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2019年万州二中高2021级高一下期中期考试
数 学 试 题 卷
满分150分,考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第I卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设a＝，b＝(3,1)，若ab，则实数k的值等于 ( )
（A）－ （B）－1 （C）1 （D）
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a6＝10，则S9等于（ ）
（A）40 （B）45 （C）50 （D）90
3．在△ABC中，已知a＝4，b＝2，A＝45°，则角B等于( )
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
4．以下给出了4个命题
（1）两个长度相等的向量一定相等；
（2）相等的向量起点必相同；
（3）若•＝•，且≠，则＝；
（4）若向量的模小于的模，则＜．
其中正确命题的个数共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
则＝（ ）
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A． B． C． D．
6．数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1+a2＝，a3+a4+a5+a6＝，则a7+a8＝（ ）
A． B． C． D．
7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tan B＝，·＝，则
tan B等于( )
A. B. 2－ C. 2 D. －1
8.在等差数列{an}中， =﹣2012，其前 n 项和为 Sn，﹣=2002，则 =（ ）
A．8068 B．2019 C．﹣8027 D．﹣2017
9．如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，x＞0，y＞0，则x+y＝（ ）
A． B． C． D．
10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如右图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )
A．4072 B．2026 C．4096 D．2048
11．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，f（x）＝若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的最大值是（ ）
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A．﹣1 B．﹣ C． D．
12．已知函数，且对于任意实数关于的方程都有四个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
第II卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共20分）
13.设向量，满足，则___________．
14.已知数列前n项和Sn＝2n2﹣3n+1，n∈N*，则它的通项公式为 .
15.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.则a的值为
16. 若（），则在中，正数的个数是
三、解答题：本大题共6个小题共70分（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
17.（本小题满分10分）
设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，﹣2），C（4，1），
（1）若，求点D的坐标；
（2）设向量，若与垂直，求实数k的值．
18．（本小题满分12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝10，S3＝24．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最大值．
19．（本小题满分12分)
在ABC 中， = (sin A, cos C), = (cos B, sin A) ，且= sin B + sin C ．（Ⅰ）求证：ABC 为直角三角形；（Ⅱ）若 ABC 外接圆的半径为1，求ABC 的周长的取值范围．
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20．（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足．
（Ⅰ）证明数列{an+2}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝n•an，求数列{bn}的前n项和Kn．
21.（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），，C（cosθ，sinθ），其中．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）是否存在，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且S1，S2的等差中项为S 3，若.
（1）求数列[an]的通项公式；
（2）记，对于任意的，，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
2019年万州二中高2021级高一下期中期考试
数学试题答案
一、选择题：
1-5.CBADC 6-10.ABBBA 11-12.CC
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二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共20分）
13. 14.an＝ 15. 2 16． 86 ．
三、解答题：本大题共6个小题共70分（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
17.（本小题满分10分）
解：（1）设点D的坐标为（x，y），则：；
∵，得；
∴；
即x＝6，y＝﹣9；
∴点D的坐标是（6，﹣9）；----（5分）
（2）∵；
∴，；
∵与垂直；
∴；
即：7k﹣14﹣20k﹣12＝0；
解得k＝﹣2．----（10分）
18．（本小题满分12分）
解： （1）设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝10，S3＝24．
∴3×10+d＝24，
解得d＝﹣2．
∴an＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．
（2）Sn＝＝﹣n2+11n＝﹣+．
∴当n＝5或6时，Sn最大，Sn＝﹣52+55＝30．
19．（本小题满分12分)
解：(Ⅰ)∵＝(sinA，cosC)，＝(cosB，sinA)，＝sinB＋sinC，
∴sinA cosB＋ sinA cosC＝sinB＋sinC．
由正弦定理得acosB＋acosC＝b＋c．
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由余弦定理得．
整理得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
∵b＋c＞0, ∴a2＝b2＋c2，故△ABC为直角三角形．----------6分
(Ⅱ)设△ABC内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，
∵△ABC外接圆半径为1，，∴a＝2.
∴b＋c＝2(sinB＋cosB)＝．
∵，∴，∴．
∴，故△ABC周长的取值范围(4，】．-----------12分
20．（本小题满分12分）
解：（I）由得：a1＝2a1﹣1，解得a1＝S1＝1，由S1+S2＝2S2﹣4，解得a2＝4．--（2分）
当n≥2时，Sn＝Tn﹣Tn﹣1＝，即Sn＝2Sn﹣1+2n﹣1，①
Sn+1＝2Sn+2n+1②
由②﹣①得an+1＝2an+2．-----（4分）
∴an+1+2＝2（an+2），又a2+2＝2（a1+2），
所以数列{an+2}是以a1+2＝3为首项，2为公比的等比数列，-----（5分）
∴，即．-----（6分）
（Ⅱ）∵，-----( 7分)
∴﹣2（1+2+…+n）＝3（1•20+2•21+…+n•2n﹣1﹣n2﹣n．（8分）
记③，
④，
由③﹣④得＝（1﹣n）•2n﹣1，--（11分）
∴．
∴．----（12分）
21.（本小题满分12分）
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解：（Ⅰ）由题意，，
； ……………………（2分）
所以 ……………………（3分）
＝
＝； ……………………（4分）
因为 ，所以 ； …………………（5分）
所以 当，即θ＝0时，取得最大值2； …………………（6分）
（Ⅱ）因为|AB|＝2，，
；
又 ，所以 sinθ∈[0，1]，cosθ∈[0，1]，
所以|AC|≤2，|BC|≤2；
所以 若△ABC为钝角三角形，则角C是钝角，
从而；………………（8分）
由（Ⅰ）得，
解得； ……………………（9分）
所以 ，即； …………………（11分）
反之，当时，，
又 A，B，C三点不共线，所以△ABC为钝角三角形；
综上，当且仅当时，△ABC为钝角三角形．……………（12分）
22．（本小题满分12分）
解：(1)依题意
（4分）
（2）
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（6分）
恒成立
即
即恒成立 （8分）
记
单调递减。 （10分）
∴ ∴
∴ 不等式 恒成立的实数的取值范围为 （12分）
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高2018级高一下期中期考试
数 学 答 案
一、 选择题： 3、C 6、 C 10、D 11—12 CA
二、 填空题：14、2，16、
三、 解答题：
（22）解：（Ⅰ）因为为奇函数，，
得，又，得
（Ⅱ）由，得，且，
∴，∴ 。
由：，
恒成立，即：恒成立，
当时，，再由复合函数单调性知，数列为单调递减数列，且时，，
当时，中的每一项都大于，∴恒成立；
当时，数列为单调递减数列，且时，而
，说明数列在有限项后必定小于，设
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，且数列也为单调递减数列，。
根据以上分析：数列中必有一项（设为第项），（其中，且）∴
（∵为单调递减数列）
，
当时，，∴，
∴时，不满足条件。
综上所得：。
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