内有且只有一个零点，则须，求得，进而可得结果；（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，且,，分类讨论求出最大值与最小值，解方程即可得结果.
.
【详解】（1）,
则,所以，，
当，所以，解得.
（2），
由，得到，，
当时，在区间上恒成立，
即函数在区间上单调递增，
又因为函数的图象过点，即，
所以函数在内没有零点，不合题意，
当时，由得，即函数在区间上单调递增，
由得，即函数在区间在上单调递减，
且过点，要使函数在内有且只有一个零点，则须，
即，解得，
综上可得函数在内有且只有一个零点时，
此时函数的单调递增区间为，,单调递减区间为.
（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时函数有两个极值点，极大值为，极小值为，
且,.
①当即时，在上单调递增，在上单调递减，，
又即
所以，解得（舍）.
②当即时，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增 即，所以.
若，即时，，所以，
解得（舍）.
若，即时，，所以，
解得.
综上，.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数判断函数的单调性、求函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么
在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.
20.已知椭圆的左顶点为，离心率为，过点且斜率为的直线与椭圆交于点与轴交于点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点为的中点
（i）若轴上存在点，对于任意的，都有为原点），求出点的坐标；
（ii）射线为原点）与椭圆交于点，满足,求正数的值.
【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）（i）见解析； （ii）.
【解析】
【分析】
(I)根据椭圆的左顶点为，离心率为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（Ⅱ）（i）假设轴上存在着点使得,设 ，与椭圆方程联立，求得，利用斜率公式，结合可求得；（ii）设所在直线方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式、点到直线距离公式结合韦达定理求出，再由可得，解方程即可得结果.
【详解】(I)由已知得又 椭圆方程为：,
(II) （i）假设轴上存在着点使得,
设所在的直线方程为：，点
由解得，,
，,
，,
,
解得 轴上存在着点 使得 成立,
（ii）设所在直线方程为，则
,
到直线的距离： ,
,
即,,
解得，.
【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.
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