淄博实验中学高三年级第二学期第一次诊断考试试题 2019.04
数学（文）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。
【详解】因为复数是纯虚数，
所以，解得：，
所以复数可化为，
所以复数在复面上对应的点的坐标为.
故选：D
【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。
2.已知集合若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。
【详解】由得：或.
所以集合.
由得：.
又，所以（舍去）或.
故选：B
【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。
3.如图是为了求出满足的最小偶数，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】D
【解析】
由题意，因为，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入，故填，又要求为偶数且初始值为0，所以矩形框内填，故选D.
点睛:解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.
4.已知函数，若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意可得：
，
解得：.
本题选择D选项.
5.函数（且）的图象可能为（ ）
【答案】D
【解析】
因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
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6.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本道题结合三视图，还原直观图，利用正方体体积，减去半圆柱体积，即可。
【详解】
结合三视图，还原直观图，故，故选B。
【点睛】本道题考查了三视图还原直观图以及空间几何体体积计算方法，难度较小。
7.直线与轴的交点为,点把圆的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出点坐标，然后求出点与圆心的距离，结合半径可以求出答案。
【详解】令代入可得，圆心坐标为，
则与圆心的距离为，半径为6，
可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2。
故答案为A.
【点睛】本题考查了直线与圆的方程，圆的半径，圆心坐标，属于基础题。
8.已知△ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，向量=(a＋c，a－b)，=(b，a－c)，若∥，则∠C=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据得到，再利用余弦定理求解.
【详解】∵向量，，若，
则，
即，
即，
∴由余弦定理得
∵,
∴.
故选B.
【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
9.已知数列的前项和为，，，则（ ）
A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024
【答案】B
【解析】
【分析】
Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），n≥2时，Sn＝2Sn﹣1﹣1，相减可得an+1＝2an．再利用等比数列的通项公式即可得出．
【详解】∵Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），
n≥2时，Sn＝2Sn﹣1﹣1，∴an+1＝2an．
n＝1时，a1+a2＝2a1﹣1，a1＝2，a2＝1．
∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2．
则a101×28＝256．
故选：B．
【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.已知锐角满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式，求得的值，再利用倍角公式，即可求解.
【详解】因为锐角满足，所以也是锐角，
由三角函数的基本关系式可得，
则，故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11.已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，若右支上有点满是，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设，，在及中利用余弦定理，分别表示出.再利用双曲线定义列方程即可求解。
【详解】设，， 由题可得：,
在中，由余弦定理可得：，整理得：.
在中，由余弦定理可得：，整理得：.
由双曲线定义得：，即：.整理得：.
故选:A
【点睛】本题主要考查了余弦定理及双曲线定义，属于基础题。
12.已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先利用数列的递推公式和整体思想得到数列的通项公式，则判定哪些项为非正值，进而求出的最小值.
详解：因为，且，
所以数列是以为首项、1为公差的等差数列，
则，
即，
令，得，
又，，
则的
最小值为.
点睛：解决本题的难点是合理将求的最小值问题转化为判定数列的哪些项为非正值，只要把这些非正值相加即得的最小值.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.已知则当a的值为 时取得最大值.
【答案】4
【解析】
试题分析：由题意得，当取得最大值时，和都是正数，所以，再利用基本不等式可得
，当且仅当时，等号成立，即当时，取得最大值.
考点：基本不等式求最值．
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14.若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．
【详解】作出平面区域如图所示：
∴当直线y＝x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．
联立方程组，解得A（2，1），
联立方程组，解得B（1，2）．
两条平行线分别为y＝x﹣1，y＝x+1，即x﹣y﹣1＝0，x﹣y+1＝0．
∴平行线间的距离为d，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
15.已知平面，直线.给出下列命题：
① 若，则； ② 若，则；
③ 若，则； ④ 若，则.
其中是真命题的是_________．（填写所有真命题的序号）．
【答案】③④
【解析】
【分析】
利用线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答．
【详解】对于①，若，则α与β可能相交，此时m与n都平行于交线时满足条件，但不满足，故①错误；
对于②，若α∥β，m∥α，n∥β，则m与n的位置关系有：平行、相交或者异面，故②错误；
对于③，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可以判断α⊥β，故③正确；
对于④，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，利用面面垂直、线面垂直的性质定理可以得到m⊥n；故④正确；
故答案为：③④
【点睛】本题考查了线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理．
16.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当
排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．
【答案】9
【解析】
试题分析：由可知同号，且有，假设，因为排序后可组成等差数列，可知其排序必为，可列等式，又排序后可组成等比数列，可知其排序必为，可列等式，联解上述两个等式，可得
，则．
考点：等差数列中项以及等比数列中项公式的运用．
【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q．
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三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：
年 份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
投资金额（万元）
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
年利润增长（万元）
6.0
7.0
7.4
8.1
8.9
9.6
11.1
（1）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额是8万元，估计该公司在该年的年利润增长是多少？（结果保留2位小数）
（2）现从2012—2018年这7年中抽取2年进行调查，记=年利润增长－投资金额，求这两年都是>2（万元）的概率.
参考公式：回归方程中，
【答案】（1），11.43；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意计算平均数和回归系数，写出回归直线方程，利用方程计算x＝8时的值即可；
（2）设2012年--2018年这7年分别定为1,2,3,4,5,6,7；则由题意列举出所有总的基本事件，找到符合条件的个数，计算概率即可．
【详解】（1），，，
∴，
，
那么回归直线方程为：
将代入方程得
即估计该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元.
（2）由题意可知，
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
1.5
2
1.9
2.1
2.4
2.6
3.6
设2012年--2018年这7年分别定为1,2,3,4,5,6,7；则总基本事件为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（1,7），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（2,7），（3,4），（3,5），（3,6），（3,7），（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共有21种结果，
选取的两年都是万元的情况为：（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共6种，所以选取的两年都是万元的概率.
【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及应用，考查了概率的求法问题，是中档题．
18.在中，角，，所对的边分别为，，，且 .
（1）求角；
（2）若，的面积为，为的中点，求的长.
【答案】（1）.（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理把角的关系转化为，由余弦定理可得的值.
（2）由可以得到，从而为等腰三角形，利用面积公式得到边长后用余弦定理计算的长.
【详解】（1）由正弦定理，可化为
，整理得到，
即.
又由余弦定理，得.
因为 ，所以.
（2）因为 ，
所以 为等腰三角形，且顶角.
故 ，所以.
在中，由余弦定理，得
，解得.
【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.
（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；
（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；
（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.
19.如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，，平面平面，，为的中点，为平面内任一点.
（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；
（2）过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.
【答案】(1)见解析；（2）
【解析】
试题分析：
(1)利用线面平行的判断定理结合题意可知点G存在；
(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.
试题解析：
（1）过点存在直线使，理由如下：
由题可知为的中点，又为的中点，
所以在中，有.
若点在直线上，则直线即为所求作直线，
所以有；
若点不在直线上，在平面内，
过点作直线，使，
又，所以，
即过点存在直线使.
（2）连接，，则平面将几何体分成两部分：
三棱锥与几何体（如图所示）.
因为平面平面，且交线为，
又，所以平面.
故为几何体的高.
又四边形为菱形，，，，
所以 ，
所以 .
又，所以平面，
所以 ，
所以几何体的体积 .
20.已知椭圆：的左，右焦点分别为，离心率为，是上的一个动点。当为的上顶点时，的面积为。
（1）求的方程；
（2）设斜率存在的直线与的另一个交点为。若存在点，使得，求的取值范围。
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）结合椭圆性质，计算a,b的值，得到椭圆方程，即可。（2）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，建立等式，用k表示t，结合函数的性质，计算范围，即可。
【详解】（1）设椭圆的半焦距为c。
因为，所以，，
又，
所以.
所以C得方程为
（2）设直线PQ的方程为，PQ的中点为.
当k=0时，t=0符合题意.
当k≠0时，由
得
则
所以
即
因为，
所以TN⊥PQ,则KTN·k=-1，
所以
因为，所以.
综上，t的取值范围为.
【点睛】考查了椭圆方程求解，考查了直线与椭圆的位置关系，难度一般。
21.已知函数.
（1）若函数与函数在点处有共同的切线，求的值；
（2）证明：；
（3）若不等式对所有，都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)．
【解析】
试题分析：
(1)由题意可知：，据此得到关于实数t的方程，解方程可得：t=2；
(2)构造新函数，结合导函数讨论函数的最大值即可证得题中的结论；
(3)将原问题转化为对所有的，都成立，讨论函数，的性质，结合函数的性质可得实数的取值范围是.
试题解析：
（1），，
∵与在点处有共同的切线，
∴，即.
（2）令，则，
则在上是增函数，在上是减函数，
∴的最大值为，∴的最小值是1.
设，，
故在上是增函数，在上是减函数，故，
∴.
（3）不等式对所有的，都成立，
则对所有的，都成立，
令，，是关于的一次函数，
∵，∴，∴当时，取得最小值，
即，当时，恒成立，故.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
22.平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（a为参数），在以原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线L的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线L的倾斜角；
（2）已知点，且直线L和曲线交于，两点，求．
【答案】（Ⅰ）,． （Ⅱ）．
【解析】
【分析】
（1）消参写出曲线C的普通方程，利用极坐标公式写出直线l的普通方程和直线的倾斜角.(2)先写出直线的参数方程，代入曲线C的普通方程，再利用韦达定理和参数方程t的几何意义解答.
【详解】解：(1)由消去参数α，得，
即C的普通方程为.
由ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)
将代入(*)，化简得y＝x＋2，
所以直线l的倾斜角为.
(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为 (t为参数)，
即 (t为参数)，
代入并化简，得5t2＋18t＋27＝0，
Δ＝(18)2－4×5×27＝108>0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－0，所以t1
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