数学（文科）试题
一、选择题:本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数（为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简，即可得出答案.
【详解】因为，
所以复数在复平面上对应的点的坐标为，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的坐标的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数在复平面内对应的点的坐标，属于简单题目.
2.集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中所给的集合，以及交集中元素的特征，从而求得结果.
【详解】因为，
所以，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.
3.已知，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用诱导公式对式子进行化简，求得结果.
【详解】因为，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，属于简单题目.
4.是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即日均值在以下空气质量为一级，在空气量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日的（单位：)的日均值，则下列说法不正确的是（ ）
A. 这天中有天空气质量为一级
B. 从日到日日均值逐渐降低
C. 这天中日均值的中位数是
D. 这天中日均值最高的是月日
【答案】C
【解析】
【分析】
认真观察题中所给的折线图，对照选项逐一分析，求得结果.
【详解】这10天中第一天，第三天和第四天共3天空气质量为一级，所以A正确；
从图可知从日到日日均值逐渐降低，所以B正确；
从图可知，这天中日均值最高的是月日，所以D正确；
由图可知，这天中日均值的中位数是，所以C不正确；
故选C.
【点睛】该题考查的是有关利用题中所给的折线图，描述对应变量所满足的特征，在解题的过程中，需要逐一对选项进行分析，正确理解题意是解题的关键.
5.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（ ）
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等差数列通项公式和前项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.
【详解】从冬至起，日影长依次记为，
根据题意，有，
根据等差数列的性质，有，
而，设其公差为，则有，
解得，
所以冬至的日影子长为尺，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前项和的有关量的计算，属于简单题目.
6.设，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
对四个选项分别进行判断，即可得出结论.
【详解】对于A项，平行于同一平面的两条直线的位置关系可以是平行、相交、异面的，所以不正确；
对于B项，分别位于两个互相平行的平面内的两条直线可以是平行、相交、异面的，所以不
正确；
对于C项，平行于同一条直线的两个平面可以是相交的，可以是平行的，所以不正确；
对于D项，根据两个平面的法向量垂直时，两个平面是垂直的，可以得出若，，，则，所以是正确的；
故选D.
【点睛】该题考查的是有关空间关系的命题的正确性的判断问题，涉及到的知识点有线面平行、面面平行以及垂直的判定和性质定理，依次分析选项，可得答案.
7.中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
双曲线两条渐近线互相垂直,可得，解得，即为等轴双曲线，进而得到离心率.
【详解】因为双曲线两条渐近线互相垂直，
所以，解得，即为等轴双曲线，
所以，
故选D.
【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线垂直的等价结果，属于简单题目.
8.已知是的重心，若，， ，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角形的重心分中线为得的值.
【详解】因为点是的重心，
所以点分中线为，
所以，
因为，
所以，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关向量的分解问题，涉及到的知识点有三角形重心的性质，平面向量基本定理，属于简单题目.
9.函数的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据函数是奇函数，图象关于原点对称，从而排除B,C两项，再结合相应区间上的函数值的符号，排除A项，从而得到正确的结果.
【详解】根据，可知其为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B,C两项，
当时，鉴于正弦函数的有界性，可知函数值趋向于正无穷，
所以图象应落在轴的上方，所以排除A，
故选D.
【点睛】该题考查的是有关函数图象的选择问题，在解题的过程中，注意从定义域，单调性，图象的对称性，特殊点以及函数值的符号等方面入手，就可以正确选择函数的图象，属于简单题目.
10.已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果.
【详解】甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为，
所以三人中至少有一人被录取的概率为，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，关键是掌握对立事件的概率加法公式，求得结果.
11.所有棱长均为 的正四棱锥外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式求解即可.
【详解】如图，
设正四棱锥的底面中心为O，则在中，
，所以，
在中，，
所以正四棱锥的各个顶点到它的底面中心的距离都为，
所以正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径为，
所以球的表面积，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的有关问题，涉及到的知识点有正四棱锥的外接球，球的表面积公式，在解题的过程中，正确找出球心的位置是解题的关键.
12.已知定义在上的函数，对任意，有，且，时，有，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，可以判断出函数在区间上是增函数，从而得到，且根据条件得出，进而得到答案.
【详解】因为对任意，，
所以，
因为，时，有，所以函数在区间上是增函数，
因为，所以，即，
所以，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关比较函数值的大小的问题，涉及到的知识点有根据题意判断函数的单调性，函数单调性的应用，奇偶性的应用，属于简单题目.
二、填空题：本题共4小题.把答案填在答题卡中的横线上．
13.椭圆的焦距为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用椭圆的方程求出，，然后求出，即可得结果.
【详解】因为椭圆：，
所以，所以，
所以，
所以椭圆的焦距为2，
故答案为：2.
【点睛】该题考查的是有关椭圆的焦距的求解问题，涉及到的知识点有已知椭圆的方程求，椭圆中三者之间的关系，属于简单题目.
14.曲线在点处的切线斜率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在该点处的导数值，即为曲线在点处的切线的斜率.
【详解】因为，所以，
则，
所以曲线在点处的切线的斜率0.
【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线的斜率的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，求导公式，属于简单题目.
15.已知点是直线上的动点，过引圆的切线，则切线长的最小值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果.
【详解】圆的圆心为，半径为1，
要使切线长最小，则只需要点P到圆心的距离最小。
此时最小值为圆心到直线的距离，
此时切线长的最小值为，
故答案是：1.
【点睛】该题考查的是有关圆的切线长的最小值问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，切线长，圆的半径以及点到圆心的距离对应的直角三角形，在解题的过程中，注意分析得出什么时候使得切线长最短值解题的关键.
16.数列满足 ，则=_______.
【答案】
【解析】
【分析】
在满足的关系式中，设，则左式即为的前项和，由此可以利用数列的项与和的关系，求得，进一步求得，得到结果.
【详解】令，因为 ，
所以有，
，
两式相减得，所以，
故答案是：64.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列的和与项的关系，整体思维的运用，属于简单题目.
三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求的大小.
（2）若，求的面积的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由余弦函数的和角公式可求得，结合三角形内角的取值范围，可得，从而求得；
（2）利用三角形的面积公式以及（1）的结论，可得，利用基本不等式以及题中的条件，求得当且仅当时取等号，即面积的最大值为，得到结果.
【详解】（I）由得，
可得，
所以.
（II）
，
当且仅当时取等号，即面积的最大值为.
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦和角公式，已知三角函数值求角，三角形的面积公式，基本不等式，属于简单题目.
18.交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通座以下私家车投保交强险第一年的费用（基本保费）是元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：
类型
浮动因素
浮动比率
上一年度未发生有责任的道路交通事故
下浮
上两年度未发生有责任的道路交通事故
下浮
上三年度未发生有责任的道路交通事故
下浮
上一年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
上一年度发生两次及以上有责任不涉及死亡的道路交通事故
上浮
上三年度发生有责任涉及死亡的道路交通事故
上浮
据统计，某地使用某一品牌座以下的车大约有辆，随机抽取了辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：
类型
数量
以这辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率，按照我国《机动车交通事故责任保险条例》汽车交强险价格为元.
（1）求得知，并估计该地本年度使用这一品牌座以下汽车交强险费大于元的辆数；
（2）试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过元的概率．
【答案】（1）250（2）0.95
【解析】
【分析】
（1）根据样本容量可求得为，并且能够得出保费需要上浮的事故车辆为5辆，样本容量为100，根据相关公式可求得该地本年度这一品牌座以下事故车辆数为辆，得到结果；
（2）从表中可以得出该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过元对应的事件为，，，，利用公式求得结果，也可以用间接法求解.
【详解】（1）易得，估计该地本年度这一品牌座以下事故车辆数为.
(2)法1：保费不超过元的车型为，，，，所求概率为.
法2：保费超过元的车型为，，概率为，因此保费不超过元的车概率为.
【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有利用样本估计总体，应用频率近似估计概率，求某一时间发生的概率时可以用直接法，也可以用间接法，属于简单题目.
19.如图，在直三棱柱中，，，是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若异面直线与所成角为，求直三棱柱的体积.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知中的几何体为直三棱柱，，是的中点，结合直三棱柱的几何特征以及等腰三角形三线合一的性质，易得平面，
（2）根据异面直线所成角的定义，以及角的大小，求得，利用柱体的体积公式求得结果.
【详解】（1）证明：由，得，
而平面平面，平面平面，平面.
又平面，
平面平面.
（2）解：连接，由知是异面直线与所成角,
，易知是正三角形，
依题意得，，
三棱柱的体积为.
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，异面直线所成的角，柱体的体积公式，属于简单题目.
20.设定点，动圆过点且与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）设为直线上任意一点，过点作轨迹的两条切线和，证明：．
【答案】（1）（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的定义和题设中的条件可知的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，焦点到准线的距离，进而求得抛物线的方程；
（2）首先判断过点过与曲线相切的直线斜率存在，设切线方程为，与抛物线的方程联立，整理得出判别式等于0，从而求得，利用韦达定理得出，从而得到.
【详解】（1）依题意知，点的轨迹是以为焦点，
以直线为准线的抛物线，方程为
(2) 设，显然过与曲线相切的直线斜率存在，设切线方程为，
与曲线联立得，即，
依题意，即，
，分别是直线和的斜率，.
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有利用定义求曲线方程，直线与抛物线的位置关系，相切对应的条件，两直线垂直的条件，属于简单题目.
21.已知函数.
（1）当，求证；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
【分析】
（1）将代入函数解析式，之后对函数求导，得到其单调性，从而求得其最小值为，从而证得结果.
（2）通过时，时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解的取值范围，也可以构造新函数，结合函数图象的走向得到结果.
【详解】（1）证明：当时，，
得，
知在递减，在递增，
，
综上知，当时，.
（2）法1：，，即，
令，则，
知在递增，在递减，注意到，
当时，；当时，，
且，
由函数有个零点，
即直线与函数图像有两个交点，得.
法2：由得，，
当时，，知在上递减，不满足题意；
当时，，知在递减，在递增.
，
的零点个数为，即，
综上，若函数有两个零点，则.
【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，
应用导数研究函数的最值，以及研究其零点个数的问题，属于中档题目.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设过点且倾斜角为的直线和曲线交于两点，，求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）由，可得，由互化公式可得直角坐标方程；
（2）可以利用直线方程的点斜式将直线方程写出，之后与椭圆方程联立，消元利用弦长公式求得结果，也可以根据条件，写出直线的参数方程，结合参数的几何意义，求得结果.
【详解】（1）将，代入，
得曲线的直角坐标方程为.
即为曲线的直角坐标方程. 由得，
(2)法1：依题意得直线，与椭圆联立得，
即，
法2：依题意得直线，与椭圆联立得，即，
法3：依题意得直线（为参数），与椭圆联立得
，即，
【点睛】该题主要考查椭圆的极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，直线的参数方程与参数的几何意义，注意解决问题的方法不是唯一的.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数，且的解集为.
（1）求实数的值；
（2）设，， ，且，求的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）不等式，就是，求出解集，与对比，便可求出实数的值；
（2）已知，求的最大值，考虑到柯西不等式，对这个不等式进行化简即可得到答案.
【详解】（1）依题意得，即，
可得.
（2）依题意得（）由柯西不等式得，
，
当且仅当，即，，时取等号.
，，，
的最大值为
【点睛】这是一道关于绝对值不等式以及柯西不等式应用的题目，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键；细查题意可知，根据已知不等式的解集得到含绝对值的不等式是解题的突破口.
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