专题一 压轴填空题
第三关 以多参数为背景的填空题
【名师综述】
基本不等式是C级要求，是高中数学的重要知识，高考对基本不等式的考查，主要以多元最值为背景的题型进行考查．等价代换或转换是解题方法,也是解题难点．
类型一 代入转换
已知，且，则的最小值为 .
【答案】
[名师点睛] 1代换成,构造出应用基本不等式的条件
【举一反三】已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，则＋的最小值为____________．
【答案】
【解析】将x＋y＝1代入＋中，得＋＝＋＋，设＝t＞0，则原式＝＋＝＝·＝[(1＋2t)＋＋1]≥×2＋＝，当且仅当t＝时，即x＝，y＝时，取“＝”．
类型二 放缩转换
若不等式对任意都成立，则实数的最小值为________．
【答案】100
【解析】由正弦定理得
因此 ，即的最小值为100
[名师点睛]利用三角形中三边不等关系放缩消元是解题关键
【举一反三】已知，则的最小值为__________．
【答案】
类型三 分离转换
已知正数x，y满足，那么y的最大值为 .
【答案】
【解析】
[名师点睛]运用分离变量法，将目标转化为求函数值域及解对应不等式
【举一反三】已知正实数a，b，c满足+=1，++=1，则实数c的取值范围是 .
【答案】
【解析】 ，因为 ，所以
类型四 设参转换
若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为__________．
【答案】
[名师点睛]引进参数不是增加元，而是巧妙消元
【举一反三】设实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是__________．
【答案】 4＋6
【解析】由－y2＝1，得＝1，假设－y＝m，＋y＝n，即mn＝1，则x＝m＋n，y＝.所以3x2－2xy＝4m2＋2n2＋6mn≥2＋6mn＝4＋6(当且仅当4m2＝2n2时取等号)．
类型五 构造函数转换
若实数x，y满足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，则当x＋2y取得最大值时，的值为________．
【答案】 2
【解析】 (解法1)因为实数x，y满足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，所以(x＋2y)2＋4x2y2－8xy＝4，即(x＋2y)2＋4(xy－1)2＝8，所以(x＋2y)2＝8－4(xy－1)2，所以当(xy－1)2＝0时，即xy＝1时，x＋2y取得最大值，此时x＝，y＝，所以＝2.(解法2)因为实数x，y满足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，所以(x－2y)2＋4x2y2＝4，令x－2y＝2cosθ，xy＝sinθ，则(x＋2y)2＝(x－2y)2＋8xy＝4cos2θ＋8sinθ，所以(x＋2y)2＝－4sin2θ＋8sinθ＋4，所以当sinθ＝1时，(x＋2y)2取得最大值，此时xy＝1，x－2y＝0，所以＝2.
[名师点睛]从式子结构出发寻找函数关系，关键熟练掌握代数关系.
【举一反三】已知ab＝，a，b∈(0，1)，则＋的最小值为____________．
【答案】 4＋
【解析】将b＝代入y＝＋＝＋，其中0，n＝x＋y>0，则x＝，y＝，＋＝－≤－＝.
9. 已知正实数x，y满足x＋＋3y＋＝10，则xy的取值范围为________．
【答案】
10. 已知函数f(x)＝3x＋a与函数g(x)＝3x＋2a在区间(b，c)上都有零点，则的最小值为________．
【答案】－1
【解析】由题知
又＝
＝，
当a＞0时，b＜－，c＞－，
∴ b＋＜－＜0，c＋＞＞0；
当a＜0时，b＜－，c＞－，
∴ b＋＜＜0，c＋＞－＞0；
当a＝0时，b＋＜0，c＋＞0.
综上知，b＋＜0，c＋＞0.
设b＋＝x＜0，c＋＝y＞0，原式＝，
∵ (x－y)2＝(|x|＋|y|)2＝x2＋y2＋2|xy|≥4|xy|，
∴ －1≤＜0，即原式最小值为－1.
11. 设实数a、b、c满足a2＋b2≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为____________．
【答案】－
12. 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数)的导函数为f′(x)．对任意x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为____________．
【答案】2－2
【解析】 不等式f(x)≥f′(x)即ax2＋bx＋c≥2ax＋b，所以对任意x∈R，不等式ax2＋(b－2a)x＋(c－b)≥0(a≠0)恒成立，所以
≤＝，令－1＝t，则由4ac－4a2≥b2≥0以及a>0知≥1，所以t≥0等号仅当a＝c且b＝0时成立．又＝＝，
当t＝0时＝0，当t>0时＝≤＝＝2－2，所以当t＝时取最大值2－2，因此当b2＝4ac－4a2且－1＝时取最大值2－2.
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