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高效冲刺用《高考数学必备题型手册》 第1页(共6页) 文科数学参考答案和评分标准 一．选择题 二．填空题 13. 11 14. 0xy 15. 5 6 16. 3 2 17. 解：(1)当 2n  时，因为 1 ( 1)  nnS na n n ① 所以 1 ( 1) ( 1)    nnS n a n n ②………………1 分 ① ②得： 1 ( 1) 2   n n na na n a n ………………2 分 即 1 2( 2)    nna a n ………………3 分 又 122Sa 即 21 2  aa ………………4 分 所以数列 na 是以19 为首项 2 为公差的等差数列， 所以 19 ( 1) ( 2) 21 2      na n n .………………6 分 (2)由(1)知 21 2nan 所以 | | | 21 2 |  nnb a n 因为当 10n 时 0na 当 10n 时 0na …………………………7 分 所以 21 2 , 10 2 21, 10   n nnb nn …………………………8 分 所以 20 1 2 20+  …T b b b (19 17 +1) (1 3 +19)     … … …………………………9 分 2(19 17 +1)  … …………………………10 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C C D C C B C B B A 高效冲刺用《高考数学必备题型手册》 第2页(共6页) (19+1) 102 2  …………………………11 分 200 …………………………12 分 18. （1）证明：取 BC 中点 M ，连接 AM 则四边形 AMCD 为菱形， 即有 1 2AM MC BC ，…………………………1 分 所以 AB AC …………………………2 分 AB Q 平面 ABCD 平面 ABCD 平面 PAC 平面 ABCDI 平面 PAC AC …………………………3 分 AB平面 PAC …………………………4 分 （2）由（1）可得 23PA AC ,…………………………5 分 60 , 120ABC BAC   oo 取 AC 中点O ，连接 PO ， 则 ,3PO AC PO…………………………6 分 PO Q 平面 PAC 平面 PAC 平面 ABCD 平面 PAC I 平面 ABCD AC PO平面 ABCD…………………………7 分 1 3D PAB P ABD ABDV V S PO     …………………………8 分 112 2 sin120 3 332      o ………………………9 分 由（1）有 AB 平面 ,得 AB PA …………………………10 分 1 2 2 3 2 32PABS     …………………………11 分 设点 D 到平面 PAB 的距离为 d 1 3D PAB PABV S dQ 3 2d …………………………12 分 高效冲刺用《高考数学必备题型手册》 第3页(共6页) 19.解：（1）由题意可知 1c  ，……………………………………1 分 离心率 2 2 c a  ，所以 2a  ……………………………………2 分 所以 2 2 2b a c=1……………………………………3 分 所以椭圆C 的方程为 2 2 12 x y，……………………………………4 分 （2）由题意可以设直线 l 的方程为 1x my， 由 2 2 12 1 x y x my     得 22( 2) 2 1 0m y my    ，……………………………5 分 2 2 24 4( 2) 8( 1) 0m m m = + + = + > 设 11( , )M x y ， 22( , )N x y ……………………………6 分 所以 ， 12 2 2 2 myy m+ = - + ， 12 2 1 2yy m=- + . ………………………7 分 所以 OMN 的面积 2 2 1 2 1 2 1 111 ( ) 422S OF y y y y y y= - = 创 +- ……………………………………8 分 2 2 2 2 2 1 2 4 2 1()2 2 2 2 mm m m m += - + =+ + + . ………………………………………9 分 因为 的面积为 2 3 ，所以 2 2 12 23 m m + =+ .………………10 分 解得 1m =? . ……………………………………11 分 所以直线 的方程为 + 1 0xy-=或 10xy- - = .………………………12 分 20.解：（1）根据已知数据可建立列联表如下： 一等级 非一等级 合计 A 生产线 20 80 100 B 生产线 35 65 100 合计 55 145 200 ……………………………1 分 高效冲刺用《高考数学必备题型手册》 第4页(共6页) 22 2 ( ) 200 (20 65 35 80) ( )( )( )( ) 55 145 100 100 200 1500 1500 1800 5.643 6.63555 145 100 100 319 n ad bcK a b c d a c b d                  ……………3 分 所以没有 99%的把握认为一等级的产品与生产线有关 ………………4 分 （2） A 生产线随机抽取的 100 件产品获利的平均数为：  1 1 10 20 8 60 6 20 8100x         （元） 获利方差为 2 2 2 2 1 1 (10 8) 20 (8 8) 60 (6 8) 20 1.6100s           ……6 分 B生产线随机抽取的 100 件产品获利的平均数为：  2 1 10 35 8 40 6 25 8.2100x         （元） 获利方差为 2 2 2 2 2 1 (10 8.2) 35 (8 8.2) 40 (6 8.2) 25 2.36100s            所以 22 12ss ，则 生产线的获利更稳定．………………8 分 （3）解法 1： ,AB生产线共随机抽取的 200 件产品获利的平均数为：  1 10 (20 35) 8 (60 40) 6 (20 25) 8.1200           （元）………………9 分 由样本估计总体，当产量为 2000 件产品时， 估计该工厂获利 2000 8.1 16200 （元）…………………………10 分 又因为 生产线共随机抽取的 200 件产品中，一等级的 A 线产品有 20 件， B 线产品有 35 件，由 样本频率估计总体概率，有 该工厂生产产品为一等级的概率估计值为 20 35 11 200 40   ．………………………11 分 当产量为 2000 件产品时，估计该工厂一等级产品获利 112000 10 550040   （元） ………………12 分 解法 2： 由（2）可知，由于 生产线各随机抽取 100 件产品， 则产品获利的平均数为： 128 8.2 8.122 xx （元） 由样本估计总体，当产量为 2000 件产品时， 高效冲刺用《高考数学必备题型手册》 第5页(共6页) 估计该工厂获利 2000 8.1 16200 （元）…………………………11 分 其余同解法 1 21. 解：（1） ()fx的定义域为(0, ) 又 / ( ) 1afx x…………………..1 分 ①当 0a  时，在(0, ) 上， / ( ) 0fx ， ()fx是减函数； ()fx无极値；……2 分 ②当 0a  时， / ( ) 0fx 得 xa 在 (0, )a 上 / ( ) 0fx ， ()fx是增函数；在( , )a  上， / ( ) 0fx ， ()fx是减函数，…3 分 所以当 xa 时， ()fx有极大值 ( ) ln 1f a a a a   ，无极小值，……4 分 综合知：①当 0a  时， ()fx无极値； ②当 0a  时， ()fx有极大值 ( ) ln 1f a a a a   ，无极小值；……5 分 （2）由（1）知：①当 0a  ， ()fx是增函数，又令 2 1 a be，ln 0b  2 2 2221 1 1 3( ) ( 1) 1 ( 1) 02 2 2 2 aa f b a a e a e          ，不成立；……6 分 ②当 0a  时，当 xa 时， ()fx取得极大值也是最大值， 所以 max( ) ( ) ln 1f x f a a a a    ………………7 分 要使得对任意 0x  ， 21( ) ( 1)2f x a成立， 即： 21ln 1 ( 1)2a a a a    则 231ln 022a a a a    成立 令 231( ) ln ( 0)22u a a a a a a     ………………8 分 所以 / ( ) ln 1 1 lnu a a a a a      令 /( ) ( ) lnk a u a a a   ………………………….9 分 / 11k ( ) 1 0ax aa     ， 得 1a  在 (0,1) 上， /k ( ) 0a  ， /( ) ( )k a u a 是增函数，在(1, ) 上， /k ( ) 0a  ， 高效冲刺用《高考数学必备题型手册》 第6页(共6页) /( ) ( )k a u a 是减函数， 所以当 1a  时， /( ) ( )k a u a 取得极大值也是最大值， // max( ) (1) 1 0u x u     …………11 分 在 (0, ) 上， / ( ) 0ua ， ()ua 是减函数，又 (1) 0u  要使得 ( ) 0ua  恒成立，则 1a  所以实数 a 的取值范围为[1, ) ………………..12 分 22. 解：（1）依题意得曲线C 的普通方程为 22 2213xy aa ，.......................2分 因为 cos( ) 2 24 所以 cos sin 4    ，...................................3分 因为 cosx  ， siny  ，...................................4分 所以直线l 的直角坐标方程为 4xy 即 40  xy ，........................5分 （2）设点 ( cos , 3 sin )P a a，则点 P 到直线 的距离 cos 3 sin 4 2   aa d ...................................7分 2 sin( ) 46 2   a  ...................................8分 因为 0a ，所以当sin( ) 16   时， max 2432 2 ad ，......................9分 所以 1a ............................................................................10 分 23. 解：（1） 3 1, 1, ( ) 3, 1 1, 3 1, 1. xx f x x x xx            ()y f x 的图像如图所示．..............................................5分 （2）由（1）知 min( ) ( 1) 2  f x f ，所以 2m .........................6 分 所以 1 2 12 ( 2 )( )2   a b a b ba..............................................7 分 5 2  ab ba ..............................................8 分 高效冲刺用《高考数学必备题型手册》 第7页(共6页) 592 22   ab ba ..............................................9 分 当且仅当 ab ba即 2 3ab 时等号成立， 所以 2ab 的最小值为 9 2 . ..............................................10 分