1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
2.【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，
即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
3.【2017浙江，2】椭圆的离心率是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，选B．
4.【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
（A） （B）（C）（D）
【答案】B
【解析】由题意得 ，选B.
5.【2017北京，理9】若双曲线的离心率为，则实数m=_________.
【答案】2
【解析】 ，所以 ，解得 .
6.【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.
【答案】
【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且， ，
而，所以，
点到直线的距离，
在中， ，代入计算得，即，
由得，
所以.
7.【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。
【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．
8.【2017课标3，理5】已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为
,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线C： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为 ，
椭圆中： ，椭圆，即双曲线的焦点为 ，
据此可得双曲线中的方程组： ，解得： ，
则双曲线 的方程为 .
故选B.
9.【2017山东，理14】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】 ，
因为 ，所以渐近线方程为.
10.【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3
（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【答案】（1）.（2）见解析。
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t， ），（t， ）.
则，得，不符合题设.
从而可设l： （）.将代入得
由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而
.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时， ，欲使l： ，即，
所以l过定点（2， ）
易错起源1、圆锥曲线的定义与标准方程
例1、(1)△ABC的两个顶点为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，则C点轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
(2)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
答案 (1)D (2)
解析 (1)∵△ABC的两顶点A(－4,0)，B(4,0)，周长为18，∴|AB|＝8，|BC|＋|AC|＝10.∵10>8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∴2a＝10,2c＝8，∴b＝3.∴椭圆的标准方程是＋＝1(y≠0)．故选D.
(2)由椭圆方程知其焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，恰分别为△ABC的顶点A和C的坐标，由椭圆定义知|BA|＋|BC|＝2a＝10，在△ABC中，由正弦定理可知，＝＝
eq \f(10,8)＝.
【变式探究】(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)抛物线y2＝4x上的两点A，B到焦点的距离之和为8，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
答案 (1)B (2)3
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义及题意知，x1＋1＋x2＋1＝8，∴x1＋x2＝6.
∴线段AB的中点到y轴的距离为3.
【名师点睛】
(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2ab>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±3x B．y＝±2x
C．y＝±(＋1)x D．y＝±(－1)x
答案 (1)－1 (2)C
解析 (1)直线y＝(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，
所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.
(2)由题意作出示意图，
易得直线BC的斜率为，cos∠CF1F2＝，
又由双曲线的定义及|BC|＝|CF2|可得
|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a，
|BF2|－|BF1|＝2a⇒|BF2|＝4a，
故cos∠CF1F2＝＝⇒b2－2ab－2a2＝0⇒()2－2()－2＝0⇒＝1＋，
故双曲线的渐近线方程为y＝±(＋1)x.
【变式探究】(1)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋
eq \r(a2＋b2)，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－，0)∪(0，) D．(－∞，－)∪ (，＋∞)
答案 (1)D (2)A
解析 (1)因为PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，
所以|PF2|＝2c·tan30°＝c，|PF1|＝c.
又|PF1|＋|PF2|＝c＝2a，所以＝＝，
即椭圆C的离心率为.
(2)由题作出图象如图所示．
由－＝1可知A(a,0)，F(c,0)．
易得B，C.
∵kAB＝＝，
∴kCD＝.
∵kAC＝＝，
∴kBD＝－.
∴lBD：y－＝－(x－c)，
即y＝－x＋＋，
lCD：y＋＝(x－c)，
即y＝x－－.
∴xD＝c＋.
∴点D到BC的距离为.
∴
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