河北省张家口市、沧州市2019届高三3月高考模拟联考（A）文科数学试卷Word版含解析.doc

河北省张家口市、沧州市2019届高三普通高等学校招生全国统一模拟考试3月联考文科数学A类试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由且求出，再和集合求交集即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，又 所以.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可求解，属于基础题型.‎ ‎2.复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数模的运算法则可知，据此确定复数的模即可.‎ ‎【详解】由复数模的运算法则可得：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的模的运算法则及其应用，属于基础题.‎ ‎3.随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机，对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，“低头族”由此而来.为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包括老、中、青三个年龄段的人中采取分层抽样的方法抽取人进行调查，已知这人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里老年人人数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知老年人所占的比例为，据此求解老年人的人数即可.‎ ‎【详解】由题意结合分层抽样的定义可知，‎ 这个群体里老年人人数为.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查统计图表的识别与应用，属于基础题.‎ ‎4.已知直线和平面，则是与异面的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，若直线b不在平面内，则b与相交或，充分性不成立，反之，若与异面，一定有直线b不在平面内，据此即可得到正确的结论.‎ ‎【详解】由题意，若直线b不在平面内，则b与相交或，不一定有与异面，‎ 反之，若与异面，一定有直线b不在平面内，即是与异面的必要不充分条件.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面关系有关命题及其应用，充分必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5.已知=（-1，1），||=，|+2|=，则向量与的夹角为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题中条件先求出向量与的数量积，再由 即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，又，‎ 所以，因此，‎ 所以，因此向量与的夹角为.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，根据向量的数量积运算，即可求解，属于基础题型.‎ ‎6.若变量满足则使取得最小值的最优解为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先绘制不等式组表示的平面区域如图所示，然后结合目标函数的几何意义确定使取得最小值的最优解即可 ‎【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，‎ 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值，‎ 联立直线方程：，可得点的坐标为：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎7.已知等比数列的公比为且成等差数列，若，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由等比数列的公比为且成等差数列，求出首项，得出通项公式，进而可得出结果.‎ ‎【详解】因为等比数列的公比为且成等差数列，‎ 所以，即，解得，‎ 所以，所以,‎ 又，因此，所以，解得.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式即可，属于基础题型.‎ ‎8.已知函数，且满足，则的取值范围为（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的解析式易知函数为偶函数，且函数在区间上单调递减，据此脱去f符号求解不等式的解集即可.‎ ‎【详解】由函数的解析式易知函数为偶函数，‎ 且当时，，故函数在区间上单调递减，‎ 结合函数为偶函数可知不等式即，‎ 结合偶函数的单调性可得不等式，‎ 求解绝对值不等式可得的取值范围为.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．‎ ‎9.为双曲线的左焦点，圆与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设，其中，由斜率公式可得，由直线垂直的充分必要条件可知：，据此可得，然后结合双曲线的离心率公式求解离心率即可.‎ ‎【详解】不妨设，其中，‎ 由于，故，‎ 由于双曲线的渐近线方程为，‎ 结合直线垂直的充分必要条件可知：，‎ 据此可得：，整理可得，‎ 据此可知：，，‎ 双曲线的离心率.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎10.中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡直径为，…，执行如下程序框图，则输出的中最大的一个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，结合等差数列的通项公式可得，由均值不等式的结论即可确定输出的中最大的一个数.‎ ‎【详解】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，‎ 由等差数列通项公式有：，且易知恒成立，则：‎ ‎，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 综上可得，输出的中最大的一个数为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：‎ ‎(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．‎ ‎(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证．‎ ‎11.已知函数，若函数在上只有三个零点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数化简整理，再由得到其非负根中较小的几个根，再根据函数在上只有三个零点，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 令得，‎ 所以或，‎ 即或，则或，‎ 则非负根中较小的有：；‎ 因为函数在上只有三个零点，‎ 所以，解得.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，熟记三角函数性质即可，属于常考题型.‎ ‎12.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的所有棱长之和为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由三视图还原几何体，再求出各边长度即可.‎ ‎【详解】由三视图还原几何体如下，三棱锥即为该几何体.‎ 又由三视图可知，底面是等腰直角三角形，三棱锥的高为2，‎ 所以，，，‎ 因此该三棱锥的所有棱长之和为.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图还原几何体即可，属于基础题型.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.已知，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由求出，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查对数和指数的运算，熟记运算性质即可，属于基础题型.‎ ‎14.高三某宿舍共人，在一次体检中测得其中个人的体重分别为（单位：千克），其中一人因故未测，已知该同学的体重在千克之间，则此次体检中该宿舍成员体重的中位数为的概率为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将测过体重的七人体重数据排序，得到此次体检中该宿舍成员体重的中位数为时，未测体重同学体重的范围，再由该同学的体重区间，即可求出结果.‎ ‎【详解】将七个人的体重按顺序排列如下：，若此次体检中该宿舍成员体重的中位数为，只需未测体重的同学体重要小于等于55，‎ 又该同学的体重在千克之间，‎ 所以此次体检中该宿舍成员体重的中位数为的概率为.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查与长度有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.‎ ‎15.直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线与曲线有两个公共点可得方程有两不等实根，即有两不等实根，令，求出函数的值域即可.‎ ‎【详解】因为直线与曲线有两个公共点，所以方程有两不等实根，即有两不等实根，令，则与函数有两不同交点，因为，所以由得；由得或；因此函数在和上单调递减，在上单调递增，作出函数的简图大致如下：‎ 因为；又与函数有两不同交点，所以由图像可得，只需.故答案为 ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，只需将函数有交点的问题，转化为方程有零点来处理即可，属于常考题型.‎ ‎16.抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与以为圆心且过原点的圆相切于点，直线交直线于点，交抛物线于两点（在之间），则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由过点的直线与以为圆心且过原点的圆相切于点，直线交直线于点，求出的长，再由直线的方程与抛物线方程联立，求出点坐标，求出的长，进而可求出的长，即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意可得，因为过点的直线与以为圆心且过原点的圆相切于点，所以 ‎，，所以在直角三角形中，可得，；因此直线的方程为；‎ 又直线交直线于点，所以，因此；‎ 又联立得，整理得，‎ 解得或，因为在之间且，所以，因此，即,‎ 又,‎ 所以，所以，‎ 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查抛物线的简单应用，熟记抛物线的性质即可，属于常考题型.‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ ‎17.如图，的内角的对边分别为为线段上一 点，的面积为.‎ 求：（1）的长；‎ ‎（2）的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，结合余弦定理先求出，进而可得，再由三角形面积公式即可求出结果；‎ ‎（2）根据正弦定理求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）由，可知 从而 ‎ 由 ‎（2）‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.‎ ‎18.高考改革是教育体制改革中的重点领域和关键环节，全社会极其关注.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“”模式初露端倪.其中“”指必考科目语文、数学、外语，“”指考生根据本人兴趣特长和拟报考学校及专业的要求，从物理、化学、生物、历史、政治、地理六科中选择门作为选考科目，其中语、数、外三门课各占分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.假定省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体 的，以此赋分分、分、分、分.为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，省某高中高一（）班（共人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排名，每名学生选三科计算成绩），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分分）频率分布直方图，化学成绩（满分分）茎叶图如下图所示，小明同学在这次考试中物理分，化学多分.‎ ‎（1）求小明物理成绩的最后得分；‎ ‎（2）若小明的化学成绩最后得分为分，求小明的原始成绩的可能值；‎ ‎（3）若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率.‎ ‎【答案】(1)70分 (2) (3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出此次考试物理成绩落在内的频率，再由小明的物理成绩即可得出结果；‎ ‎（2）根据选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体的，以此赋分分、60分、50分、40分，结合茎叶图中数据，即可得出结果；‎ ‎（3）先记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为，用列举法列举出小明的所有可能选法，再列举出小明此次考试选考科目包括化学的选法，基本事件的个数之比就是所求概率.‎ ‎【详解】解：（1） ，‎ 此次考试物理成绩落在内的频率依次为，概率之和为 小明的物理成绩为分，大于分.‎ 小明物理成绩的最后得分为分.‎ ‎（2）因为40名学生中，赋分分的有人，这六人成绩分别为89,91,92,93,93,96；赋分分的有人,其中包含80多分的共10人，70多分的有4人，分数分别为；因为小明的化学成绩最后得分为分，且小明化学多分，所以小明的原始成绩的可能值为；‎ ‎（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为，小明的所有可能选法有：‎ ‎ ‎ 共种，其中包括化学的有共种，‎ 若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图与茎叶图，以及古典概型，熟记古典概型的概率计算公式即可求解，属于常考题型.‎ ‎19.如图，在三棱台ABC-A1B‎1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，上、下底面的面积之比为1：4，侧面A1ABB1⊥底面ABC，并且A‎1A=A1B1，∠AA1B=90°．‎ ‎（1）平面A‎1C1B∩平面ABC=l，证明：A‎1C1∥l；‎ ‎（2）求四棱锥B-A1ACC1的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）三棱台中上底面与下底面是平行的，即平面A1B‎1C1∥平面ABC，再由面面平行的性质定理可以得到；‎ ‎（2） 取AB中点O，连接CO，则CO⊥AB，由面面垂直的性质可得CO⊥平面A1ABB1，由已知求得上底面边长，然后利用等积法求四棱锥B-A1ACC1的体积．‎ ‎【详解】（1）证明：如图，∵平面A1B‎1C1∥平面ABC，‎ 且平面A‎1C1B∩平面ABC=l，A‎1C1B∩平面A1B‎1C1=A‎1C1，‎ ‎∴A‎1C1∥l；‎ ‎（2）解：∵底面ABC是等边三角形，取AB中点O，‎ 连接CO，则CO⊥AB，‎ ‎∵面A1ABB1⊥底面ABC，且面A1ABB1∩底面ABC=AB，‎ ‎∴CO⊥平面A1ABB1，连接A‎1C，‎ 在三棱台ABC-A1B‎1C1中，‎ ‎∵上、下底面的面积之比为1：4，∴AB=‎2A1B1，‎ 由AB=2，得CO=，A1B1=1，则A‎1A=A1B1=1，‎ 又∠AA1B=90°，∴，‎ 则，‎ ‎∴=；‎ 由AC=‎2A‎1C1，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴四棱锥B-A1ACC1的体积．‎ ‎【点睛】本题考查面面平行的性质，使用定理证明立体几何问题时，要注意将定理条件写全；复杂的几何体体积问题往往可以使用“割补法”来解决，还可以利用等积法求多面体的体积．‎ ‎20.如图，菱形的面积为，斜率为的直线交轴于点，且，以线段为长轴，为短轴的椭圆与直线相交于两点（与在轴同侧）.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求证：与的交点在定直线上.‎ ‎【答案】（1）（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组可得，据此确定椭圆方程即可；‎ ‎（2）易得，设直线与椭圆联立可得，求得直线的方程和的方程，联立方程确定交点坐标即可证得题中的结论.‎ ‎【详解】（1）设 ‎ 解得 椭圆方程为 ‎（2）易得，设直线与椭圆联立，得 由得，设，‎ 直线的方程为 ①‎ 直线的方程为x ②‎ 联立①②消去，得 从而命题得证 ‎【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论在上的单调性；‎ ‎（2）函数在上单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，分别讨论和即可得出结果；‎ ‎（2）由在上单调递增推出在上恒成立，即，构造函数，由导数的方法研究其单调性即可得出结果.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎①即时，在上单调递增；‎ ‎②即时，令，得，‎ 在上，在上,‎ 在上单调递减，在上单调递增.‎ 综上：当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）在上单调递增 在上恒成立 令 ，‎ 由（1）知，在上为增函数，‎ 当，即时，在上为增函数，‎ ‎，得，‎ 的取值范围为.‎ 当，即时，使 在上为减函数，在上为增函数，而 ‎，使得成立，舍去，‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要用导数的方法研究函数的单调性和最值等，属于常考题型.‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ（1-cos2θ）=8cosθ，直线ρcosθ=1与曲线C相交于M，N两点，直线l过定点P（2，0）且倾斜角为α，l交曲线C于A，B两点．‎ ‎（1）把曲线C化成直角坐标方程，并求|MN|的值；‎ ‎（2）若|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，求直线l的倾斜角α．‎ ‎【答案】（1）y2=4x,4（2）α=或α=‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x，由ρcosθ=1得x=1，联立直线与抛物线解得M，N的坐标后可求得|MN|； ‎ ‎（2）因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，∴|PA||PB|=|MN|2=16，联立直线l的参数方程与抛物线，根据参数的几何意义可得．‎ ‎【详解】解：（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，‎ ‎∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x．‎ 由ρcosθ=1得x=1，‎ 由的M（1，2），N（1，-2），∴|MN|=4．‎ ‎（2）直线l的参数方程为：(t为参数)，联立直线l的参数方程与曲线C：y2=4x，‎ 得t2sin2α-4tcosα-8=0，‎ 设A，B两点对应的参数为t1，t2，‎ 则t1+t2=，t1t2=-，‎ 因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，‎ ‎∴|PA||PB|=|MN|2=16，‎ ‎∴|t1||t2|=16，∴|t1t2|=16，‎ ‎∴=16，∴sin2α=， ‎ ‎∵0≤α＜π，‎ ‎∴sinα=，‎ ‎∴α=或α=．‎ ‎【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，极坐标方程与普通方程转化的公式为；在解决直线与抛物线相交的问题时，有时利用直线参数方程的几何意义能优化运算过程，解题时应灵活应用。‎ ‎23.已知.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，求实数的最大值.‎ ‎【答案】(1) 或 (2) 最大值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得 ，分类讨论求解不等式的解集即可；‎ ‎（2）原问题等价于恒成立，考查函数的性质确定实数m的最大值即可.‎ ‎【详解】（1） ‎ 或或 得或无解或.‎ 所以不等式的解集为或.‎ ‎（2）恒成立恒成立 令 ‎ 结合二次函数的性质分析可知，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎.‎ 实数的最大值为.‎ ‎【点睛】绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎