2019年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．
【详解】（1+i）（2﹣i）=2﹣i+2i﹣i2=3+i．
故选：A．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2.设集合，1，2，3，，，2，，，3，，则（ ）
A. ， B. ， C. ，1， D. ，2，
【答案】C
【解析】
【分析】
先得到，再计算，得到答案
【详解】集合，1，2，3，，，2，，，3，，
则，，
，1，．
故选：．
【点睛】本题考查集合的交集运算与补集运算，属于简单题.
3.已知平面向量，的夹角为，，，则（ ）
A. 3 B. 2 C. 0 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由，，，的夹角为，先得到的值，再计算，得到结果.
【详解】向量，的夹角为，，，
，
则，
故选：．
【点睛】本题考查向量数量积的基本运算，属于简单题.
4.已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期是，最大值是1
B. 的最小正周期是，最大值是
C. 的最小正周期是，最大值是
D. 的最小正周期是，最大值是1
【答案】B
【解析】
【分析】
对进行化简，得到解析式，再求出其最小正周期和最大值.
【详解】函数，
故函数的周期为，
当，
即：时，
函数取最大值为．
故选：．
【点睛】本题考查二倍角正弦的逆用，三角函数求周期和最值，属于简单题.
5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）
A. 55 B. 45 C. 66 D. 36
【答案】A
【解析】
【分析】
根据程度框图的要求，按输入值进行循环，根据判断语句，计算循环停止时的值，得到答案.
【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值
由于．
故选：．
【点睛】本题考查根据流程框图求输入值，属于简单题.
6.若，则函数的两个零点分别位于区间（ ）
A. 和内 B. 和内
C. 和内 D. 和内
【答案】A
【解析】
试题分析：，所以有零点，排除B，D选项.当时，恒成立，没有零点，排除C，故选A.另外，也可知内有零点.
考点：零点与二分法.
【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示.所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件.
【此处有视频，请去附件查看】
7.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.
【详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.
【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.
8.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.
【详解】对于A,B两个选项，，不符合图像，排除A,B选项.对于C选项，，不符合图像，排除C选项，故选D.
【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.
9.在中，，，，则的面积为（ ）
A. 15 B. C. 40 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用余弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.
【详解】由余弦定理得，解得，由三角形面积得，故选B.
【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.
10.法国机械学家莱洛． 发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，在封闭曲线内随机取一点，则此点取自正三角形之内（如图阴影部分）的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先算出封闭曲线的面积，在算出正三角形的面积，由几何概型的计算公式得到答案.
【详解】设正三角形的边长为，由扇形面积公式可得封闭曲线的面积为
，
由几何概型中的面积型可得：
此点取自正三角形之内（如图阴影部分）
概率是，
故选：．
【点睛】本题考查几何概型求概率，属于简单题.
11.四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形的边长为4，则四棱锥的体积最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，体积取得最大值，利用勾股定理计算出高，然后求得四棱锥的最大体积.
【详解】设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，由于底面面积固定，则高最高时，四棱锥体积取得最大值.设高为，，球的半径为，故，解得.故四棱锥的体积的最大值为.故选D.
【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关问题，考查四棱锥体积的计算，所以基础题.
12.直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，交其准线于点，已知，，则（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
过分别做准线的垂线交准线于两点，设 ，根据抛物线的性质可知，，根据平行线段比例可知，即，解得 ，又，即 ，解得，故选C.
【点睛】抛物线的定义在解题中的应用，当已知曲线是抛物线时，可利用抛物线上的点满足定义，点到焦点的距离转化点为到准线的距离，这样可利用三角形相似或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.若实数，满足约束条件，则的最大值是_____．
【答案】8
【解析】
【分析】
画出可行域，将基准直线向下平移到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.
【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.
【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最大值的方法，属于基础题.
14.在正方体中，，分别为，中点，则异面直线与所成角的余弦值为__．
【答案】
【解析】
【分析】
取的中点，连接，，找到异面直线与所成角，再求出其余弦值
【详解】取的中点，连接，，
因为，
所以（或其补角）为异面直线与所成角，
易得：，
即，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查两条异面直线所成的角，属于简单题.
15.已知，均为锐角，，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得的值，然后求得的值，进而求得的值.
【详解】由于为锐角，且，故，.由，解得，由于为锐角，故 .
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.
16.已知函数，且，则___．
【答案】16
【解析】
【分析】
由，分和进行讨论，得到的值，再求的值
【详解】函数，且
当时， ，解得，不成立，
当时， ，解得．
．
故答案为：16．
【点睛】本题考查由函数的值求自变量的值，属于简单题.
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.已知等差数列满足，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．
【答案】(I)；(Ⅱ)，或
【解析】
【分析】
（I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式。
（Ⅱ）由，并结合（1）可计算出首项和公比，代入等比数列的求和公式可求得.
【详解】(I)设等差数列的公差为，∵．∴，，
解得，， ∴．
(Ⅱ)设等比数列的公比为，，，联立解得，，
∴，或．
【点睛】本题考查数列的基本公式。等差数列的通项公式 , 等比数列的前n项和公式 .
18.为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：，经统计，其高度均在区间，内，将其按，，，，，，，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为及以上的树苗为优质树苗．
（1）求图中的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于，两个试验区，部分数据如下列联表：
试验区
试验区
合计
优质树苗
20
非优质树苗
60
合计
将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系，并说明理由．
下面的临界值表仅供参考：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中．
【答案】（1），；（2）列联表见解析，没有.
【解析】
【分析】
（1）通过直方图中频率之和为1，解出，再计算树苗的平均高度.
（2）根据题意补充好列联表，然后把相应的数据代入求的公式，求出，再做出判断.
【详解】（1）由频率分布直方图知，，解得，
计算，
估计这批树苗的平均高度为；
（2）优质树苗有，根据题意填写列联表，
试验区
试验区
合计
优质树苗
10
20
30
非优质树苗
60
30
90
合计
70
50
120
计算观测值，
没有的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系．
【点睛】本题考查频率分布直方图的相关性质，填写列联表，计算和利用进行相关判断.属于简单题.
19.如图，四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连结，，通过条件证明，，得到，从而证明平面.
（2）由（1）知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，取中点，连结，则易证，从而得到点到平面的距离.
【详解】证明：（1）取的中点，连结，，
是棱的中点，，且，
，，，
，，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面．
（2）取中点，连结，
，
在中，由余弦定理得
，
，
又底面，面，
，平面
平面．
由（1）知平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，
点到平面的距离为．
【点睛】本题考查通过线线平行证明线面平行，通过线面平行将点到平面的距离进行转化，属于中档题.
20.已知椭圆：的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）与轴不垂直的直线经过，且与椭圆交于，两点，若坐标原点在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（I）根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标，结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）设直线的方程为，代入椭圆方程，写出判别式和韦达定理，由坐标原点在以为直径的圆内得，利用向量的坐标运算代入化简，由此解得的取值范围.
【详解】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，，
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程整理可得得
，
，解得或，
设，，
又，，
∴，
∵坐标原点在以为直径的圆内，
∴，
∴ ，
解得或.
故直线斜率的取值范围为.
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于中档题.
21.已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）对求导得到，代入切点横坐标得到斜率，再写出切线方程；
（2）令，证明其导函数在上恒为正，即在上恒增，而要满足在上恒成立，从而得到的取值范围
【详解】（1），，
（1），又（1），即切线的斜率，切点为，
曲线在点处的切线方程；
（2）令，，则，
令，则．
当时，，函数在上为增函数，故（1）；
从而，当时，（1）．
即函数在上为增函数，故（1）．
因此，在上恒成立，必须满足．
实数的取值范围为，．
【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题.
选考题:共10分，请考生在第22、23题中选定一题作答
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求和的直角坐标方程；
（Ⅱ）过点作直线的垂线交曲线于，两点，求.
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（I）利用加减消元法消去的参数，求得的直角坐标方程.对的极坐标方程两边乘以，化简后得到的直角坐标方程.（II）设出过点与直线垂直的直线的参数方程，代入的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，利用直线参数的几何意义求得的值.
【详解】解：（Ⅰ）直线的参数方程为（其中为参数）消去可得：，
由得，得.
（Ⅱ）过点与直线垂直的直线的参数方程为：（为参数），
代入可得，
设，对应的参数为，，则，
所以.
【点睛】本小题主要考查参数方程化为直角坐标方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义，属于中档题.
选修4-5：不等式选讲
23.已知函数.
（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）已知．且对于，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用绝对值的定义分类求解；(2)借助题设条件运用绝对值的几何意义与基本不等式求解.
试题解析：
（1），
当时，由，解得；
当时，不成立；
当时，由，解得．
所以不等式的解集为．
（2）∵，∴
∴对于，恒成立等价于：对，，即
∵
∴，∴
考点：绝对值不等式的几何意义和解法等有关知识的综合运用．
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