河西区2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）
数 学 试 卷（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件，互斥，那么
·如果事件，相互独立，那么
·柱体的体积公式
·锥体的体积公式
其中表示柱（锥）体的底面面积
表示柱（锥）体的高
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设全集，，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）若变量 满足约束条件 则 的最小值等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）如图所示,程序框图的输出结果是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）设,，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）在平行四边形中，，，，分别是的中点，与交于，则的值
（A）
（B）
（C）
（D）
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数 学 试 卷（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）设（是虚数单位），则 .
（10）在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 .
（11）的展开式中的系数为 .（用数字作答）
(12）已知曲线的参数方程为 (为参数), 在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.
(13）若，则的最小值为_____________.
（14）已知函数满足，，其中，若函数有个零点，则实数的取值范围是 .
三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
在中，，，对应的边为，，.
（Ⅰ）若，，且的面积等于，求和，的值；
（Ⅱ）若是钝角，且，，求的值.
（16）（本小题满分13分）
0
1
2
3
甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为， (＞)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
（Ⅰ）求至少有一位学生做对该题的概率；
（Ⅱ）求，的值；
（Ⅲ）求的数学期望.
（17）（本小题满分13分）
如图，平面平面，，四边形为平行四边形，，，为线段的中点，点满足.
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
（18）（本小题满分13分）
数列是等比数列，公比大于，前项和，是等差数列，
已知，，，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式，；
（Ⅱ）设的前项和为，
（i）求；
（ii）证明：.
（19）（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.
（20）（本小题满分14分）
已知函数，在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）对于在中的任意一个常数，是否存在正数，使得,请说明理由．
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数学试题（理工类）参考答案及评分标准
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.
（1）C
（2）A
（3）C
（4）D
（5）B
（6）C
（7）B
（8）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
（15）本小题满分13分.
（Ⅰ）解：因为,,所以.
所以.
由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得．
联立方程组 解得，． ……………………7分
（Ⅱ）解：因为是钝角，且，.
所以
所以
……13分
（16）本小题满分13分.
（Ⅰ）解：设“甲做对”为事件，“乙做对”为事件，“丙做对”为事件
，由题意知，.
由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是. ……………4分
（Ⅱ）解：由题意知，
，
整理得 ，.
由，解得，. ……………8分
（Ⅲ）解：由题意知
，
=，
所以的数学期望为=.
…………13分
x
y
z
（17）本小题满分13分.
（Ⅰ）证明：连接，交于点，连接
在平行四边形中，因为，
所以，
又因为，即，
所以，
又因为平面，平面，
所以直线平面. ……………4分
（Ⅱ）证明：因为，为线段的中点，
所以，又因为平面平面于，平面
所以平面
在平行四边形中，因为，，所以
如图，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，
则， 因为平面
设，则，，
所以，
所以，又因为
所以平面，又因为平面
所以平面平面. ……………8分
（Ⅲ）解：因为，
设为平面的一个法向量
则 不妨设
因为，
设为平面的一个法向量
则 不妨设
因为平面平面，所以，所以以为
所以
所以，，
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为. ……………13分
（18）本小题满分13分.
（Ⅰ）解：设数列的公比为（）
，，（舍）或 ，
设数列的公差为
，.……………6分
（Ⅱ）解：
. ……………13分
（19）本小题满分14分.
（Ⅰ）解：由已知得，即，解得，所以，
得，椭圆方程为 . ……………………5分
（Ⅱ）解： 设直线的斜率为，则直线的方程为，
设由方程组，消去，
整理得
解得或，
所以点坐标为.
由（Ⅰ）知，，设，有，
，由,则，
所以，解得，
因此直线的方程为，设，
由方程组消去，解得，
在中，，
即，化简得，即，
解得，或.
所以，直线的斜率的取值范围为.………14分
（20）本小题满分13分.
（Ⅰ）解：函数的导数为，在点处的切线
方程为，可得，
所以函数的切线方程为，即，
所以，解得. ……………………3分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，因为，
所以，即为，
可令，，由，
可得，即有，在递增，
可得，所以，故的取值范围为；
……………………7分
（Ⅲ）解：对于在中的任意一个常数，
假设存在正数，使得：．
由成立，
从而存在正数，使得上式成立，只需上式的最小值小于即可．
令，
令，解得，令，解得，
则为函数的极小值点，即为最小值点．
故的最小值为
，
再令
则在递增，可得，则.
故存在正数，使得. ……………………14分
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