北京市门头沟区2019届高三3月综合练习（一模）数学（理）试卷Word版含解析.doc

北京市门头沟区2019年3月高三年级综合练习数学试卷（理）‎ 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）‎ ‎1.已知集合，，则等于　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合A，B，然后对集合A,B取交集即可.‎ ‎【详解】解：集合，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查交集的运算，属于简单题．‎ ‎2.复数z满足，那么是　　‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．‎ ‎3.一个体积为正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为　　‎ A. B. ‎8 ‎C. D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为.所以可得三棱柱的高为3.所以侧面积为.故选A.‎ 考点：1.三视图的知识.2.棱柱的体积公式.3.空间想象力.‎ ‎4.右图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 A. c＞x? B. x＞c? C. c＞b? D. b＞c?‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：由流程图可知：‎ 第一个选择框作用是比较x与b的大小，‎ 故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，‎ ‎∵条件成立时，保存最大值的变量X=C 故选A．‎ ‎5.已知向量，满足，且其夹角为，则“”是“”的　　‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量夹角的概念和充要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】解：，且其夹角为；‎ ‎(1)由得：；‎ ‎；又；；即；‎ 是的充分条件；‎ ‎(2)由得：；；‎ ‎；；‎ 是的必要条件；‎ 综上得，“”是“”的充分必要条件．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的运算和向量夹角的概念，考查充分条件、必要条件及充要条件的概念，属于基础题．‎ ‎6.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．‎ ‎【详解】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；‎ 对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；‎ 对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；‎ 对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为，‎ 则AB不垂直于平面MNQ．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．‎ ‎7.某学需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人则不同的选派方法的种数是　　‎ A. 18 B. ‎24 ‎C. 36 D. 42‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题设可分两类：一是甲地只含有一名女生，先考虑甲地有种情形，后考虑乙、丙两地，有种情形，共有 种情形；二是甲地只含有两名女生，则甲地有种情形，乙、丙两地，有种情形，共有种情形；由分类计数原理可得种情形，应选答案D。‎ ‎8.若函数图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友好点对”且点对与可看作同一个“友好点对”若函数其中e为自然对数的底数，恰好有两个“友好点对”则实数m的取值范围为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出当时关于原点对称的函数，条件转化为当时，与的图象恰好有两个不同的交点，求函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【详解】解：当时，关于原点对称的函数为，‎ 即，，‎ 设，，‎ 条件等价为当时，与的图象恰好有两个不同的交点，‎ 则，，‎ 当时，函数取得最大值，‎ 当时，，．‎ 由得，此时为增函数，‎ 由得，此时为减函数，‎ 即当时，函数取得极小值同时也是最小值，‎ 作出当时，与的图象如图：‎ 要使两个图象恰好有两个不同的交点，‎ 则，即，‎ 即，‎ 即，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的应用，以及分段函数的图象，利用定义作出关于原点对称的函数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键综合性较强，考查学生的作图能力．‎ 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）‎ ‎9.若x，y满足条件，则的最大值为______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】解：由x，y满足条件作出可行域如图，‎ 由，得，‎ 由图可知，当直线过可行域内点A时直线在y轴上的截距最大，z最大．‎ 联立，解得．‎ 目标函数的最大值为．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎10.双曲线C：的渐近线方程是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将双曲线化成标准方程，得到a、b值，即可得到所求渐近线方程．‎ ‎【详解】解：双曲线的标准方程为：‎ ‎，，可得，‎ 又双曲线的渐近线方程是 双曲线的渐近线方程是 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题．‎ ‎11.等比数列中，，则数列的通项公式______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为q，用首项和公比q表示出已知条件，计算即可求解．‎ ‎【详解】解：设等比数列的公比为q，，，‎ ‎，，‎ 解得．‎ 数列的通项公式．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎12.已知直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，若直线l与曲线C相交于两点A，B，则______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线参数方程中参数t的几何意义可得．‎ ‎【详解】解：由消去t可得，‎ 其参数方程的标准形式为：为参数，‎ 由得，得，‎ 将直线的参数方程代入中得，‎ 设A，B对应的参数为，，‎ 则，，‎ 所以．‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查直线参数方程的应用，属中档题．‎ ‎13.已知x，，求的最值．‎ 甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：‎ 甲：‎ 乙：‎ 你认为甲、乙两人解法正确的是______．‎ 请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．‎ ‎【答案】①甲 ②见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误，甲正确．‎ ‎【详解】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；‎ ‎②已知x，，求的最小值．‎ 甲：，‎ 乙：．‎ 故答案为：甲．‎ ‎【点睛】利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误，属中档题．‎ ‎14.一半径为‎4m的水轮，水轮圆心O距离水面‎2m，已知水轮每分钟转动按逆时针方向圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点开始计算时间．‎ 当秒时点P离水面的高度______；‎ 将点P距离水面的高度单位：表示为时间单位：的函数，则此函数表达式为______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1利用直角三角形的边角关系，即可求出5秒后点P离开水面的距离； 2由题意求值，结合的情况可求出的值，即得函数解析式．‎ ‎【详解】解： 1秒时，水轮转过角度为，‎ 在中，，；‎ 在中，，，‎ 此时点离开水面的高度为；‎ ‎2由题意可知，，‎ 设角是以Ox为始边，为终边的角，‎ 由条件得，其中；‎ 将，代入，得，‎ ‎；‎ 所求函数的解析式为．‎ 故答案为： 1， 2．‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义，是解题的关键．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）‎ ‎15.在中，且满足已知．‎ 求的大小；‎ 若的面积为，，求的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理，再进行三角恒等变换求的值，从而求出B值；由的面积公式，‎ 利用余弦定理求得b的值，再求的周长．‎ ‎【详解】解：中，，‎ 由正弦定理可得，‎ 整理可得，‎ 又A为三角形内角，，‎ 所以，‎ 由B为三角形内角，可得；‎ 由的面积为，即，‎ 所以，‎ 又，‎ 由余弦定理得 ，‎ 所以，‎ 的周长为．‎ ‎【点睛】本题考查三角形的正弦、余弦定理和面积公式应用问题，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，是中档题．‎ ‎16.在某区“创文明城区”简称“创城”活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：‎ 学校 A B C D 抽查人数 ‎50‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎“创城”活动中参与的人数 ‎40‎ ‎10‎ ‎9‎ ‎15‎ 注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值 假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．‎ Ⅰ若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；‎ Ⅱ在随机抽查的100名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；‎ Ⅲ若将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数．Ⅱ设事件A表示“抽取A校高中学生，且这名学生参与创城活动”，事件C表示“抽取C校高中学生，且这名学生参与创城活动”，则所求概率为：，由此能求出结果．Ⅲ将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，这3人参与“创城”活动人数，可求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望．‎ ‎【详解】解：Ⅰ该区共2000名高中学生，由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数为：．‎ Ⅱ设事件A表示“抽取A校高中学生，且这名学生参与创城活动”，‎ 事件C表示“抽取C校高中学生，且这名学生参与创城活动”，‎ 则从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，‎ 恰有1人参与“创城”活动的概率：‎ ‎．‎ Ⅲ将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，‎ 这3人参与“创城”活动人数，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 的分布列为：‎ ‎ X ‎0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，．‎ ‎【点睛】本题考查频数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、相互独立事件概率乘法公式、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎17.在四棱锥中，底面ABCD是边长为6的菱形，且，平面ABCD，，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点．‎ Ⅰ求证：．‎ Ⅱ若．‎ 求PC与平面BDF所成角的正弦值；‎ 侧面PAD内是否存在过点E的一条直线，使得该直线上任一点M与C的连线，都满足平面BDF，若存在，求出此直线被直线PA、PD所截线段的长度，若不存在，请明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 证明平面PAC即可得出；建立空间坐标系，求出平面BDF的法向量，计算和的夹角的余弦值即可；取PF的中点G，证明平面，即可得出结论．‎ ‎【详解】证明：平面ABCD，平面ABCD，‎ ‎，‎ 四边形ABCD是菱形，‎ ‎，‎ 又，平面PAC，平面PAC，‎ 平面PAC，‎ 又平面PAC，‎ ‎．‎ 解：设AC，BD交于点O，以O为坐标原点，以OB，OC，平面ABCD过点O的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，‎ 则0，，0，，，3，，，‎ ‎，0，，，‎ 设平面BDF的法向量为y，，则，即，‎ 令可得，即2，，‎ ‎，．‎ 与平面BDF所成角的正弦值为，．‎ 取PF的中点G，连接FG，CG，‎ ‎，G分别是PD，PF的中点，‎ ‎，又平面BDF，平面BDF，‎ 平面BDF，‎ ‎，O分别是AG，AC的中点，‎ ‎，又平面BDF，平面BDF，‎ 平面BDF，‎ 又平面CEG，平面CEG，，‎ 平面平面BDF，‎ 侧面PAD内存在过点E的一条直线EG，使得该直线上任一点M与C的连线，‎ 都满足平而BDF，‎ 此直线被直线PA、PD所截线段为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的判定和面面平行的判定与性质，考查利用空间向量求线面角，属于中档题．‎ ‎18.如图，已知椭圆C：，，分别为其左、右焦点，过的直线与此椭圆相交于D，E两点，且的周长为8，椭圆C的离心率为．‎ Ⅰ求椭圆C的方程；‎ Ⅱ在平面直角坐标系xOy中，已知点与点，过P的动直线不与x轴平行与椭圆相交于A，B两点，点是点B关于y轴的对称点．求证：‎ ‎，A，三点共线．‎ ‎．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ由三角形的周长可得，根据离心率可得，即可求出，则椭圆方程可求；Ⅱ当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线当直线l的斜率存在时，设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用向量证明．由可知Q，A，三点共线，即，问题得以证明.‎ ‎【详解】解：Ⅰ的周长为8，，即，‎ ‎，，，‎ 故椭圆C的方程为 Ⅱ证明：当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线．‎ 当直线l的斜率存在时，设直线方程为，‎ 联立，得．‎ 设，，则，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 与共线，则Q，A，三点共线．‎ 由可知Q，A，三点共线，‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎19.已知在点处的切线与直线平行．‎ Ⅰ求实数a的值；‎ Ⅱ设 若函数在上恒成立，求实数b的最大值；‎ 当时，判断函数有几个零点，并给出证明．‎ ‎【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）1；详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ求函数的导数，计算时的导数即可求出a的值；Ⅱ求的导数，讨论当和时的单调性，由单调性判断最值即可得到b的最大值；化简知0是的一个零点，利用构造函数法讨论和时，函数是否有零点，从而确定函数的零点情况．‎ ‎【详解】解：Ⅰ函数，则，‎ 由题意知时，，即a的值为1；‎ Ⅱ，‎ 所以，‎ 当时，若，则，，单调递增，所以；‎ 当时，若，令，解得舍去，，‎ 所以在内单调递减，，所以不恒成立，‎ 所以b的最大值为1；‎ ‎，显然有一个零点为0，‎ 设，则；‎ 当时，无零点，所以只有一个零点0；‎ 当时，，所以在R上单调递增，‎ 又，，‎ 由零点存在性定理可知，在上有唯一一个零点，‎ 所以有2个零点；‎ 综上所述，时，只有一个零点，时，有2个零点．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性问题，也考查利用导数研究函数在某一点处的切线问题，以及判断函数零点的应用问题，是中档题．‎ ‎20.给定数列，若满足且，对于任意的n，，都有，则称数列为“指数型数列”．‎ Ⅰ已知数列，的通项公式分别为，，试判断，是不是“指数型数列”；‎ Ⅱ若数列满足：，，判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；‎ Ⅲ若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列．‎ ‎【答案】（Ⅰ）不是指数型数列，是指数型数列；（Ⅱ）数列是“指数型数列”；（Ⅲ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ利用指数数列的定义，判断即可；Ⅱ利用，，说明数列是等比数列，然后证明数列为“指数型数列”；Ⅲ利用反证法，结合n为偶数以及奇数进行证明即可．‎ ‎【详解】Ⅰ解：对于数列，，‎ 所以不是指数型数列．‎ 对于数列，对任意n，，因为，‎ 所以是指数型数列．‎ Ⅱ证明：由题意，是“指数型数列”，‎ ‎，，‎ 所以数列是等比数列，，‎ ‎，数列是“指数型数列”．‎ Ⅲ证明：因为数列是指数型数列，故对于任意的n，，‎ 有，，‎ 假设数列中存在三项，，构成等差数列，不妨设，‎ 则由，得，‎ 所以，‎ 当a为偶数时，是偶数，而是偶数，是奇数，‎ 故不能成立；‎ 当a为奇数时，是偶数，而是奇数，是偶数，‎ 故也不能成立．‎ 所以，对任意，不能成立，‎ 即数列的任意三项都不成构成等差数列．‎ ‎【点睛】本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键．‎