1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A B C D
2．(2017·山东卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.
(1)证明：A1O∥平面B1CD1；
(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.
证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，
由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，
所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，
因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C.
又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，
所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，
所以EM⊥BD，
又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以A1E⊥BD，
因为B1D1∥BD，
所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.
又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，
所以B1D1⊥平面A1EM.
又B1D1⊂平面B1CD1，
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
3.【2017江苏，15】 如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD， BC⊥BD， 平面ABD⊥平面BCD， 点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD， ，所以.
又因为平面ABC， 平面ABC，所以EF∥平面ABC.
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，
平面平面BCD=BD，
平面BCD， ，
所以平面.
因为平面，所以 .
又AB⊥AD， ， 平面ABC， 平面ABC，
所以AD⊥平面ABC，
又因为AC平面ABC，
所以AD⊥AC.
4.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
【答案】C
【解析】由题意知，．故选C．
5.【2016高考新课标2理数】 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果，那么.
（2）如果，那么.
（3）如果，那么.
（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.
其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号）
【答案】②③④
6.【2016高考浙江理数】如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .
【答案】
【解析】中，因为，所以.
由余弦定理可得，所以.设，则，.在中，由余弦定理可得.故.
在中，，.
由余弦定理可得，所以.
由此可得，将ABD沿BD翻折后可与PBD重合，无论点D在任何位置，只要点D的位置确定，当平面PBD⊥平面BDC时，四面体PBCD的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）.
过作直线的垂线，垂足为.设，则，
即，解得.
而的面积.
当平面PBD⊥平面BDC时：
四面体的体积.
观察上式，易得，当且仅当，即时取等号，同时我们可以发现当时，取得最小值，故当时，四面体的体积最大，为
7.【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
8.【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（ ）
（A）4π （B） （C）6π （D）
【答案】B
【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．
9.【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单
位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.
【答案】2
【解析】由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的一边长为2，其对应的高为1，
因此所求四棱锥的体积．故答案为2．
易错起源1、空间线面位置关系的判定
例1、(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
(2)关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是( )
A．若a∥b，b⊂α，则a∥α
B．若a∥α，b⊂α，则a∥b
C．若a∥α，b∥α，则a∥b
D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b
答案 (1)D (2)D
解析 (1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．
(2)线面平行的判定定理中的条件要求a⊄α，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，故选D.
【变式探究】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.
其中真命题的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
答案 B
【名师点睛】
解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．
【锦囊妙计，战胜自我】
空间线面位置关系判断的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；
(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．
易错起源2、空间平行、垂直关系的证明
例2、如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.
(1)证明：BC∥平面PDA；
(2)证明：BC⊥PD；
(3)求点C到平面PDA的距离．
(1)证明 因为四边形ABCD是长方形，
所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，
所以BC∥平面PDA.
(2)证明 因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面PDC，
因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.
(3)解 如图，取CD的中点E，连接AE和PE.
因为PD＝PC，所以PE⊥CD，
在Rt△PED中，PE＝＝＝.
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE⊂平面PDC，
所以PE⊥平面ABCD.
由(2)知：BC⊥平面PDC，
由(1)知：BC∥AD，
所以AD⊥平面PDC，
因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.
设点C到平面PDA的距离为h，
因为V三棱锥C—PDA＝V三棱锥P—ACD，
所以S△PDA·h＝S△ACD·PE，
即h＝＝＝，
所以点C到平面PDA的距离是.
【变式探究】如图，在四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE＝2ED.
(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；
(2)求证： PB∥平面AEC.
证明 (1)因为AD⊥CD，AD∥BC，
所以CD⊥BC，又PB⊥CD，PB∩BC＝B，
PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以CD⊥平面PBC，又CD⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PBC.
【名师点睛】
垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：
(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．
(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.
【锦囊妙计，战胜自我】
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．
易错起源3、平面图形的折叠问题
例3、如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥P—ABFED，且PB＝.
(1)求证：BD⊥PA；
(2)求四棱锥P—BFED的体积．
(1)证明 ∵点E，F分别是边CD，CE的中点，
∴BD∥EF.
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC.
∴EF⊥AC.∴EF⊥AO，EF⊥PO，
∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO＝O，
∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA，
又PA⊂平面POA，∴BD⊥PA.
(2)解 设AO∩BD＝H.连接BO，∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝4，BH＝2，HA＝2，HO＝PO＝，
在Rt△BHO中，BO＝＝，
在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，∴PO⊥BO.
∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，
∴PO⊥平面BFED，
梯形BFED的面积S＝(EF＋BD)·HO＝3，
∴四棱锥P—BFED的体积
V＝S·PO＝×3×＝3.
【变式探究】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B—AD—C，如图2.
(1)证明：平面ABD⊥平面BCD；
(2)设点E为BC的中点，BD＝2，求异面直线AE和BD所成的角的大小．
(1)证明 (1)因为折起前AD是BC边上的高，
则当△ABD折起后，AD⊥CD，AD⊥BD，
又CD∩BD＝D，则AD⊥平面BCD.
因为AD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.
(2)解 如图，取CD的中点F，连接EF，则EF∥BD，
所以∠AEF为异面直线AE与BD所成的角．
连接AF，DE，由BD＝2，则EF＝1，AD＝2，CD＝6，DF＝3.
在Rt△ADF中，AF＝＝.
在△BCD中，由题设∠BDC＝60°，
则BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos∠BDC＝28，
即BC＝2，从而BE＝BC＝，
cos∠CBD＝＝－，
在△BDE中，
DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cos∠CBD＝13，
在Rt△ADE中，AE＝＝5.
在△AEF中，cos∠AEF＝＝.
因为两条异面直线所成的角为锐角或直角，
所以异面直线AE与BD所成的角的大小为60°.
【名师点睛】
(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；
(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．
【锦囊妙计，战胜自我】
平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．
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