温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件互斥,那么 如果事件相互独立,那么
.
柱体的体积公式. 锥体的体积公式.
其中表示柱体的底面积, 其中表示锥体的底面积,
表示柱体的高. 表示锥体的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1) 设全集，集合,,则
(A) (B) (C) (D)
结束
开始
是
否
输入n
结束
输出
(2) 已知满足约束条件则的最小值为
(A) 2 (B) 4 (C) (D)
(3) 执行如图所示的程序框图,若输入的，
则输出
(A) (B) (C) (D)
(4) 下列结论错误的是
(A) 命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”
(B) “”是“”的充分不必要条件
(C) 命题：“， ”的否定是“， ”
(D) 若“”为假命题，则均为假命题
(5) 已知函数的图象关于直线对称，当时，，若，，，则的大小关系是
(A) (B) (C) (D)
(6) 将函数f(x)＝2cos图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是
(A) (B) (C) (D)
(7) 已知双曲线的右焦点为，直线与一条渐近线交于点，的面积为为原点），则抛物线的准线方程为
(A) (B) (C) (D)
(8) 在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
注意事项:
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2. 本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上.
(9) 如果（表示虚数单位），那么 .
高三年级数学（文科）试卷 第5页（共4页） 高三年级数学（文科）试卷 第6页（共4页）
(10) 已知曲线的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为 .
(11) 过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离为 .
(12) 一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2 cm的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为cm的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为 .
(13) 若不等式对任意实数都成立,则实数的最大值为 .
(14) 已知函数且函数在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分13分)
已知三角形中，角的对边分别是，且=.
(Ⅰ)求角的大小及的值；
(Ⅱ)若的面积为，求的最小值.
(16) (本小题满分13分)
某地区有小学21所，中学14所，大学7所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查.
(Ⅰ) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(Ⅱ) 若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析：
①列出所有可能抽取的结果；
②求抽取的2所学校没有大学的概率.
(17) (本小题满分13分)
如图,已知平面，，
且是的中点，.
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求证：平面平面；
(Ⅲ) 求与平面所成角的正弦值.
(18) (本小题满分14分)
设椭圆的左、右焦点分别、，右顶点为，上顶点为.已知.
(Ⅰ) 求椭圆的离心率；
(Ⅱ) 设是椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，且经过原
点的直线与该圆相切，求直线的斜率.
(19) (本小题满分13分)
已知数列是正项等比数列，,数列满足条件.
(Ⅰ) 求数列、的通项公式；
(Ⅱ) 设,记数列的前项和.
①求；
②求正整数，使得对任意，均有.
(20) (本小题满分14分)
已知函数为常数）.曲线在点处的切线与轴平行.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 求函数的单调区间；
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(Ⅲ) 设,其中为的导函数.
证明：对任意，.
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和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第二次质量调查
数学（文）学科试卷参考答案
一、选择题 (每小题5分，共40分)
(1) B (2) C (3) B (4) B (5) D (6) A (7) C (8) B
二、填空题 (每小题5分，共30分)
(9) (10) (11) (12) (13) (14)
三、解答题 (本大题共6小题，共80分)
(15) (本题13分)
(Ⅰ) 解:由正弦定理 及已知=
得= …… (2 分)
即= …… (3 分)
由中，. 得 ……(4 分)
由，得.故. …… (6 分)
所以，. …… (8 分)
(Ⅱ) 解:由题知 ，解得 ……… (10 分)
，当且仅当时等号成立. ……… (12 分)
所以，的最小值为 . ……… (13 分)
(16) (本题13分)
(Ⅰ) 解: 学校总数为，分层抽样的比例为 … (2 分)
计算各类学校应抽取的数目为：，，. (3 分)
故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为所. …… (4 分)
(Ⅱ) 解: ① 在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为；2所中学分别记为；1所大学记为. …… (5 分)
则应抽取的2所学校的所有结果为：
，，，，，
，，，，
，，，
，，，共15种. …… (10 分)
②设“抽取的2所学校没有大学”作为事件.其结果共有10种.
所以，. …………(13分)
(17) (本题13分)
(Ⅰ) 证明: 如图，取的中点,连. …… (1 分)
由是的中点，∴，且.
又，且.
∴，且.
∴是平行四边形. …… (2 分)
从而.
又平面，平面，
因此，平面. …… (4 分)
(Ⅱ) 证明: ∵，是的中点，
∴. …… (5 分)
∵平面，.
∴平面
又平面，∴. ……（6 分)
而，
∴平面. …… (7 分)
由知平面. …… (8 分)
∵平面，
∴平面平面. …… (9 分)
(Ⅲ) 解: 由(Ⅱ) 知平面.
∴是在平面内的射影. …… (10 分)
则与平面所成的角为. …… (11 分)
在中，由已知计算得.
则. …… (12 分)
因此，与平面所成角的正弦值为. …… (13 分)
(18) (本题13分)
高三年级数学（文科）答案 第3页（共4页） 高三年级数学（文科）答案 第4页（共4页）
(Ⅰ) 解: 由 ，可得 ， …………(1分)
又，解得.则椭圆的离心率. …………(3分)
(Ⅱ) 解：由(Ⅰ)知,, .故椭圆方程为. ………(4分)
设.由，，有，.
由已知，有，即 . ……………(5分)
又 故有. ①
又因为点在椭圆上，故 ② ……………(6分)
由①和②可得.而点不是椭圆的顶点，
故.代入①得，即点的坐标为 . …………(7分)
设圆的圆心为，则， ，
进而知圆的半径 . ……(9分)
设直线的斜率为 ，依题意，直线的方程为. ……(10分)
由与圆相切，可得，即 . ………(11分)
整理得 ，解得.
所以，直线的斜率为 或 . …………(13分)
(19) (本题14分)
(Ⅰ) 解:设. …………(1分)
由得. 解得或0或.
已知数列是正项等比数列，舍和0.则 ………(3分)
数列的通项公式为. …………………(4分)
∵
∴.则.
数列的通项公式为. …………………(6 分)
(Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得
①设，的前项和为.则.……(7分)
又设，的前项和为. ……(8分)
则. ……(9分)
所以 ……(10分)
②令. ……(11分)
由于比变化快，所以令得.
即递增，而递减.所以，最大. ……(13分)
即当时，. ……(14分)
(20) (本题14分)
(Ⅰ) 解:由可得. …………(1分)
而，即，解得. ………(2分)
(Ⅱ) 解:由(Ⅰ)知，.
设，则.即在上是减函数. (3分)
由知，当时，，从而；
当时，，从而. ………(5分)
综上可知，的单调递增区间为，单调递减区间为. ……(6分)
(Ⅲ) 证明:因为，所以，. …(7分)
对任意，等价于. ………(8分)
设，，
则，.
当时，，故有单调递增.
当时，，故有单调递减.
所以，的最大值为.则. ………(10分)
设
因为，所以当时，，单调递增.
则.即，从而有. ………(12分)
则.
因此，对任意，. ………(14分)
高三年级数学（文科）答案 第3页（共4页） 高三年级数学（文科）答案 第4页（共4页）
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