甘肃省天水市一中2019届高三下学期第五次模拟考试数学（理）试题Word版含答案.doc

天水市一中2019届高三第五次模拟考试 数学试题（理科）‎ ‎（满分：150分 时间：120分钟）‎ 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1. 复数为纯虚数，若（为虚数单位），则实数的值为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 若非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5. 已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差为（ ）‎ A．1 B．‎2 C．4 D．6‎ ‎6. 直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（ ）.‎ A.种 B.种 C.种 D.种 ‎8.函数的图象大致是（ ）.‎ ‎9. 设，满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路 与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的 分别为14，18，则输出的等于（ ）.‎ A．2 B．‎4 C．6 D．8‎ 11. 设是一个正整数，在的展开式中，第四项的系数为，记函数与的图象所围成的阴影部分面积为，任取，，则点恰好落在阴影区域内的概率是（ ）.‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数，当时，函数在，上均为增函数，则的取值范围是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人． ‎ ‎14已知数列满足，，，那么成立的的最大值为 ‎ ‎15．已知函数，若在区间[-，]上单调递增，则的最小值是______．‎ ‎16. 设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分,过原点作的平行线交于点,若,则的离心率为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答请写出必要的文字说明和演算步骤.）‎ ‎17. 已知向量，设．‎ ‎（1）求函数的解析式及单调增区间；‎ ‎（2）在△中，分别为角的对边，且，求△‎ 的面积．‎ ‎18.自‎2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：‎ 产假安排（单位：周）‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 有生育意愿家庭数 ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎26‎ ‎（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？‎ ‎（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．‎ ‎①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；‎ ‎②如果用表示两种方案休假周数之和．求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎19.在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，‎ ‎，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．‎ ‎20. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求证：若，则；‎ ‎（2）当时，试讨论函数的零点个数.‎ 选做题：请在以下两题中任选一题作答，若两题都做，则按第22题给分.‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为,若曲线与相交于、两点．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求点到、两点的距离之积．‎ ‎23. （1）已知实数满足，证明：．‎ ‎（2）已知a>0，求证：－≥a＋－2.‎ 天水市一中2019届高三第五次模拟考试 数学试题（理科）参考答案与解析 1. A 2.B 3.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.B 9.B 10. A ‎ 11. D 由二项展开式的通项公式，得，令，‎ 则，‎ ‎∴，所求概率．‎ ‎12.A ,因为函数在，上均为增函数，所以在，上恒成立，即在，上恒成立，令，则在，上恒成立，所以有 ‎，，,即满足, 在直角坐标系内作出可行域，，其中表示的几何意义为点与可行域内的点两点连线的斜率，由图知k，所以k+1，即的取值范围为.‎ 13. ‎ 14.5 15.1‎ ‎16. 设交轴于点，，则，由OM∥PT，得，即，则，所以，又是的角平分线，则，代入得，所以.‎ ‎17.，‎ 由 可得，‎ 所以函数的单调递增区间为，.‎ （2） ‎，，.由 得，.‎ ‎18.解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；‎ 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为 ‎ ‎（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），‎ 其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得．‎ ‎②由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．‎ ‎，，‎ 因而的分布列为 ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ 所以.‎ ‎19.解：（1）设中点为，连结，‎ 因为//，且，所以//且，‎ 所以四边形为平行四边形，所以//，且．‎ 因为正方形，所以//，所以//，且，‎ 所以四边形为平行四边形，所以//．‎ 因为平面，平面，所以//平面．‎ （2） 如图，建立空间坐标系，则，，，，，所以，，． 设平面的一个法向量为，所以．令，则，‎ 所以． 设与平面所成角为，‎ 则．‎ 所以与平面所成角的正弦值是．‎ ‎（3）假设存在点满足题意，则，．‎ 设平面的一个法向量为，则，‎ 令，则，所以．‎ 因为平面平面，所以，即，‎ 所以， 故存在点满足题意，且．‎ ‎20.解：（1） 设椭圆的方程为，‎ 因为椭圆的左焦点为，所以，因为点在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的方程为． ‎ ‎（2）因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为． ‎ 因为直线与椭圆交于两点，，设点（不妨设），则点，联立方程组，消去，得，所以 ‎，则，所以直线的方程为，‎ 因为直线，分别与轴交于点，，令，得，即点，同理可得点，所以．设的中点为，则点的坐标为．则以为直径的圆的方程为，‎ 即． 令，得，即或．‎ 故以为直径的圆经过两定点，．‎ ‎21.解：.解：（1）当时，，则，‎ 则 ①， 令，得，‎ 当时，，∴，即，‎ ‎∴函数在上为增函数，即当时，，‎ ‎∴函数在上为增函数，即当时，.‎ ‎（2）由（1）和①式知，当时，，∴，‎ ‎∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为，‎ ‎∴，∴，，即②，‎ ‎（I）当时，，又，∴，‎ ‎∴由②式得，即 ，‎ ‎∴函数在上为增函数，又，‎ ‎∴当时，，当时，，‎ ‎∴函数在上有且仅有一个零点.‎ ‎（II）当时，‎ ⅰ）当时，，，∴，‎ 函数在时单调递减，∴，‎ 故时，函数在上无零点；‎ ⅱ）当时，由，得，‎ 函数在上单调递增，，当时，，∴由函数零点存在性定理知，使，故当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为，‎ 又，∴对，，‎ 又当时，，∴，‎ 由，∴，再由函数零点存在性定理知，使得，综上所述，当时，函数有且仅有一个零点，当时，函数有两个零点．‎ ‎22. 解析：(1) 曲线的普通方程为，,‎ 则的普通方程为，则的参数方程为： ‎ 代入得，. ‎ ‎(2) . ‎ ‎23. （1）证明：证法一，∴，，‎ ‎∴，． ∴，即， ‎ ‎∴，∴， ‎ 即，∴． ‎ 证法二：要证，只需证 ‎ 只需证只需证 即，∴，，∴成立．‎ ‎∴要证明的不等式成立． ‎ ‎（2）证明：要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋，‎ 只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，即证2≥，只需证4≥2，即证a2＋≥2，此式显然成立． ∴原不等式成立．‎ ‎ ‎