专题一 压轴填空题
第五关 以圆或隐圆为背景的填空题
【名师综述】
直线与圆是高中数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对直线与圆的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式或轨迹相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显直线与圆的交汇价值．
类型一 以动点轨迹为圆考查直线与圆、圆与圆位置关系
典例1 已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点， .当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【名师指点】解答本题时，要根据所给出的条件得到点M的轨迹，然后从点与圆的位置关系出发，得到点M在以为直径的圆外，从而根据图形可得到只要两圆外离就满足题意的结论，这是解题的关键．
【举一反三】已知椭圆与圆，若椭圆上存在点，由点向圆所作的两条切线， 且，则椭圆的离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为，所以,在RT 中，由得，由点在椭圆上知， ，所以，解得，又知，故填.
类型二 以圆中直角三角形建立函数关系式或方程或不等式
典例2 已知中， ， 所在平面内存在点使得，则面积的最大值为__________．
【答案】
则，
则，
即，
解得，即，
即面积的最大值为.
【名师指点】本题考查了圆与圆有交点的条件．本题属于难题．
【举一反三】在平面直角坐标系中，若圆 上存在点，且点关于直线的对称点在圆 上，则的取值范围是____．
【答案】
类型三 利用数形结合揭示与刻画直线与圆、圆与圆位置关系
典例3 在平面直角坐标系中，已知点， ，从直线上一点向圆引两条切线， ，切点分别为， .设线段的中点为，则线段长的最大值为_________.
【答案】
【解析】由射影定理得
设
因为 ，所以
所以
因此线段长的最大值为
【名师指点】本题考查了直线与圆的综合应用以及数形结合的数学思想．本题属于难题．
【举一反三】在平面直角坐标系中，已知圆，圆，在圆内存在一定点，过的直线被圆，圆截得的弦分别为， ，且，则定点的坐标为_______.
【答案】
【精选名校模拟】
1．在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为________．
【答案】
【解析】设
因此 ，即实数的最小值为
2．已知点和圆： ， 是圆的直径， 和是线段的三等分点， （异于， ）是圆上的动点， 于， （），直线与交于，则当__________时， 为定值．
【答案】
【解析】题意可得，设，则点，故的方程为， 的方程为，联立方程组可得，把代入化简可得，故点在以为长轴的椭圆上，当为此椭圆的焦点时， 为定值，此时，由可得，求得，故填.
3．在平面直角坐标系中，已知圆和两点，且，若圆上存在两个不同的点，使得，则实数的取值范围为__________．
【答案】
，
求解关于实数的不等式组可得实数的取值范围为.
4．在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（1，0）均在圆： 外，且圆上存在唯一一点满足，则半径的值为____．
【答案】4
【解析】根据题意,点A(−1,0),B(1,0)，若点满足，
则点P在以AB为直径的圆上，
设AB的中点为M,则M的坐标为 (0,0)， |AB|=2，
则圆M的方程为，
若圆上存在唯一一点满足，则圆C与圆M只有一个交点，即两圆外切，
则有r+1=|MC|=，解可得r=4.
5．已知等边的边长为2，点在线段上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则，AC：
由得 ，
6.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
【解析】设P(x，y)，sin∠OPA＝sin30°＝，则x2＋y2＝4 ①.又P在圆M上，则(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1 ②.由①②得1≤≤3，所以≤a≤.
7.在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为____________．
【答案】
8.在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2，0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为____________．
【答案】4
【解析】圆x2＋y2＝1半径为1，PO＝2，则直线PT的倾斜角为30°，则直线方程为x－y＋2＝0，PT＝，RS＝，圆(x－a)2＋(y－)2＝3的半径为，则圆(x－a)2＋(y－)2＝3的圆心(a，)到直线PT的距离为，由点到直线距离公式得|a－1|＝3，则正数a＝4.
9.在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为__________．
【答案】3
【解析】根据题意，圆M与以N为圆心的圆的位置关系是内切或内含．则dMN≤dON－1，即1≤dON－1.所以dON≥2恒成立．因为N在圆M上运动，所以dON的最小值为dOM－1，即dOM－1≥2，所以≥3，解得a≥3，所以a的最小值为3.
10.已知线段AB的长为2，动点C满足·＝λ(λ为常数)，且点C总不在以点B为圆心，
为半径的圆内，则实数λ的最大值是__________．
【答案】－
11.在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点．若圆上存在一点C，满足＝＋，则r的值为________．
【答案】
【解析】2＝＝2＋2··＋2，即r2＝r2＋r2cos∠AOB＋r2，整理化简得cos∠AOB＝－，过点O作AB的垂线交AB于D，则cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝－，得cos2∠AOD＝.又圆心到直线的距离为OD＝＝，所以cos2∠AOD＝＝＝，所以r2＝10，r＝.
12.已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点．若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A横坐标的取值范围是__________．
【答案】[1，5]
【解析】圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，说明点A(x，y)到M (1，1)的距离小于等于4，即(x－1)2＋(y－1)2≤16，而y＝6－x，得x2－6x＋5≤0，即1≤x≤5.点A横坐标的取值范围为[1，5]．
13.已知点A(0，2)为圆M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外一点，圆M上存在点T使得∠MAT＝45°，则实数a的取值范围是________________．
【答案】－1≤a＜1
【解析】点A(0，2)在圆M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外，得4－4a＞0，则a＜1.圆M上存在点T使得∠MAT＝45°，则≤r＝a，即AM≤2a，(a－2)2＋a2≤4a2(a＞0)，解得－1≤a.综上，实数a的取值范围是－1≤a＜1.
14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x－y－8＝0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为____________．
【答案】－
15.已知直线l过点P(1，2)且与圆C：x2＋y2＝2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，则直线l的方程为________________．
【答案】x－1＝0，3x－4y＋5＝0
【解析】由S△ABC＝×2×sin∠ACB＝1，sin∠ACB＝1，∠ACB＝90°，则点C(0，0)到直线l的距离为1，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，利用距离公式可得k＝，此时直线l的方程为3x－4y＋5＝0，当k不存在时，x－1＝0满足题意．
16.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，A为圆C与x轴负半轴的交点，过A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M.若OA＝OM，则直线AB的斜率为________．
【答案】2
【解析】设点B(x0，y0)，则M，圆x2＋(y－1)2＝5与x轴负半轴的交点A(－2，0)，OA＝OM＝2＝，即＋＝4.又 x＋(y0－1)2＝5，两式相减得y0＝2x0＋4.而A(－2，0)也满足y0＝2x0＋4，即直线AB的方程为y0＝2x0＋4，则直线AB的斜率为2.
17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP、AQ分别切圆C于P、Q两点，则线段PQ长的取值范围为________．
【答案】
18.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x＋1)2＋(y－6)2＝25，圆C2：(x－17)2＋(y－30)2＝r2.若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，满足PA＝2AB，
则半径r的取值范围是______________．
【答案】[5，55]
【解析】在圆C2上任取一点P，过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，当AB过圆心时，此时PA在该点处最小，AB在该点情况下最大，此时在P点情况下最小，当P，A，B三点共线时，如图1，2，PA为所有位置最小，且是所有位置中最小，所以只要满足≤2，即满足题意，
5≤r≤55.
19.若斜率互为相反数且相交于点P(1，1)的两条直线被圆O：x2＋y2＝4所截得的弦长之比为，则这两条直线的斜率之积为__________．
【答案】－9或－
20.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，
直线l：y＝kx＋3与圆C相交于A、B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为________．
【答案】
【解析】以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则C点到直线l的距离小于1，即d＝≤1，解得k≤－.
21.在平面直角坐标系xOy中，过点P(－5，a)作圆x2＋y2－2ax＋2y－1＝0的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且＋＝0，则实数a的值为________．
【答案】3或－2
【解析】记圆心为Q，MN的中点为A(x0，y0)，圆Q的方程为(x－a)2＋(y＋1)2＝a2＋2，由MN⊥PQkMN＝＝－＝－，当x0＝1时，y2－y1＝0kMN＝0，则PQ的斜率不存在，则xP＝xQ，不符合题意；当x0≠1时，kMN＝－＝－kPQ＝＝，则PQ的直线方程为y＋1＝(x－a)．因为(1，0)在PQ上，则有a2－a－6＝0a＝－2或3.
22.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是________．
【答案】[0，3]
【解析】设M(x，y)，由MA2＋MO2＝10，A(0，2)，得x2＋(y－1)2＝4，而(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，它们有公共点，则1≤a2＋(a－3)2≤9，解得实数a的取值范围是[0，3]．
23.在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．
【答案】(x－1)2＋y2＝2
【解析】mx－y－2－1＝0直线过定点(2，－1)，由图形知：圆过点(2，－1)时，半径最大，此时半径为，圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
24.在直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)、B(0，1)，则满足PA2－PB2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为________．
【答案】2
25. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点．若OA⊥OB，则直线l的斜率为__________．
【答案】1或
【解析】设直线方程y＝k(x－5)＋3，由OA⊥OB知圆心到直线的距离d＝rsin＝2×＝，从而＝，解得k＝1或.
26.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A、B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为__________．
【答案】[3＋2，3＋2)∪(3－2，3－2]
【解析】圆C的方程为(x－m)2＋(y－2)2＝32.
圆心C(m，2)，半径r＝＝4.
S△ABC＝r2sin∠ACB＝16sin∠ACB≤16，
故当sin∠ACB＝1即∠ACB＝90°时，SABC取得最大值．
即当△ACB为等腰直角三角时，面积取到最大值．
故此时圆心到动直线的距离d＝r×＝4，从而d≤PC＜r，即16≤(m－3)2＋4＜32，解得m∈[3＋2，3＋2)∪(3－2，3－2]．
27.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为______________．
【答案】(x－1)2＋y2＝1
【解析】∵ 当P在圆C上运动时∠APB恒为60°，∴ 圆M与圆C一定是同心圆，∴ 可设圆M的方程为(x－1)2＋y2＝r2.当点P坐标是(3，0)时，设直线AB与x轴的交点为H，则MH＋HP＝2，MH＝r，AB＝2×r，所以r＋2×r×＝2，解得r＝1，所以所求圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.
28.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是____________．
【答案】[－2，2]
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