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2019年高考模拟考试试题
文科数学
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，，则在复平面上复数对应的点位于（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的女学生人数为
A．24 B．16 C．12 D．8
4．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是函数的极小值点，则（ ）
A．-16 B．16 C．-2 D．2
7．已知菱形的边长为2，，点，分别为，的中点，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
8．设当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，若沿点，连线折成如图所示的多面体，使平面，则该多面体的正视图的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，长方体中，，，点分别是， ，的中点，则异面直线与所成的角是
A． B． C． D．
11．如图，点在圆上，且点位于第一象限，圆与正半轴的交点是，点的坐标为，，若 则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数.若，则__________．
14．若实数，满足约束条件，设的最大值与最小值分别为，，则__________．
15．过原点作圆的两条切线，则两条切线所成的锐角是_________.
16．在中，角、、所对的边分别边、、，若，，则的取值范围是__．
三、解答题：共70分。解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．在数列中，，且
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的前n项和。
18．在三棱锥中，平面平面，，．设D，E分别为PA，AC中点．
（Ⅰ）求证：平面PBC；
（Ⅱ）求证：平面PAB；
（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．
19．为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：
服务时间
超过1小时
服务时间
不超过1小时
男
20
8
女
12
m
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将表格补充完整，并判断能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
服务时间
超过1小时
服务时间
不超过1小时
合计
男
20
8
女
12
m
合计
（Ⅲ）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.
附：
20．已知为抛物线：的焦点，过的动直线交抛物线于，两点．当直线与轴垂直时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线，，的斜率成等差数列，求点的坐标．
21．已知函数的图象在点处的切线与直线平行.
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若对于，，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）
在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），.
以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（I）写出曲线与圆的极坐标方程；
（II）在极坐标系中，已知射线分别与曲线及圆相交于，当时，求的最大值.
23．[选修4-5：不等式选讲] （10分）
已知函数，.
(Ⅰ)当，求不等式的解集；
(Ⅱ)若函数满足，且恒成立，求的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合，解不等式求得集合，然后求两个集合的交集.
【详解】
由，解得；由，解得，故.故选A.
【点睛】
本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则化简z，再利用复数的几何意义即可得出结论．
【详解】
由题知，则在复平面上复数对应的点为（1，-2），
位于第四象限，
故选A.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
3．D
【解析】
【分析】
根据题意现算出二年级女生的人数，得到三年级女生的人数，再利用分层抽样的方法抽取，即可得到答案.
【详解】
由题意，抽到二年级女生的概率是0.19，所以二年级的女生人数为人，
所以三年级女生的人数为人，
现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，在三年级抽取的女学生人数为人，
故选D.
【点睛】
本题主要考查了简单的随机抽样与分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
4．B
【解析】
【分析】
由题意可得，利用“乘1”与均值不等式可得结果.
【详解】
∵双曲线和椭圆有相同的焦点，
∴
∴
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值为3
故选：B
【点睛】
本题考查了圆锥曲线的简单几何性质，考查了均值不等式的应用，考查了转化能力与计算能力，属于中档题.
5．C
【解析】
【分析】
由于题意可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求得底面的半径r，求出底面圆的面积，即可求解表面积．
【详解】
∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°半径为3的扇形
∴圆锥的母线长为l＝3，底面周长即扇形的弧长为3＝2π，
∴底面圆的半径r＝1，可得底面圆的面积为π×r2＝π，
圆锥的表面积为：4π．
故选C．
【点睛】
本题考查弧长公式及旋转体的表面积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力．
6．D
【解析】
【分析】
可求导数得到f′（x）＝3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．
【详解】
∵f（x）＝3x2﹣12；
∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；
∴x＝2是f（x）的极小值点；
又a为f（x）的极小值点；
∴a＝2．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数极小值点的定义，考查了根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，属于基础题．
7．D
【解析】
【分析】
先确定一组基底，利用向量加法运算法则，用这对基底把表示出来，然后进行数量积计算。
【详解】
点为的中点 所以;
点F为CD的中点，所以,
=
=
因为菱形的边长为2,所以,又因为，运用数量积公式，可求＝＝＝
=故本题选D。
【点睛】
本题考查了向量的数量积运算、向量的加法运算、菱形的几何性质。
8．D
【解析】
【分析】
先化简已知得f(x)=，再利用三角函数的图像和性质分析函数的最值和此时的值.
【详解】
由题得f(x)=,
其中
当，即时，函数取到最大值.
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9．A
【解析】
【分析】
由图及条件可证，可得AB，由此可求正视图的面积.
【详解】
由题意，得，，由平面，得，
所以，
∴所求多面体的的正视图的面积为．故选A.
【点睛】
本题考查了折叠体问题，考查了三视图的知识及空间线面、线线位置关系，属于基础题.
10．A
【解析】
【分析】
由题意：E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，FB1，那么∠FGB1或其补角就是异面直线A1E与GF所成的角．
【详解】
由题意：ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，
∵A1E∥B1G，
∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角或其补角．
连接FB1，
在三角形FB1G中，AA1＝AB＝2，AD＝1，
B1F
B1G，
FG，
B1F2＝B1G2+FG2．
∴∠FGB1＝90°，
即异面直线A1E与GF所成的角为90°．
故选：A．
【点睛】
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
11．A
【解析】
【分析】
直接利用两点间的距离公式求出半径，再写出A的坐标,由A，B的坐标，利用两点间的距离公式即可解得-6sinα+8cosα=5，结合+=1，即可解得的值．
【详解】
半径r＝|OB|1，
由三角函数定义知，点A的坐标为（cosα，sinα）；
∵点B的坐标为（，），|BC|，
∴，
∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又+=1，
∴解得sin或，又点位于第一象限，∴0
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