淄博实验中学高三年级第二学期第一次教学诊断考试试题
数学(理科）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：的解集为，定义域为，故.
考点：集合交集.
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.
2.设复数,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数除法和加法的法则求解即可得到结果．
【详解】∵，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查复数的运算，解题的关键是熟记运算的法则，在进行乘除运算时要注意把换为，属于基础题．
3.已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．
【详解】角的终边经过点p（﹣1，），其到原点的距离r2
故cos，sin
∴sin cos.
故选：B．
【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．
4.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）
附：若随机变量，则，.
A. 0.1359 B. 0.7282 C. 0.8641 D. 0.93205
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即可得到答案．
【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：
，
故所求的概率为.故选D.
【点睛】本题主要考查了几何概型中概率的计算，以及正态分布密度曲线的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的对称性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
5.已知函数，则“a =0”是“函数为奇函数的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】解：若，则，
则
，则，即是奇函数，即充分性成立，
若函数是奇函数，
则满足，即，则，即必要性成立，
则“”是“函数为奇函数”的充要条件，
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及充分条件和必要条件的判断，利用函数奇偶性的定义以及对数函数的运算性质是解决本题的关键．
6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三视图知该几何体是棱长为4的正方体截去一个圆柱体，结合图中数据求出它的表面积．
【详解】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去一个圆柱体，如图所示；
结合图中数据，计算该几何体的表面积为
．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用三视图求简单组合体的表面积应用问题，是基础题．
7.若，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据函数的性质得到的取值范围后可得结果．
详解：由题意得，
∵，
∴，
∴．
∴．
故选A．
点睛：比较大小时，可根据题意构造出函数，然后根据函数的单调性进行判断．若给出的数不属于同一类型时，可先判断出各数的符号（或各数所在的范围），然后再比较大小．
8.若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得，故得平移后的解析式为，根据所的图象关于点对称可求得，从而可得，进而可得所求最小值．
【详解】由题意得，将函数 的图象向左平移个单位长度所得图象对应的解析式为，
因为平移后的图象关于点对称，
所以，故，
又，所以．
所以，
由得，
所以当或，即或时，函数取得最小值，且最小值为．
故选C．
【点睛】本题考查三角函数的性质的综合应用，解题的关键是求出参数的值，容易出现的错误是函数图象平移时弄错平移的方向和平移量，此时需要注意在水平方向上的平移或伸缩只是对变量而言的．
9.已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是
A. -6 B. C. -1 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的平面区域，由得，然后平移直线并结合图形找到最优解，进而可得所求最值．
【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．
由由得．
平移直线，由图形可得，当直线经过可行域内的点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最大值．
由题意得点坐标为，
所以．
故选D．
【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．
10.等差数列的首项为1，公差不为0. 若成等比数列，则前6项的和为( )
A. －24 B. －3 C. 3 D. 8
【答案】A
【解析】
∵等差数列{an}的首项为1,公差不为0.a2,a3,a6成等比数列，
∴a23=a2⋅a6，
∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且a1=1，d≠0，
解得d=−2，
∴{an}前6项的和为 .
本题选择A选项.
点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d
是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
11.抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由抛物线定义得所以由得,因此
所以，选D.
点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
12.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将不等式变形后，构造函数g(x)，结合选项对m讨论，利用导数分析函数的单调性及函数值的分布情况，对选项排除验证即可．
【详解】原不等式转化为>0在上恒成立，
记g(x)＝，
由基本初等函数的图象及导数的几何意义可知，
y=x+1与y=x-1分别为y=与y=的切线，
即,(x=0时等号成立)，（x=1时等号成立），可得(x=0时等号成立)，
∴m时，在上恒成立，
又在上恒成立，
∴在上恒成立，
∴m时符合题意，排除A、B；
当m>0时，验证C选项是否符合，只需代入m=3，此时g(x)＝，
则，此时0，
令)在上单调递增，且，∴在上恒成立，即在上单调递增，而0，∴在上恒成立，
∴g(x)在上单调递增,又g(0)=0，∴g(x)在上恒成立，
即m=3符合题意，排除D,
故选C.
【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数的单调性、最值问题，考查了分类讨论思想，注意小题小做的技巧，是一道综合题．
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
13.已知向量，则在方向上的投影等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的数量积公式得到向量在方向上的投影为它们的数量积除以的模．
【详解】向量，则向量在方向上的投影为：；
故答案为．
【点睛】本题考查了向量的几何意义考查了向量的数量积公式，属于基础题．
14.在的展开式中，常数项为__________．
【答案】
【解析】
由二项展开式的通项公式得：，显然时可能有常数项，当时，，有常数项，当，的展开式中含，故常数项为，当，常数项为1，所以展开式中的常数项．
15.已知双曲线，焦距为2c，直线l经过点和，若到直线l的距离为，则离心率为______．
【答案】或
【解析】
【分析】
求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理即可得到，解方程即可得到离心率，注意条件，则有，注意取舍．
【详解】解：直线l的方程为，即为，
，到直线l的距离为，
可得：，
即有，
即，即，
，
由于，则，
解得，或．
由于，即，即有，即有，
则或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．
16.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
画出几何图形，运用边的关系转化为求周长的最值，结合正余弦定理及基本不等式求解即可.
【详解】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤+GF= +=，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN ≤MN≤,又外接圆半径为1，，所以,∴BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c≤2,当且仅当b=c=取等；故
故答案为
【点睛】本题考查正余弦定理，基本不等式，善于运用数形结合思想运用几何关系转化问题是关键，是难题.
三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知递增的等差数列前项和为，若 ，.
（1）求数列的通项公式.
（2）若，且数列前项和为，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意求出等差数列的首项和公差，进而可得通项公式；（2）由（1）并结合题意可得，然后分为奇数和偶数两种情况可求得数列的前项和为．
【详解】（1）由，且解得，
∴公差，
∴数列的通项公式为．
（2）由（1）得，
∴．
当为偶数时，
；
当为奇数时，
．
综上可得．
【点睛】解答本题时注意两点：一是对于等差数列的计算问题，可转化为基本量（首项、公差）的问题来处理；二是在求和时，对于通项中含有或或的情形，在解题时要注意分为是奇数和偶数两种情况求解．
18.
已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示,AB丄BC，AB//CD，且AB=2CD。将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB丄平面BEC。
(1)求证:平面ABE丄平面ADE；
(2)若AB=BC,求二面角A-DE-B的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）取的中点的中点，连接，可证得四边形为平行四边形，可得．由条件可得到平面，从而平面，于是可得所证结论成立．（2）建立空间直角坐标系，再求出两个平面的法向量，根据两法向量的夹角可求出二面角的平面角的余弦值．
【详解】（1）证明：取的中点的中点，连接，
则且．
∵且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴．
∵平面，
∴．
∵，
∴平面．
∵，
∴平面,
∵平面，
∴平面平面．
（Ⅱ）过作于.
∵平面，
∴．
又，
∴平面．
以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴，过且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则
∴.
设平面的法向量为，
则有，即，
取得，则．
设平面的法向量为，
则有，即，
取，得，则．
∴，
又由图可知二面角的平面角为锐角，
∴二面角的余弦值为．
【点睛】
用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量夹角和二面角平面角的大小关系，由于平面角等于两法向量的夹角或其补角，所以在求出两个法向量的夹角后还要根据图形判断出二面角为锐角还是钝角，然后才能得出所求角的大小．
19.某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011-2018年的相关数据如下表所示：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年生产台数（万台）
2
3
4
5
6
7
10
11
该产品的年利润（百万元）
2.1
2.75
3.5
3.25
3
4.9
6
6.5
年返修台数（台）
21
22
28
65
80
65
84
88
部分计算结果：，，，
，
注：年返修率=
（1）从该公司2011-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；
（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.
附：线性回归方程中， ，.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先判断得到随机变量的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率，进而得到分布列和期望．（2）由于去掉年的数据后不影响
的值，可根据表中数据求出；然后再根据去掉年的数据后所剩数据求出即可得到回归直线方程．
【详解】（1）由数据可知，，，，，五个年份考核优秀．
由题意的所有可能取值为，，，，
，
，
，
．
故的分布列为：
所以．
（2）因为，所以去掉年的数据后不影响的值，
所以．
又去掉年的数据之后，
所以，
从而回归方程为：．
【点睛】求线性回归方程时要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意运算的合理性和正确性，对于题目中给出的中间数据要合理利用．本题考查概率和统计的结合，这也是高考中常出现的题型，属于基础题．
20.在直角坐标系中， 椭圆的中心在坐标原点，其右焦点为，且点 在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，是椭圆上异于的任意一点，直线交椭圆于另一点，直线交直线于点， 求证：三点在同一条直线上
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）（法一）由题意，求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求得，进而求得的值，即可得到椭圆的标准方程；
（法二）设椭圆的方程为（），列出方程组，求得的值，得到椭圆的标准方程。
（2）设，，直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和向量的运算，即可证得三点共线。
【详解】（1）（法一）设椭圆的方程为，
∵一个焦点坐标为，∴另一个焦点坐标为，
∴由椭圆定义可知，
∴，∴，∴椭圆的方程为.
（法二）不妨设椭圆的方程为（），
∵一个焦点坐标为，∴，①
又∵点在椭圆上，∴，②
联立方程①，②，解得，，
∴椭圆的方程为.
（2）设，，直线的方程为，
由方程组消去，并整理得：，
∵，∴，，
∵直线的方程可表示为，
将此方程与直线联立，可求得点的坐标为，
∴，
∵
，所以，
又向量和有公共点，故，，三点在同一条直线上.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。
21.已知函数 （为常数）．
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；
（2）若存在两个极值点，且，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据在定义域上恒成立并结合二次函数的图象求解即可．（2）由（1）得极值点满足，且在上是减函数，去掉绝对值后可得，分别求出后进行化简可得
，然后利用换元法可求得所求的最大值．
【详解】（1）∵，，
∴．
设，，
∵是定义域上的单调函数，函数的图象为开口向上的抛物线，
∴在定义域上恒成立，即在上恒成立．
又二次函数图象的对称轴为，且图象过定点，
∴，或，
解得.
∴实数的取值范围为．
（2）由（1）知函数的两个极值点满足，
∴．
不妨设，
则在上是减函数，故，
∴
．
令，则，
又，即，解得，
故，
∴．
设，则，
∴在上为增函数．
∴，
即．
所以的最大值为．
【点睛】解答本题时注意两点：（1）函数单调递增（减）等价于导函数大于（小于）等于零在给定区间上恒成立，解题时不要忘了等于零．（2）证明含有两个变量的不等式时，可考虑通过代换的方法将不等式转为只含有一个变量的不等式进行证明，证明不等式时通过构造函数并求出函数的最值来证是常用的方法．
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与曲线的的直角坐标方程；
（2）若与交于两点，点的极坐标为，求的值.
【答案】（1）曲线普通方程为曲线的直角坐标方程为（2）
【解析】
【分析】
（1）将曲线的参数方程中的t消掉得到曲线的普通方程，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，能求出C2的直角坐标方程．
（2）将代入，得，利用直线参数的几何意义结合韦达定理，能求出．
【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），两式相加消去t可得普通方程为；又由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，
曲线的极坐标方程为转化为直角坐标方程为
（2）把曲线的参数方程为（为参数），代入得，
设，是对应的参数，则，
所以
【点睛】本题考查了普通方程与参数方程、极坐标方程的相互转化，考查直线参数方程中参数的几何意义及应用，是中档题．
23.已知函数.
(1)解不等式: ；
(2)当时时，函数恒为正值,求实数m的取值范围。
【答案】（I）；（II）.
【解析】
【分析】
Ⅰ由分类讨论，解不等式可得所求解集；
Ⅱ求得的最小值，解不等式可得所求范围．
【详解】解：Ⅰ等价于
或或，
解得或或，
综上所述，不等式的解集为；
Ⅱ当时，则，
只需，不可能
当时，，
要使函数恒为正值，
则，可得，
当时，恒成立，
只需要，可得，
综上所述，实数m的取值范围是．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立的解法，考查运算能力，属于基础题．
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