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宁城县高三年级统一考试(2018.03.20)
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）
1．已知集合，，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2．若复数z满足 则复数对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3．若满足则下列不等式恒成立的是
（A） （B）
（C） （D）
4．执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是
（A） （B）
（C） （D）
5．《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里.驽马初日行九十七里，日减半里……”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去.已知长安和齐的距离是3000里.良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里.驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里……”。试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为
（A） 1235 （B）1800 （C） 2600 （D）3000
6．的两边长为，其夹角的余弦为，则其外接圆半径为（ ）
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
7．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是
（A） （B）1 （C） （D）2
8. 已知函数，将的图象上所有的点 的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于原点对称，则的一个值是.
（A） （B） （C） （D）
9．已知椭圆长轴两个端点分别为A、B，椭圆上一动点P（不同于A，B）和A、B的连线的斜率之积为常数，则椭圆C的离心率为
（A） （B） （C） （D）
10．如图在矩形OABC中的曲线分别是、，，在矩形OABC内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为
（A） （B） （C） （D）
11. 已知双曲线的中心为O，过焦点F向一条渐近线作垂线，垂足为A，如果△OFA的内切圆半径为1，则此双曲线焦距的最小值为
（A） （B） （C） （D）
12. 已知函数则方程恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）
13. 展开式中系数为________;
14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的为 .
15．有六名同学参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1～6号，得第一名者将参加全国数学竞赛。今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：不是1号就是2号；乙猜：3号不可能；丙猜：4号、5号、6号都不可能；丁猜：是4号、5号、6号中的某一个。以上只有一个人猜测对，则他应该是_____________.
16. 已知正四面体ABCD的棱长为，四个顶点都在球心为O的球面上，过棱AB的中点M作用球O的截面，则截面面积的最小值为___________.
三、解答题（共6小题，满分70分）
17.（本题满分12分）
数列的前n项和为若，点在直线上.
(I）求证：数列是等差数列；
（II）若数列满足，求数列的前n项和.
18．（本题满分12分）
某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：
类 别
分值区间
女性用户
频数
20
40
80
50
10
男性用户
频数
45
75
90
60
30
（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；
（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望.
19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，分别为，的中点，平面，求直线与平面所成角的大小．
20．（本题满分12分）
已知抛物线C:的焦点为F，过F的直线l与C相交于A,B两点.
(Ⅰ)若，求直线的方程；
(Ⅱ)若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆E上，求圆E的标准方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数
(1) 当时,讨论的单调性;
(2) 若在定义域内有两个极值点,求证:.
四、选做题
请考生在22,23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于A，B两点．
（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；
（Ⅱ）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知，函数的最小值为1.
（1）求证：；
（2）若恒成立，求实数的最大值.
宁城县高三年级统一考试(2018.03.20)
数学试题（理科）参考答案
一、选择题：CDDC ABCD ABDC
二、填空题：13、-5； 14、； 15、丙； 16、.
三、解答题
17．解：（I）上，
同除以------------------4分
数列是以3为首项，1为公差的等差数列. …………5分
（II）由（I）可知，
当n=1时，a1=3，
当-------------------6分
经检验，当n=1时也成立，
--------------------------------7分
① -----------9分
②
①－②得：------10分
即…………12分
18．解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：
女性用户 男性用户
由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. ---------------4分
（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取名用户，评分不低于分有人，其中评分小于分的人数为，---------------------------5分
从人人任取人，记评分小于分的人数为，则取值为，
；；.--------8分
所以的分布列为
或.--------------12分
19．解：（1）连接，交于点，
∵底面是正方形，
∴，且为的中点，
又∵，，
∴平面---------2分
由于平面，故，
又∵，故；………………4分
（2）设的中点为，连接，，//，
∴为平行四边形，，
∵平面，
∴平面，
∴，的中点为，
∴，
由平面，又可得，
又∵，，
∴平面，
∴，
又∵，
∴平面，------------------6分
由题意，，，两两垂直，以为坐标原点，向量，， 的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，…………8分
，，……10分
而为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，，
∴直线与平面所成角为.……………………12分
20．解：（Ⅰ）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为
，（m≠0） ①
代入中，得，
设A(x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，② ---------2分
∵，即
∴，代入①得------------------------4分
∴直线的方程为或--------------5分
（也可写成或）
(Ⅱ) ∵
∴AB的中点为D(2m2+1,2m），，---6分
因直线的斜率为－m，所以直线的方程为
将上式代入中，并整理得.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则.
故MN的中点为E（
.----------------8分
由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于
,从而,
即，
解得 m=1或m=－1，----------------10分
圆心或，半径
圆E的方程为或--------------12分
22.解：（Ⅰ）曲线的参数方程：（为参数），曲线的普通方程为．………………2分
当时，直线的方程为，…………3分
代入，可得，∴.
∴；……………………5分
（Ⅱ）直线参数方程代入，
得．………………7分
设对应的参数为，
∴．…………10分
23．解：（Ⅰ）法一：，
∵且，
∴，当时取等号，即的最小值为，
∴，. ------------------------5分
法二：∵，
∴，--------3分
显然在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，
∴，. -------------5分
（Ⅱ）∵恒成立，
∴恒成立，
当时，取得最小值，
∴，即实数的最大值为.------------10分
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