专题一 压轴填空题
第四关 以三角形为背景的填空题
【名师综述】
三角形在高中数学中有专题研究，即解三角形．近年来，高考对三角形的命题，除充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，主要把三角形作为载体，注重研究与函数或平面解析几何或不等式或平面向量相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显三角形的交汇价值．
类型一 以三角形中点、线位置关系考查不等式或函数最值
典例1 设的内角的对边分别是,D为的中点,若且,则面积的最大值是_____．
【答案】
【名师指点】本题考查了数形结合思想，通过建系，找出解题思路，利用基本不等式来求解．本题属于难题．
【举一反三】中，角的对边分别为，若， ，则外接圆面积的最小值为__________．
【答案】
【解析】由条件及正弦定理得，
∴，
整理得．
在中，由余弦定理得，
∴，当且仅当时等号成立．
∴．
设外接圆的半径为，
则，故．
∴．故外接圆面积的最小值为．
类型二 综合考查三角形中边与角关系
典例2 若不等式对任意都成立，则实数的最小值为________．
【答案】100
【名师指点】本题主要考查解三角形的运用，以及一元二次不等式解法，同角三角函数关系的运用．本题属于难题．
【举一反三】在锐角三角形ABC中， 的最小值为____．
【答案】25
【解析】如图，不妨设CD=1，AD=m，BD=n，
∴tanA= ，tanB=，（m>0，n>0），
∴tanC=-tan（A+B）=
，当且仅当，即 时取等号.
类型三 以向量数量积考查三角形有关心的性质
典例3 已知是锐角的外接圆圆心, 则实数的值为_____.
【答案】
由正弦定理及上式得，
因为，
所以，
所以=== =．
答案： ．
【名师指点】本题考查了向量的分解、垂径定理、数量积等内容．本题属于中等题．
【举一反三】已知正三角形ABC的边长为2，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则·的最大值为________．
【答案】1
【解析】在正三角形ABC中，内切圆半径r＝··2＝1，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°，∠POD＝θ(θ∈[0，π]．
·＝(＋)·(＋)＝2＋(＋)＋·＝2＋2·＋·＝2－2·＋·＝1＋2cosθ＋4cos120°＝2cosθ－1. ∴ (·)max＝1.
【精选名校模拟】
1. 设的内角的对边分别是， 为的中点，若且，则面积的最大值是__________．
【答案】
在三角形ADC中：由余弦定理可得：
即2bc=4b2+c2﹣8．
∵4b2+c2≥4bc，
∴bc≤=
那么S=bcsinA =．
故答案为： ．
2.在△ABC中，已知AC＝3，∠A＝45°，点D满足＝2，且AD＝，则BC的长为________．
【答案】3
【解析】设BD＝x，AB＝y，由余弦定理得9x2＝9＋y2－3y.又cosC＝＝，得y2＝3x2＋15，联立方程组解得x＝1，y＝3，BC＝3BD＝3.
3.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD＝________．
【答案】
4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若tanA＝7tanB，＝3，则c＝________．
【答案】4
【解析】将tanA＝7tanB可化为＝7，即sinAcosB＝7sinBcosA化边得＝7，又a2－b2＝3c代入得6c2＝24c，又c>0从而c＝4.
5.在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为__________．
【答案】
【解析】不妨设AB＝3，AC＝1，AD＝k，
∵ DC＝2AB，从而2＝，
即－＝2(－)，从而＝＋， 2＝ 2＋ 2＋·，k2＝4＋＋cosθ.
又－1＜cosθ＜1，从而＜k2＜，即＜k＜.
6.在△ABC中，BC＝，AC＝1，以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧)．当∠C变化时，线段CD长的最大值为____________．
【答案】3
【解析】不妨设AB＝BD＝k，在△BCD中，由余弦定理得CD2＝k2＋2－2kcos(∠ABC＋90°)，整理得CD2＝k2＋2＋2ksin∠ABC.在△ABC中，AB2＝1＋2－2cosC＝k2，∴ CD2＝5－2cosC＋2ksin∠ABC.又由正弦定理知＝ksin∠ABC＝sinC，
从而CD2＝5＋2(sinC－cosC)＝5＋4sin(C－)，0
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