坐标系与参数方程(带解析2018年高考理科数学易错点)
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资料简介
‎1.(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.‎ ‎2.(2016·全国卷甲)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.‎ 解析:(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).‎ 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0,‎ 于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.‎ ‎|AB|=|ρ1-ρ2|= ‎=.‎ 由|AB|=得cos2α=,tan α=±.‎ 所以l的斜率为或-.‎ ‎3.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C1的方程为ρ(ρ-4sinθ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.‎ ‎(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)直线l与直线C2交于A,B两点,若|AB|≥2,求实数a的取值范围.‎ 解析:(1)根据题意,得 曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-4y=12,‎ 设点P(x′,y′),Q(x,y),‎ 根据中点坐标公式,得 代入x2+y2-4y=12,‎ 得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x-3)2+(y-1)2=4,‎ ‎(2)直线l的直角坐标方程为y=ax,根据题意,得圆心(3,1)到直线的距离d≤=1,即≤1,解得0≤a≤.‎ ‎∴实数a的取值范围为.‎ ‎4.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.‎ 解析:(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);‎ 消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).‎ 设P(x,y),由题设得 消去k得x2-y2=4(y≠0),‎ 所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).‎ ‎5.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A、B两点,|AB|=,求l的斜率.‎ 解 (1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).‎ 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.‎ 于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.‎ ‎|AB|=|ρ1-ρ2|= ‎=.‎ 由|AB|=,得cos2α=,tanα=±.‎ 所以l的斜率为或-.‎ ‎6.已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρ·sin-4=0,求圆C的半径.‎ 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.‎ 圆C的极坐标方程为 ρ2+2ρ-4=0,‎ 化简,得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,‎ 即(x-1)2+(y+1)2=6,‎ 所以圆C的半径为.‎ ‎7.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,求AB的长.‎ ‎8.在直角坐标系中圆C的参数方程为 (α为参数),若以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程.‎ 解 由参数方程消去α得圆C的方程为x2+(y-2)2=4,将x=ρcosθ,y=ρsinθ,‎ 代入得(ρcosθ)2+(ρsinθ-2)2=4,整理得ρ=4sinθ.‎ ‎9.已知曲线C:(θ为参数),直线l:ρ(cosθ-sinθ)=12.‎ ‎(1)将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程;‎ ‎(2)设点P在曲线C上,求P点到直线l的距离的最小值.‎ 解 (1)依题意可得直线l的直角坐标方程为x-y-12=0,曲线C的普通方程为+=1.‎ ‎(2)设P(3cosθ,sinθ),‎ 则点P到直线l的距离 d==,‎ 故当cos(θ+)=1时,dmin=3.‎ 易错起源1、极坐标与直角坐标的互化 例1、在极坐标系中,曲线C1:ρ(cosθ+sinθ)=1与曲线C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,求a的值.‎ ‎【变式探究】在以O为极点的极坐标系中,直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+)=3和ρsin2θ=8cosθ,直线l与曲线C交于点A、B,求线段AB的长.‎ 解 ∵ρcos(θ+)=ρcosθcos-ρsinθsin ‎=ρcosθ-ρsinθ=3,‎ ‎∴直线l对应的直角坐标方程为x-y=6.‎ 又∵ρsin2θ=8cosθ,∴ρ2sin2θ=8ρcosθ.‎ ‎∴曲线C对应的直角坐标方程是y2=8x.‎ 解方程组,‎ 得或,‎ 所以A(2,-4),B(18,12),‎ 所以AB==16.‎ 即线段AB的长为16.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.‎ ‎(2)在与曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,要注意转化的等价性.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.如图,‎ 设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则,.‎ 易错起源2、参数方程与普通方程的互化 例2、在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin=m(m∈R).‎ ‎(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.‎ 解 (1)消去参数t,得到圆C的普通方程为 ‎(x-1)2+(y+2)2=9.‎ 由ρsin=m,‎ 得ρsinθ-ρcosθ-m=0.‎ 所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.‎ ‎(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即=2,‎ 解得m=-3±2.‎ ‎【变式探究】已知直线l的参数方程为(t为参数),P是椭圆+y2=1上的任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法,加减消参法,平方消参法等.‎ ‎(2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若x、y有范围限制,要标出x、y的取值范围.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ ‎1.直线的参数方程 过定点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎2.圆的参数方程 圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数,0≤θ≤2π).‎ ‎3.圆锥曲线的参数方程 ‎(1)椭圆+=1的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(2)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数).‎ 易错起源3、极坐标、参数方程的综合应用 例3、在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,曲线C3:ρ=2cosθ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标;‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.‎ 解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.‎ 联立 解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.‎ 因此A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2cosα,α).‎ 所以|AB|=|2sinα-2cosα|=4.‎ 当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.‎ ‎【变式探究】在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.‎ ‎(1)写出⊙C的直角坐标方程;‎ ‎(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.‎ 解 (1)由ρ=2sinθ,‎ 得ρ2=2ρsinθ,从而有x2+y2=2y,‎ 所以x2+(y-)2=3.‎ ‎(2)设P,又C(0,),‎ 则|PC|==,‎ 故当t=0时,|PC|取得最小值,‎ 此时,P点的直角坐标为(3,0).‎ ‎【名师点睛】‎ ‎ (1)利用参数方程解决问题,要理解参数的几何意义.‎ ‎(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题,将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程,有助于对方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等.‎

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