1．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
2．(2016·全国卷甲)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
解析：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝
＝.
由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.
所以l的斜率为或－.
3．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ－4sinθ)＝12，定点A(6,0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．
(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．
解析：(1)根据题意，得
曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝12，
设点P(x′，y′)，Q(x，y)，
根据中点坐标公式，得
代入x2＋y2－4y＝12，
得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4，
(2)直线l的直角坐标方程为y＝ax，根据题意，得圆心(3,1)到直线的距离d≤＝1，即≤1，解得0≤a≤.
∴实数a的取值范围为.
4．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
解析：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)，
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
5．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A、B两点，|AB|＝，求l的斜率．
解 (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝
＝.
由|AB|＝，得cos2α＝，tanα＝±.
所以l的斜率为或－.
6．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ·sin－4＝0，求圆C的半径．
解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为
ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，
所以圆C的半径为.
7．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，求AB的长．
8．在直角坐标系中圆C的参数方程为 (α为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程．
解 由参数方程消去α得圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
代入得(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，整理得ρ＝4sinθ.
9．已知曲线C：(θ为参数)，直线l：ρ(cosθ－sinθ)＝12.
(1)将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；
(2)设点P在曲线C上，求P点到直线l的距离的最小值．
解 (1)依题意可得直线l的直角坐标方程为x－y－12＝0，曲线C的普通方程为＋＝1.
(2)设P(3cosθ，sinθ)，
则点P到直线l的距离
d＝＝，
故当cos(θ＋)＝1时，dmin＝3.
易错起源1、极坐标与直角坐标的互化
例1、在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，求a的值．
【变式探究】在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ＋)＝3和ρsin2θ＝8cosθ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长．
解 ∵ρcos(θ＋)＝ρcosθcos－ρsinθsin
＝ρcosθ－ρsinθ＝3，
∴直线l对应的直角坐标方程为x－y＝6.
又∵ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ.
∴曲线C对应的直角坐标方程是y2＝8x.
解方程组，
得或，
所以A(2，－4)，B(18,12)，
所以AB＝＝16.
即线段AB的长为16.
【名师点睛】
(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．
(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
【锦囊妙计，战胜自我】
直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，
设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则，.
易错起源2、参数方程与普通方程的互化
例2、在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)．
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
解 (1)消去参数t，得到圆C的普通方程为
(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
由ρsin＝m，
得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.
(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即＝2，
解得m＝－3±2.
【变式探究】已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．
【名师点睛】
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x、y有范围限制，要标出x、y的取值范围．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．直线的参数方程
过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．
2．圆的参数方程
圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．
3．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)．
易错起源3、极坐标、参数方程的综合应用
例3、在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：ρ＝2cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立
解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.
因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α)．
所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
【变式探究】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
解 (1)由ρ＝2sinθ，
得ρ2＝2ρsinθ，从而有x2＋y2＝2y，
所以x2＋(y－)2＝3.
(2)设P，又C(0，)，
则|PC|＝＝，
故当t＝0时，|PC|取得最小值，
此时，P点的直角坐标为(3,0)．
【名师点睛】
(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．
(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．
【锦囊妙计，战胜自我】
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
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