数学（文科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z满足，则复数z的虚部为
A. B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先在等式两边同除i，再进行化简，即可求得z的虚部.
【详解】∵，∴，
∴复数的虚部为-3，
故选D.
【点睛】本题考查复数的概念和运算，属于简单题.
2.设
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求解出两个集合，根据交集定义求解出结果.
【详解】因为
所以
本题正确选项：
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.
3.已知向量 若则k等于 （ ）
A. 5 B. 3 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据向量的加减运算求出 的坐标，然后根据 求出k的值。
【详解】
故选D.
【点睛】本题考查向量的数乘和加减运算，向量垂直的坐标运算，是基础的计算题。
4.命题存在实数，使的否定是
A. 对任意的实数，都有 B. 对任意的实数，都有
C. 不存在实数，使 D. 存在实数，使
【答案】B
【解析】
【分析】
利用特称命题的否定是全称命题的关系确定选项.
【详解】特称命题的否定是全称命题，将特称量词改变后还要对结论否定，故选B.
【点睛】本题考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题.
5.设等差数列的前n项和为，若，则公差
A. B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由，，立方程组，，
解方程组可得公差.
【详解】解一：因为且，所以
，解得.
解二：，
，
∴，
∴.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，考查计算能力，属于基础题.
6.已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件作出对应的图象，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行计算即可．
【详解】解：在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，则△ABC为直角三角形，且∠B为直角。
则△ABC的面积S＝，
若在三角形ABC内任取一点，则该点到三个定点A，B，C的距离不小于2，
则该点位于阴影部分，
则三个小扇形的圆心角转化为180°，半径为2，则对应的面积之和为S＝，
则阴影部分的面积S＝ ，
则对应的概率P＝＝＝ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．
7.与函数的部分图象最符合的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，筛选选项，再判断函数值的正负变化情况可解.
【详解】因为函数，所以函数为奇函数，其图象关于原点成中心对称，所以排除选项A，D，又当时，，所以排除选项C，
故选B.
【点睛】本题考查函数的奇偶性，奇偶函数的图像特征，函数特殊点的判断，属于基础题.
8.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．若一个鳖臑的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为2的等腰直角三角形(如图所示)，则该鳖臑的体积为
A. B.
C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图可以画出该几何体的直观图,可得一条侧棱与底面垂直，底面是直角三角形，得四面体的高与底面积，计算四面体的体积
【详解】根据三视图可以画出该几何体的直观图为如图所示的四面体，垂直于等腰直角三角形所在平面，将其放在正方体中，易得该鳖臑的体积.
【点睛】本题考查空间三视图的还原，几何体的体积计算，利用“长对正，宽相等，高平齐，”确定立体图中的元素位置关系和数量关系，考查空间想象能力，推理能力，属于基础题.
9.已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线C右支上一点，若三角形PFO为等边三角形，则双曲线C的离心率为
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由为正三角形得P点坐标，代入双曲线方程得a,b,c的关系式，化为关于离心率e的方程求解.
【详解】因为三角形为等边三角形，则，代入双曲线方程可得，又因为，，所以，解得.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，利用离心率公式,再结合
进行求解，考查运算求解能力.
10.已知函数，若函数的图象关于对称，则的取值可以是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
先由求出，利用正弦函数的性质得，取整数k，确定选项.
【详解】∵，
∴由，得.
又∵，∴，∴.
又∵关于对称，
∴，
，令，则.
【点睛】本题考查正弦函数图像的对称性，已知函数值求角，考查运算求解能力，属于中档题.
11.已知抛物线的焦点为F，过F点的直线交抛物线于不同的两点A、B，且，点A关于轴的对称点为，线段的中垂线交轴于点D，则D点的坐标为
A. (2，0) B. (3，0) C. (4，0) D. (5，0)
【答案】D
【解析】
【分析】
F的坐标为（1，0），设l的方程为y＝k（x﹣1）代入抛物线y2＝4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及抛物线的定义，求出k，即可求解直线的方程．再写出 的中垂线方程，令 即可求出D点坐标。
【详解】解：F的坐标为（1，0），
设的方程为y＝k（x﹣1）代入抛物线y2＝4x得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
由题意知k≠0，且[﹣（2k2+4）]2﹣4k2•k2＝16（k2+1）＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴ ，x1x2＝1，
由抛物线的定义知|AB|＝x1+x2+2＝8，
∴，∴k2＝1，即k＝±1，∴直线的方程为y＝±（x﹣1）．
，B（x2，y2），则其中点坐标为
直线 的斜率为 ，
则其中垂线斜率为
∴直线 的中垂线方程为
令 ，得 ， D点坐标为（5,0）
故选D.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，恒过定点问题的方法，考查分析问题解决问题的能力．
12.已知函数，给出下列命题，其中正确命题的个数为
①当时，上单调递增；
②当时，存在不相等的两个实数，使；
③当时，有3个零点．
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】
①时，判断在的单调性；
②，分别求与的函数值的范围，判断是否有交集；
③令，时有一解；时利用一元二次方程根的分别条件判断方程，即在是否有两解.
【详解】记，.
当时，对称轴，
知函数在单调递增，在单调递减，
又因为在区间单调递增，（如图一）
所以选项①错误.
当时，对称轴，
知函数在单调递增，在区间单调递增.
从而在单调递增（如图二），
所以选项②错误；
对于③，当时，
对称轴，
所以在单调递增；在单调递减；
在区间单调递增，
且有，，
所以函数的图象与轴有3个交点（如图示），
所以③正确，综合可知正确选项只有一个.
选项C正确.
【点睛】本题考查分段函数的单调性、值域、零点，分类讨论是解题关键，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.设满足约束条件，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
作约束条件对应的可行域，平行移动目标函数对应的直线，判断直线经过可行域上哪一点时直线在y轴上的截距最大，再把边界直线方程列方程组求出最优解，得z的最大值.
【详解】作出不等式组，表示的平面区域如图所示.
因为表示直线：向右上方平行移动时在轴上的截距，数形结合易知当直线移动过程中经过点时截距最大,
此时最大.
由，即点.
此时，故填.
【点睛】本题考查线性规划的应用，能够确定目标函数的几何意义，利用数形结合是解决问题关键，属于中档题.
14.在中，角A，B，C所对的边分别为， D为边AB的中点，则ADC的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由直角三角形求及CD长，再利用正弦定理可得.
【详解】∵，，，∴，
又∵为边的中点，∴，
在中，由正弦定理得：，
即，故填.
【点睛】本题考查直角三角形的性质及正弦定理，计算求解能力，属于中档题.
15.过直线上一点P为作圆的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的面积为3，则点P的横坐标为__________．
【答案】-1或1
【解析】
【分析】
由PA，PB是圆的切线，可知四边形PACB的面积为两个全等的直角三角形面积之和，由此得到切线长，再设P点坐标，利用直角三角形PCA可得.
【详解】圆的方程可化为，所以圆心的坐标为，半径为1.因为四边形的面积为3，所以，在直角三角形中，由勾股定理可得，
，设，则，解得或.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，能够充分利用圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题.
16.已知则______．
【答案】5
【解析】
【分析】
由，变角为，
再利用两角和与差的正弦公式及同角三角函数关系式可求.
【详解】因为即，
则，
有，得到，.
【点睛】本题考查三角恒等变换，恰当变角是解决本题的关键，考查计算能力，属于中档题.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.有一正项等比数列的公比为q，前项和为，满足．设.
(1)求的值，并求出数列的通项公式；
(2)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(3)记，求数列的前项和．
【答案】（1），，（2）数列为等差数列，（3）
【解析】
【分析】
（1）由条件列方程组，，求出首项与公比，可得所求.
（2）由可得，利用等差数列的定义进行判断.
（3）将进行裂项变形，可得.
【详解】（1）由，得，又∵，∴，
∵，∴，即得，
∴，化简得：，
∴或（舍），
∴，.
（2）数列为等差数列，理由如下：
∵由（1）知，∴，
∴，∴，.
∴是以为1为首项，1为公差的等差数列.
（3）由（2）可知，∴，
∴.
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和，考查运算求解能力，属于中档题.
18.为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：
(1)根据上述统计数据填下面的2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；
(2)现从年龄在[70，80]内的5名被调查人中任选两人去参加座谈会，求选出两人中恰有一人支持新农村建设的概率．
参考数据：
参考公式：．
【答案】（1）2×2列联表见解析，无95％的把握（2）
【解析】
【分析】
（1）根据频数分布填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（2）5人中，支持新农村建设的为2人，不支持的为3人，两人中恰有一人支持的情况数目，除以基本事件总数，可得答案．
【详解】解：（1）根据频数分布，填写2×2列联表如下：
年龄低于50岁的人数
年龄不低于50岁的人数
合计
支持
40
20
60
不支持
20
20
40
合计
60
40
100
计算观测值，
对照临界值表知，无95％的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；
（2）法一（列举法）： 的5名被调查者中，支持的记为A1，A2，不支持的记为A3，A4，A5，
5人中选2人，所有情况如下：
共10种,而符合题意的情况有6种，分别是
所以，两人中恰有一人支持新农村建设的概率为 。
法二： .
【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了求古典概型的概率问题,属于中档题.
19.如图所示，在底面为正方形的四棱锥P—ABCD中，AB=2，PA=4，PB=PD=，AC与BD相交于点O，E，G分别为PD，CD中点，
(1)求证：EO//平面PBC；
(2)设线段BC上点F满足BC=3BF，求三棱锥E—OFG的体积．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)由EO//PB，可证EO//平面PBC；
（2）由勾股定理可证PA⊥AB,且PA⊥AD,故PA⊥面ABCD，E到底面的距离等于P点到底面距离的一半，再求出△FOG的面积，利用体积计算公式即可求解.
【详解】（1）证明： E为PD中点，O为BD中点， EO 为△PBD中位线，EO//PB ,又 , , EO//平面PBC.
（2） AB=2，PA=4，PB=PD= ，
, ,同理可得.
又 , 面ABCD，
故P到面ABCD的距离为4，E到面ABCD的距离
【点睛】本题考查线面平行的证明，以及三棱锥的体积公式,找出平面的垂线是关键.
20.设函数．
(1)证明：当时，；
(2)若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）对求导，判断函数在是增函数可证.
（2）设，对求导，对a讨论，判断单调性，何时对都有，何时至少能找到一个函数值大于0，确定a的范围.
【详解】（1）∵，∴.
当时，.
∴在为增函数，∴，得证.
（2）设，，
则，
当时，，，∴，∴在为减函数，
∴恒成立，即不等式对任意恒成立；
当时，上有，故不合题意；
当时，
∵对任意恒成立；
∴，
∴当时，，故不合题意；
综上：.
【点睛】本题考查导数在函数中的综合应用，恒成立问题的求解，考查分类讨论、逻辑推理及计算能力，属于难题.
21.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆O上运动，若△PAB面积的最大值为，椭圆O的离心率为．
(1)求椭圆O的标准方程；
(2)过B点作圆E：的两条切线，分别与椭圆O交于两点C，D(异于点B)，当r变化时，直线CD是否恒过某定点?若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.
【答案】（1）（2）直线恒过定点.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件列方程组，解方程组可得.
（2）设过B的切线方程，由d=r，利用韦达定理得两切线PC、PD的斜率、关系，把直线、代入椭圆方程求出C、D点坐标，利用两点式建立CD方程，化简方程可得.
【详解】（1）由题可知当点在椭圆的上顶点时，最大，此时，
所以，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）设过点与圆相切的直线方程为：，即：，
因为直线与圆：相切，所以，
即得.
设两切线的斜率分别为，则，
设，，
由，
∴，即，∴；
同理：，；
∴，
所以直线的方程为：.
整理得：，
所以直线恒过定点.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直线与椭圆的交点，直线过定点问题的关键是把含待定未知数的直线方程表示出来，考查了推理能力与字母运算能力，属于难题．
22.在直角坐标系中，曲线C的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求曲线C的参数方程和直线的直角坐标方程；
(2)若直线与轴和y轴分别交于A，B两点，P为曲线C上的动点，求△PAB面积的最大值．
【答案】（1）（为参数），（2）
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆参数方程形式和极坐标与直角坐标互化原则即可得到结果；（2）可求出，所以求解面积最大值只需求出点到直线距离的最大值；通过假设，利用点到直线距离公式得到，从而得到当时，最大，从而进一步求得所求最值.
【详解】（1）由，得的参数方程为（为参数）
由，得直线的直角坐标方程为
（2）在中分别令和可得：，
设曲线上点，则到距离：
，其中：，
当，
所以面积的最大值为
【点睛】
本题考查椭圆参数方程、极坐标化直角坐标以及椭圆上的点到直线距离的最值问题求解，求解此类最值问题的关键是利用参数表示出椭圆上点的坐标，将问题转化为三角关系式的化简，利用三角函数的范围来进行求解.
23.设不等式的解集为M．
(1)求集合M；
(2)已知，求证：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）通过零点分段的方式进行讨论，求得不等式的解集；（2）将问题转变为证明，由，可得，，从而证得所需的结论.
【详解】（1）原不等式等价于或或
解得：或
所以原不等式的解集为
（2）由（1）知，当时，，
所以，
从而
可得
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解及证明.解绝对值不等式的常用方法为采用零点分段的方式去绝对值符号；证明绝对值不等式常采用平方的方法将问题进行转化.
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