温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件互斥,那么 如果事件相互独立,那么
.
柱体的体积公式. 锥体的体积公式.
其中表示柱体的底面积, 其中表示锥体的底面积,
表示柱体的高. 表示锥体的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1) 设全集，集合,,则
(A) (B) (C) (D)
结束
开始
是
否
输入n
结束
输出
(2) 已知满足约束条件则的最小值为
(A) 2 (B) 4 (C) (D)
(3) 执行如图所示的程序框图,若输入的，
则输出
(A) (B) (C) (D)
(4) 下列结论错误的是
(A) 命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”
(B) “”是“”的充分不必要条件
(C) 命题：“， ”的否定是“， ”
(D) 若“”为假命题，则均为假命题
(5) 的图象向右平移个单位，所得到的图象关于轴对称，则的值为
(A) (B) (C) (D)
(6) 已知是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，设
则的大小关系是
(A) (B) (C) (D)
(7) 已知双曲线的右焦点为，直线与一条渐近线交于点，的面积为为原点），则抛物线的准线方程为
(A) (B) (C) (D)
(8) 在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
注意事项:
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2. 本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上.
(9) 如果（表示虚数单位），那么 .
(10) 若直线与曲线(为参数)交于两点，则 .
(11)
高三年级数学（理科）试卷 第5页（共4页） 高三年级数学（理科）试卷 第6页（共4页）
在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有 种.(用数字作答)
(12) 一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2 cm的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为cm的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为 .
(13) 若不等式对任意实数都成立,则实数的最大值为 .
(14) 已知函数且函数在内
有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分13分)
已知函数
(Ⅰ)求在上的单调递增区间；
(Ⅱ)在中，分别是角的对边，为锐角，若，
且的面积为，求的最小值.
(16) (本小题满分13分)
高一年级 高二年级
7 7 8 0 9 9 6 5
2 4 5 1 9 7 5 4
0 1 3 3 2 2 1
某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛，从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛。在规定时间内，他们检索到的
图书册数的茎叶图如图所示，规定册数不小于
20的为优秀.
(Ⅰ) 从两个年级的参赛志愿者中各抽取两人，求抽取的4人中至少一人优秀的概率；
(Ⅱ) 从高一10名志愿者中抽取一人，高二10名志愿者中抽取两人，3人中优秀人数记为，求的分布列和数学期望.
(17) (本小题满分13分)
如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直，
，,点在线段上.
(Ⅰ) 若点为的中点，求证：平面；
(Ⅱ) 求证：平面平面；
(Ⅲ) 当平面与平面所成二面角的余弦值为时，求的长.
(18) (本小题满分14分)
设椭圆的左、右焦点分别、，右顶点为，上顶点为.已知.
(Ⅰ) 求椭圆的离心率；
(Ⅱ) 设是椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，且经过原
点的直线与该圆相切，求直线的斜率.
(19) (本小题满分13分)
已知单调等比数列中，首项为，其前n项和是，且成等差数列,数列满足条件
(Ⅰ) 求数列、的通项公式；
(Ⅱ) 设,记数列的前项和.
①求 ; ②求正整数，使得对任意，均有.
(20) (本小题满分14分)
已知函数,当时, 取得极小值.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)记,设是方程的实数根,若对于定义域中
任意的 .当,且时,问是否存在一个最小的正整数,
使得 |恒成立，若存在请求出的值；若不存在请说明理由.
(Ⅲ)设直线,曲线.若直线与曲线同时满足下列两个条件：
① 直线与曲线相切且至少有两个切点；
② 对任意都有.则称直线为曲线的“上夹线”.
试证明：直线是曲线的“上夹线”.
高三年级数学（理科）试卷 第5页（共4页） 高三年级数学（理科）试卷 第6页（共4页）
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和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第二次质量调查
数学（理）学科试卷参考答案
一、选择题 (每小题5分，共40分)
(1) B (2) C (3) B (4) B (5) A (6) D (7) C (8) B
二、填空题 (每小题5分，共30分)
(9) (10) (11) (12) (13) (14)
三、解答题 (本大题共6小题，共80分)
(15) (本题13分)
(Ⅰ) 解:= …… (2 分)
== …… (3 分)
由，得 . … (4 分)
设，. 则.
所以，在上的单调递增区间为. ……(6 分)
(Ⅱ) 解:由 得.
化简得. 又因为，解得. …… (9 分)
由题知 ，解得 …… (11 分)
，当且仅当时等号成立.
所以，的最小值为 . ……… (13 分)
(16) (本题13分)
(Ⅰ) 解: 由茎叶图知高一年级有4人优秀，高二年级有2人优秀. …… (1 分)
记“抽取的4人中至少有一人优秀”为事件.
则 ……… (4 分)
(Ⅱ) 解: 的所有可能取值为. ……………(5 分)
， ……………(6 分)
， ……………(8 分)
……………(10分)
……………(11分)
0
1
2
3
∴随机变量的分布列为 ……(12分)
的数学期望 . …………(13分)
(17) (本题13分)
(Ⅰ)证明: ∵正方形与梯形所在的平面互相垂直，为交线，
∴平面，由已知得两两垂直,如图建系，可得, ,，，,.…(1分)
由为的中点，知 取得. ………(2分)
易知平面的法向量为 ………(3分)
………4分)
平面 平面 ………(5分)
(Ⅱ) 证明:由(Ⅰ)知 ,,
设平面的法向量为，
平面的法向量为
由 得 …(6分)
由 得…(7分)
∵.∴平面平面. …………(8 分)
(Ⅲ) 解:设,设，计算得， ………(9 分)
则，
设平面的法向量为，
由 得 ………(10 分)
易知平面的法向量为， ………(11 分)
由已知得
解得，此时 ……(12 分)
，则，即的长为. …(13 分)
(18) (本题13分)
(Ⅰ) 解: 由 ，可得 ， …………………(1分)
高三年级数学（理科）答案 第3页（共4页） 高三年级数学（理科）答案 第4页（共4页）
又，解得.则椭圆的离心率. ……………(3分)
(Ⅱ) 解：由(Ⅰ)知,, .故椭圆方程为. …………(4分)
设.由，，有，.
由已知，有，即 . ……………(5分)
又 故有. ①
又因为点在椭圆上，故 ② ……………(6分)
由①和②可得.而点不是椭圆的顶点，
故.代入①得，即点的坐标为 . …………(7分)
设圆的圆心为，则， ，
进而知圆的半径 . ……………(9分)
设直线的斜率为 ，依题意，直线的方程为. ……………(10分)
由与圆相切，可得，即 . ………(11分)
整理得 ，解得.
所以，直线的斜率为 或 . ………………(13分)
(19) (本题14分)
(Ⅰ) 解:设. 由已知得 即
进而有. 所以，即 ，则
由已知数列是单调等比数列，且 所以取 ………(3 分)
数列的通项公式为. ……………………(4分)
∵ ∴.则.
数列的通项公式为. …………………………(6 分)
(Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得
①设，的前项和为.则.……(7分)
又设，的前项和为. ……(8分)
则. ……(9分)
所以 ……(10分)
②令. ……(11分)
由于比变化快，所以令得.
即递增，而递减.所以，最大. ……(13分)
即当时，. ……(14分)
(20) (本题14分)
(1)解:由已知f′(x)=a+bcosx,于是得： …………(1分)
代入可得：a=1,b=−2. …………(2分)
此时， . 所以.
当时，; 当时，. …………(3分)
所以当x=时，f(x)取得极小值, 即a=1,b=−2符合题意. ……(4分)
(Ⅱ) 解：,则>0. 所以 .
为的根,即,也即 ……(5分)
∴, ……(7分)
∴=|h(1)−h(−1)|=1+
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