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高效冲刺用《高考数学必备题型手册》 第1页(共6页) 理科数学参考答案和评分标准 一．选择题 二．填空题 13. 6 14. 3 15. 12n na  16. 1 4 17. 解：（1）由正弦定理得： 2 2 sin 3(sin sin cos )B C A B …………………………1 分 3(sin( ) sin cos )A B A B   …………………………2 分 3(sin cos cos sin sin cos )A B A B A B   …………………………3 分 3cos sinAB …………………………4 分 (0, )A Q sin 0,A........................5 分 22cos 3A…………………………6 分 （2）如图， 2 1sin 1 cos 3BAC BAC     …………………………7 分 1cos sin 3CAD BAC    ……………8 分 设 3AD x ，则 2AC x ，在 ACD 中，由余弦定理，得 229 4 9 2 2 3 cosx x x x CAD       …………………………9 分 解得 1x  ，即 3, 2AD AC，…………………………10 分 1 2 3 sin2ACDS CAD      ………………………11 分 1 2 22 3 2 223     …………………………12 分 18.（1）证明：取 BC 中点 M ，连接 AM 则四边形 AMCD 为菱形，即有 1 2AM MC BC ，…1 分 所以 AB AC ………………………2 分 AB Q 平面 ABCD 平面 ABCD  平面 PAC 平面 ABCDI 平面 PAC AC …………3 分 AB平面 PAC ………………………4 分 又 AB  平面 PAB 平面 PAB 平面 PAC ………………………5 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D C C D B C B B B B 高效冲刺用《高考数学必备题型手册》 第2页(共6页) （2）由（1）可得 23AC  取 AC 中点O ，连接 PO ，则 ,3PO AC PO………………………6 分 PO Q 平面 PAC 平面 PAC 平面 ABCD 平面 PAC I 平面 ABCD AC PO平面 ABCD………………………7 分 以 A 为原点建系如图，则 (2,0,0),B ， (0, 3,3)P ， (0,2 3,0)C ， ( 1, 3,0)D  ，………………………8 分 ( 2,2 3,0)BC  uuur ， (0, 3, 3)PC  uuur ， ( 1, 3,0)CD    uuur 设平面 BPC 的法向量为 1 ( , , )n x y z ur ，则 2 2 3 0 3 3 0 xy yz     ，取 1z  ，得 1 (3, 3,1)n  ur ………………………9 分 设平面 PCD的法向量为 2 ( , , )n x y z uur ，则 30 3 3 0 xy yz     ，取 ，得 1 ( 3, 3,1)n  ur ………………………10 分 1 21 2 1 2 9 3 1 5cos , 13| || | 13 13 nnnn nn          r uurr uur r uur ………………………11 分 二面角 B PC D的余弦值为 5 13 ………………………12 分 19.解析：（1）设 ( ,0)Et 0t  ， (0, )Cm，......................1 分 由 1 2 EA EC EB EC      uuur uuur uuur uuur 得 1 1 1 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x t y t m x t y t m          ，.....................2 分 解得 1 1 2 2 tx t tx t       ......................3 分 设直线l 的斜率为 k ，其方程为 ()y k x t， 高效冲刺用《高考数学必备题型手册》 第3页(共6页) 由 2 () 4 y k x t xy    得 2 4 4 0x kx kt   ，......................4 分 16 ( ) 0k k t   时，设 11( , )A x y 22( , )B x y 1 2 1 24 , 4x x k x x kt    ，......................5 分 所以 2 2 1 2 1 2 12 22 () 441t x x t x x t kt kt tt       ......................6 分 （2）设 ( , )M x y ， 由 2 4xy 得 2 4 xy  ，所以 2 xy  .......................7 分 所以在 2 1 1( , )4 xAx 处的切线方程为 2 11 1()42 xxy x x   ，即 2 11 24 x x xy ， 同理在 2 2 2( , )4 xBx 的切线方程为 2 22 24 x x xy ，......................8 分 由 2 11 2 22 24 24 x x xy x x xy     得 12 12 2 4 xxx xxy     ，......................9 分 因为 (4,0)E ，即 4t  ......................10 分 所以由（1）得， 1 2 1 24 , 16x x k x x k    ，所以 2 4 xk yk    ，......................11 分 所以得 2yx ，即交点 在直线 上.......................12 分 20. 解：（1）设从 ,AB生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C ， 设从 生产线上抽检到合格品分别为事件 ,MN，则 互为独立事件……1 分 由已知有 ()P M p ， ( ) 2 1P N p且(0.5 1)p，则   2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 (1 ) 1 (2 1) 1 2(1 ) P C P M N P M P N p p p               ……………………………2 分 令 21 2(1 ) 0.995p   ，即 2(1 ) 0.0025p ，解得 0.95p  ……………………3 分 故 p 的最小值 0 0.95p  ． ……………………………4 分 （2）由（1）可知 生产线生产的产品为合格品的概率分别为0.95和0.9 高效冲刺用《高考数学必备题型手册》 第4页(共6页) 即 ,AB生产线的不合格品率分别为0.05和0.1 ……………………………5 分 ①解法 1： 设从 生产线上各随机抽检 1000 件产品，抽到的不合格品件数分别为 12,XX， 则 1 ~ (1000 , 0.05)XB ， 2 ~ (1000 , 0.1)XB ……………………………6 分 所以 生产线挽回损失的平均数分别为 1(5 ) 5 1000 0.05 250EX    （元）， 2(3 ) 3 1000 0.1 300EX    （元）……7 分 则 12(5 ) (3 )E X E X ，估计 B 线挽回的平均损失较多．…………………………8 分 ①解法 2： 由已知， A 生产线上随机抽检 1000 件产品， 估计有不合格品1000 0.05 50（件），可挽回损失：50 5 250 （元）；……6 分 生产线上随机抽检 1000 件产品， 估计有不合格品1000 0.1 100 （件），可挽回损失：100 3 300 （元）……7 分 则估计 线挽回的平均损失较多． …………………………8 分 ②由已知， 10, 8, 6X  ，用样本的频率分布估计总体分布，则 20 35 11( 10) 200 40PX    ， 60 40 1( 8) 200 2PX    ， 20 25 9( 6) 200 40PX    …………………………10 分 X 的分布列为 X 10 8 6 P 11 40 1 2 9 40 …………………………11 分 ∴ 11 1 9 81( ) 10 8 6 8.140 2 40 10EX         （元） 故估计该厂产量 2000 件时利润的期望值为 2000 8.1 16200 （元）．…………12 分 21. 解：（1） ()fx的定义域为( , )  又 / () xf x e a ①当 0a  时，在( , )  上， / ( ) 0fx ， ()fx是增函数， ()fx无极値； ②当 0a  时， / ( ) 0fx 得 lnxa 在 ( ,ln )a 上， / ( ) 0fx ， ()fx是减函数； 在 (ln , )a  上， / ( ) 0fx ， ()fx是增函数， 高效冲刺用《高考数学必备题型手册》 第5页(共6页) 所以当 lnxa 时， ()fx取得极小值 (ln ) ln lnf a a a a a a a     ，无极大值； 综合知：①当 0a  时， ()fx无极値； ②当 0a  时， ()fx有极小值 (ln ) lnf a a a ，无极大值； （2）设 12,xx是 ()fx的两个零点，则 0a  即 12,xx是方程 ( ) 0fx 的根 所以 12,xx是方程 11 x x ae  的根 令 1() x xhx e  即 12,xx是函数 ()hx 与 1y a 图像的交点的横坐标 又 / 2 ( 1)( ) 0 xx xx e x e xhx ee      ，得 0x  在 ( ,0) 上 / ( ) 0hx ， ()hx 是增函数；在(0, ) 上 / ( ) 0hx ， ()hx 是减函数， 所以：当 0x  时， ()hx 取得极大値 (0) 1h  又当 1x  时， ( ) 0hx  ； 1x  时， ( ) 0hx 要使得函数 与 图像有两个交点，则 101a 则 1a  且 1210xx    120xx 210xx    ，且 101x   要证 120xx，即证 1 2 1 1( ) ( ) ( )h x h x h x a    又 12 1 1 1 1( ) ( ) (1 ) 1 0xh x h x x e x       令 2( ) (1 ) 1( 1 0)xk x x e x x       即证： ( ) 0kx / 2 2 2( ) 2(1 ) 1 (1 2 ) 1x x xk x e x e x e        令 /2( ) ( ) (1 2 ) 1xm x k x x e    / 2 2 2( ) 2 2(1 2 ) 4x x xm x e x e xe      在 ( 1,0) 上 / ( ) 0mx ， ()mx是增函数，所以 /( ) ( ) (0) 0m x k x m   ，则 ()kx是减 函数，所以 ( ) (0) 0k x k成立 所以 120xx成立. 22. 解：（1）依题意得曲线C 的普通方程为 22 2213xy aa ，.......................2分 因为 cos( ) 2 24 所以 cos sin 4    ，...................................3分 因为 cosx  ， siny  ，...................................4分 所以直线l 的直角坐标方程为 4xy 即 40  xy ，........................5分 高效冲刺用《高考数学必备题型手册》 第6页(共6页) （2）设点 ( cos , 3 sin )P a a，则点 P 到直线l 的距离 cos 3 sin 4 2   aa d ...................................7分 2 sin( ) 46 2   a  ...................................8分 因为 0a ，所以当sin( ) 16   时， max 2432 2 ad ，......................9分 所以 1a ............................................................................10 分 23. 解：（1） 3 1, 1, ( ) 3, 1 1, 3 1, 1. xx f x x x xx            ()y f x 的图像如图所示．..............................................5分 （2）由（1）知 min( ) ( 1) 2  f x f ，所以 2m .........................6 分 所以 1 2 12 ( 2 )( )2   a b a b ba..............................................7 分 5 2  ab ba ..............................................8 分 592 22   ab ba ..............................................9 分 当且仅当 ab ba即 2 3ab 时等号成立， 所以 2ab 的最小值为 9 2 . ..............................................10 分