2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（ ）
A. {1，2，3} B. {1，6，9} C. {1，6} D. {3}
【答案】D
【解析】
【分析】
先分别求出集合A，B，C，由此能求出．
【详解】集合2，3，6，，
6，9，18，，
2，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为 ，，标准差分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，从而得到，．
【详解】由条形统计图得到：
在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，
甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，
设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，
标准差分别为，，
则，．
故选：A．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．
【详解】由题意可得，，
，，，
则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
4.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
∵
∴−−=3(−−)；
∴=−−.
故选：C.
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5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（ ）
A. 18 B. 20 C. 21 D. 25
【答案】C
【解析】
由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织 尺布，则 ，解得 ，所以 ，故选C.
6.如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（ ）
A. f（x）＝sinx B. f（x）＝ex C. f（x）＝x3﹣3x D. f（x）＝x|x|
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，不等式等价为，即
满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．
【详解】根据题意，对于所有的不相等实数，，则恒成立，
则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，
则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，
据此依次分析选项：
对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；
对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；
对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．
7.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（ ）
A. B. 25 C. D. 31
【答案】B
【解析】
【分析】
将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．
【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示；
在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．
由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为，
所以矩形的长等于，宽等于7，
由勾股定理求得．
故选：B．
【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法．
8.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，不等式f（）+f（）＞f（）+f（）等价为（﹣）[f（）﹣f（）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．
【详解】将函数的图象向右平移 个单位，再向上平移一个单位，
得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，
故g（x）的最大值为2，最小值为0，
若g（）g（）＝4，则g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．
故有 g（）＝g（）＝2，即 cos2＝cos2＝﹣1，
又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，
则应有 2＝3π，2＝﹣3π，
故 ﹣2取得最大值为+3π＝．
故选：A．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．
9.已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：方法一：如图，连接AC，BC，设，连接PC与AB交于点D，，是等边三角形，∴D是AB的中点，，∴在圆C：中，圆C的半径为，
，，∴在等边中，，
，故选C．
方法二：设，
则，记，令 ，得，
，故选C．
考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值．
【思路点睛】法一、先由为等腰三角形，得出D为中点，再由为等边三角形，得出，
在中，将和用表示，从而求出的值，得到的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD的长x，根据已知条件表示出，再利用导数求出函数的最值．
10.抛物线x2＝ y在第一象限内图象上的一点（ai，2ai2）处的切线与x轴交点的横坐标记为ai+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（ ）
A. 64 B. 42 C. 32 D. 21
【答案】B
【解析】
试题分析：，∴，∴过点的切线方程为，令，得，可得，又，所以．
考点：1．导数的几何性质；2．等比数列．
11.已知双曲线 的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
设P为直线与的交点，则OP为的中位线，求得到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．
【详解】
，直线是线段的垂直平分线，
可得到渐近线的距离为，
且，，，可得，
即为，即，
可得．
故选：C．
【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
12.已知函数 ，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根据条件作出函数f（x）与h（x）的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．
【详解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，
当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，
则等价为f（x）＝，
当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，
当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝ [﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，
作出f（x）的图象如图，
则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，
设h（x）＝ ，
则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），
作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，
即函数g（x）的零点个数为3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13.已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．
【详解】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得，
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．
14.已知实数x，y满足约束条件 ，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为_____．
【答案】[0，11]
【解析】
【分析】
作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．
【详解】作出实数x，y满足约束条件的可行域，如图所示：作直线l0：﹣5x+y＝0，
再作一组平行于l0的直线l：﹣5x+y＝z，
当直线l经过点A时，z＝﹣5x+y取得最大值，由，
得点A的坐标为（﹣2，0），所以zmax＝﹣5×（﹣2）+0＝10．
直线经过B时，目标函数取得最小值，由，
解得B（2，﹣1）
函数的最小值为：﹣10﹣1＝﹣11．
z＝|﹣5x+y|的取值范围为：[0，11]．
故答案为：[0，11]．
【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．
15.在 的展开式中，常数项为_____．
【答案】-40
【解析】
【分析】
根据，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．
【详解】解：∵（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•6•）（x﹣2），
∴常数项是 20•（﹣2）＝﹣40，
故答案为：﹣40．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
16.如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．
【答案】2π
【解析】
【分析】
设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．
【详解】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；
则h2+r2＝R2＝3；
所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；
则V′（h）＝π（3﹣3h2），
令V′（h）＝0，解得h＝1；
所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；
h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；
所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．
故答案为：2π．
【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值．
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．
利用的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．
【详解】在的内角A，B，C的对边分别为，且．
整理得：，
利用正弦定理得：，
即：，
由于：，
解得：．
由于，
所以：，
整理得：，
所以：．
当且仅当时，的面积有最小值.
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18.如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．
（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；
（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处；
（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D
的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．
【详解】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，
以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设OA＝x，则OF＝2x，OE，
∴B（2，2x，0），E（，0，0），
A（0，0，x），C（﹣2，2x，0），
（﹣2，2x，﹣x），
（2，x﹣2，0），
∵异面直线BE与AC垂直，
∴8＝0，
解得x（舍）或x，
∴，
∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．
证明：（2）平面ADE的法向量（0，1，0），
（，0，﹣x），（2，x﹣2，0），
设平面ABE的法向量（a，b，c），
则，取a＝1，得（1，，），
设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，
则cosθ，
∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．
【点睛】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．
19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图
（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；
①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；
②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？
参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．
【答案】（1）见解析；（2）①0.9544，②863200．
【解析】
【分析】
（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；
（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；
（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；
②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．
【详解】（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：
质量指标值的样本平均数为：
＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．
质量指标值的样本方差为
S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．
（2）①由（1）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；
②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，
该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．
【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．
20.已知椭圆C过点 ，两个焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．
【答案】（1） ；（2）9
【解析】
【分析】
（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．
【详解】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），
且c，2a12，
则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．
∴椭圆C的标准方程为；
（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，
得|AB|，
由|AB|6，解得m＝±3，
此时；
当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，
联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．
△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．
设A（，），B（，），
则，．
由|AB|6，
整理得：，原点O到AB的距离d．
∴
．
当时，△AOB面积有最大值为9．
综上，△AOB面积的最大值为9．
【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
21.已知函数f（x）＝ex﹣有两个极值点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．
【答案】（1）（e，+∞）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）f′（x）＝ex﹣ax．函数f（x）＝ex有两个极值点⇔f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．
（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为，x2，不妨设＜，+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．
【详解】（1）解：f′（x）＝ex﹣ax．
∵函数f（x）＝ex有两个极值点．
∴f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根．
x＝0时不满足上述方程，
方程化为：a，
令g（x），（x≠0）．
g′（x），
可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
a＞e时，方程f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根．
∴实数a的取值范围是（e，+∞）．
（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．
证明：+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，
由，因此即证明：．
构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．
h′（x）（x﹣1），
令函数u（x），（0＜x）．
u′（x）．
可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）在（0，1）内单调递减．
v（x）≥v（1）＝0．
∴x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝0．
∴h（x）＞h（1）＝0．
∴．
因此+＞2成立．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝ ，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．
（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．
【答案】（1）曲线C：y2＝4x，顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）8
【解析】
【分析】
（1）利用即可得出直角坐标方程；
（2）直线l的参数方程（ t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2＝0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|即可得出．
【详解】（1）曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，
得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，
故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；
（2）直线l的参数方程为（ t为参数，0≤α＜π）．
故l经过点（0，1）；
若直线l经过点（1，0），则，
∴直线l的参数方程为（t为参数）．
代入y2＝4x，得t+2＝0
设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣6，t1t2＝2．
|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝8．
【点睛】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．
23.已知函数f（x）＝ 的定义域为R．
（Ⅰ）求实数m的取值范围．
（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值．
【答案】(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)
【解析】
试题分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；
（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．
试题解析：
(Ⅰ)由题意可知：＋－m≥0对任意实数恒成立．
设函数g(x)＝＋，则m不大于函数g(x)的最小值．
又＋≥＝4.即g(x)的最小值为4，所以m≤4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，
∴7a＋4b＝＝
＝≥＝.
当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
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