2019年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算，将复数化简为的形式，由此得出正确选项.
【详解】依题意，原式，故选A.
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题.
2.已知全集，集合，，那么集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得集合的补集，然后求其与集合的交集.
【详解】依题意，故，故选C.
【点睛】本小题主要考查集合补集的运算，考查集合交集的运算，属于基础题.
3.已知平面向量，的夹角为，，，则（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果.
【详解】依题意 .故选B.
【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.
4.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.
【详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.
【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.
5.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.
【详解】对于A,B两个选项，，不符合图像，排除A,B选项.对于C选项，，不符合图像，排除C选项，故选D.
【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.
6.若函数在为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的导函数在区间恒为非负数列不等式，用分离常数法求得的取值范围.
【详解】依题意，在区间上恒成立，即，当时，，故，在时为递增函数，其最大值为，故.所以选A.
【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.
7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
运行程序，当时退出程序，输出的值.
【详解】运行程序，，判断否，，判断否，，……，以此类推，，判断是，退出循环，输出，故选C.
【点睛】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出的结果，属于基础题.
8.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法.某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以得出总的方法数.
【详解】先将种计算器械分为三组，方法数有种，再排给个人，方法数有种，故选A.
【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，考查平均分组要注意的地方，属于基础题.
9.在中，，，，则的面积为（ ）
A. 15 B. C. 40 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用余弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.
【详解】由余弦定理得，解得，由三角形面积得
，故选B.
【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.
10.四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形的边长为4，则四棱锥的体积最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，体积取得最大值，利用勾股定理计算出高，然后求得四棱锥的最大体积.
【详解】设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，由于底面面积固定，则高最高时，四棱锥体积取得最大值.设高为，，球的半径为，故，解得.故四棱锥的体积的最大值为.故选D.
【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关问题，考查四棱锥体积的计算，所以基础题.
11.直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，交其准线于点，已知，，则（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
过分别做准线的垂线交准线于两点，设 ，根据抛物线的性质可知，，根据平行线段比例可知，即，解得 ，又，即 ，解得，故选C.
【点睛】抛物线的定义在解题中的应用，当已知曲线是抛物线时，可利用抛物线上的点满足定义，点到焦点的距离转化点为到准线的距离，这样可利用三角形相似或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题
12.已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
令,,所以函数是减函数，
又，所以不等式的解集为
本题选择B选项.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若实数，满足约束条件，则的最大值是_____．
【答案】8
【解析】
【分析】
画出可行域，将基准直线向下平移到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.
【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.
【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最大值的方法，属于基础题.
14.已知，均为锐角，，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得的值，然后求得的值，进而求得的值.
【详解】由于为锐角，且，故，.由，解得，由于为锐角，故 .
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.
15.直三棱柱中，底面为正三角形，，是的中点，异面直线与所成角的余弦值是，则三棱柱的表面积等于_____．
【答案】
【解析】
【分析】
作出异面直线与所成角，利用余弦定理求出三棱柱的高，进而求得三棱柱的表面积.
【详解】设是的中点，画出图像如下图所示，由于，故是异面直线与所成角.设三棱柱的高为，则，,由于异面直线与所成角的余弦值是，在三角形中，由余弦定理得，解得.故三棱柱的表面积为.
【点睛】本小题主要考查线线所成角，考查余弦定理，考查三棱柱的表面积，属于基础题.
16.已知定义在上的偶函数，满足，且在区间上是增函数，
①函数的一个周期为4；
②直线是函数图象的一条对称轴；
③函数在上单调递增，在上单调递减；
④函数在内有25个零点；
其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）
【答案】①②④
【解析】
【分析】
先求得，由此函数的周期性.通过证明求得函数的对称轴，根据奇偶性、周期性和单调性画出函数的图像，由此判断③④的真假.
【详解】令得，即，由于函数为偶函数，故.所以，所以函数是周期为的周期函数，故①正确.由于函数为偶函数，故，所以是函数图像的一条对称轴，故②正确.根据前面的分析，结合函数在区间上是增函数，画出函数图像如下图所示.由图可知，函数在上单调递减，故③错误.根据图像可知，，零点的周期为，共有个零点，故④正确.综上所述正确的命题有①②④.
【点睛】本小题主要考查函数的周期性、单调性、对称性等性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17.已知等差数列满足，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．
【答案】(I)；(Ⅱ)，或
【解析】
【分析】
（I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式。
（Ⅱ）由，并结合（1）可计算出首项和公比，代入等比数列的求和公式可求得.
【详解】(I)设等差数列的公差为，∵．∴，，
解得，， ∴．
(Ⅱ)设等比数列的公比为，，，联立解得，，
∴，或．
【点睛】本题考查数列的基本公式。等差数列的通项公式 , 等比数列的前n项和公式 .
18.为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：），经统计其增长长度均在区间内，将其按，，，，，分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为及以上的产品为优质产品．
（Ⅰ）求图中的值；
（Ⅱ）已知这120件产品来自于，两个试验区，部分数据如下列联表：
试验区
试验区
合计
优质产品
20
非优质产品
60
合计
将联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与，两个试验区有关系，并说明理由；
下面的临界值表仅供参考：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中）
（Ⅲ）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）有的把握（Ⅲ）分布列见解析，
【解析】
【分析】
（I）根据小长方形面积和为列方程，解方程求得的值.（II）根据题目所给数据填写好联表，计算的值，由此判断有的把握认为优质产品与，两个试验区有关系.（III）利用二项分布计算出的分布列和数学期望.
【详解】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图数据，得：
，
解得．
（Ⅱ）根据频率分布直方图得：
样本中优质产品有，
列联表如下表所示：
试验区
试验区
合计
优质产品
10
20
30
非优质产品
60
30
90
合计
70
50
120
∴ ，
∴有的把握认为优质产品与，两个试验区有关系．
（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，
随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且，
∴，
，
，
，
，
∴的分布列为：
0
1
2
3
4
．
【点睛】本小题主要考查频率分布直方图，考查列联表独立性检验，考查二项分布等知识，属于中档题.
19.如图，四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（I）取的中点，连结，，通过证明四边形是平行四边形证得，由此证得平面.（II）以为原点，以、分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，通过通过计算平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值．
【详解】证明：（Ⅰ）取的中点，连结，，
∵是棱的中点，∴，且，
∵，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面．
解：（Ⅱ）以为原点，以、分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
由，即，令，得，
设是平面的法向量，
由，即，令，得，
，
∵二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为．
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.
20.已知椭圆：的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）与轴不垂直的直线经过，且与椭圆交于，两点，若坐标原点在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（I）根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标，结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）设直线的方程为，代入椭圆方程，写出判别式和韦达定理，由坐标原点在以为直径的圆内得，利用向量的坐标运算代入化简，由此解得的取值范围.
【详解】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，，
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程整理可得得，
，解得或，
设，，
又，，
∴，
∵坐标原点在以为直径的圆内，
∴，
∴ ，
解得或.
故直线斜率的取值范围为.
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于中档题.
21.已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（1）利用导数求得斜率，再求得切点坐标，由此求得切线方程.（II）将原不等式分离常数得，构造函数，利用导数求得，由此求得的取值范围.
【详解】解：（Ⅰ）的导数为，
可得切线的斜率为1，切点为，
切线方程为，即；
（Ⅱ）若在上恒成立，
可得在上恒成立，
令，则，
，可得在上单调递增，
则，
可得在上单调递增，
则，
则．
【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.
22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求和的直角坐标方程；
（Ⅱ）过点作直线的垂线交曲线于，两点，求.
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（I）利用加减消元法消去的参数，求得的直角坐标方程.对的极坐标方程两边乘以，化简后得到的直角坐标方程.（II）设出过点与直线垂直的直线的参数方程，代入的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，利用直线参数的几何意义求得的值.
【详解】解：（Ⅰ）直线的参数方程为（其中为参数）消去可得：，
由得，得.
（Ⅱ）过点与直线垂直的直线的参数方程为：（为参数），
代入可得，
设，对应的参数为，，则，
所以.
【点睛】本小题主要考查参数方程化为直角坐标方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义，属于中档题.
23.已知函数.
（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）已知．且对于，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用绝对值的定义分类求解；(2)借助题设条件运用绝对值的几何意义与基本不等式求解.
试题解析：
（1），
当时，由，解得；
当时，不成立；
当时，由，解得．
所以不等式的解集为．
（2）∵，∴
∴对于，恒成立等价于：对，，即
∵
∴，∴
考点：绝对值不等式的几何意义和解法等有关知识的综合运用．
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